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高等流体力学
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习题
集
高等流体力学
一、流体的运动用
表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。
< br>解
：
由
题
可
知
速
度
分
量
为
：
则
速
度
的
拉
格
朗
给出，
当
时求质点
的速度及
日
描
述
：
速度的欧拉描述：
二、速度场由
加速度。
解：
由
则当
t=1
时，
质点
加
速
可得速度分量式为：
的速度为：
度
；
为
-
共－
*
－页，第－
*
－页
，
即
加
速
度
为
：
三、速度场由
表示。
给出，
求速度及加速度的拉格朗日
解：
由
题
可
得
速
，
度
则
场
由
得
，解
微分方程得
，
即为流体质点运动的拉
格
朗日表达式
,
其中
为任意常数。
-
共－
*
－页，第－
*
－页
则
，
得
速
度
的
拉
格
朗
日
表
达
式
为
< br>：
得
加
速
度
的
拉
格
朗
日
表
达
式
为
：
四、已知质点的位置表示如下：
<
/p>
求：
（
1
）速度
的欧拉表示；
（
2
< br>）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求
及
的值；
（
3
）过点
的流线及
在
这一质点的迹线；
（
4
）散度、旋度及
涡线；
（
5
）应变率张量及旋转张量。
解：
(1)
由
得
-
共－
*
－页，第－
*
－页
由
题得
，则速度的
欧拉表示为
(2)
加
速
度
分
量
为
，
则加速度的欧拉表示为
;
则
加
速
度
的
拉
格
朗
日
< br>表
示
为
；
当
时
，
(3)
流线微分方程式为
流线微分方程转化为
量
积
分
得
时，
得到
=0
，
的流线为
，
因为
，
又
因
为
所以，
，
当
，消去中间变
，
即过点
(1,0,0)
-
共－
*
－页，第－
*
－页
由
迹
线
微
分
方
程<
/p>
为
，
将
代入得质
点轨迹方程为
(4)
散度
旋
度
涡线微分方程为
< br>微分方程转化为
涡线方程为
(5)
速
度
，
又
因为
，
涡线
，即
梯
度
=
，
∴应变率张量
-
共－
*
－页，第－
*
－页
∴旋转张量
五、已知拉格朗日描述为
（
1
）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场；
（
2
）求
t=1<
/p>
时在点（
1,1,1
）的加速度；
（
3
）求过点（<
/p>
1,1,1
）的流线。
解：
<
/p>
-
共－
*
－页，
第－
*
－页
六、已知
，求
（
1
）速度的拉格朗日描述；
（
2
）质点加速度；
（
3
）散度及旋度；运动是否有旋
；流体是否不可压；
（
4
）迹线及流线。
解：
(1)
由
得
得
，
又
由
，
由
得
，
则速度的拉格
朗日描述为
。
再
由
初
始
条
件
(2)
质点加速度为
(3)
散度
旋
度
因为旋度不为
0
，故为有旋运动
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共－
*
－页，第－
*
－页
因为散度
不为
0
，故流体为可压缩流体
(4)
由
（
1
）
可
得
迹
线
方
流线微分方程
，又因为
程
为
，所以
，
解
之
得
流
线
微
分
方
程
转
化
为
，
由
初
始
条
件
得
所
七、一水箱尺寸如图
所示，箱外大气压
，计算下
列两种情况下地窗口
AB
两侧所受的流体合力。
（
a
）水面上方气体压力
；
（
b
）
以
流
线
方
程
为
解：
（
a
）
不妨设
AB
两侧所受的流体合力为
则
-
共－
*
－页，第－
*
－页
（
b
）
∵
，
需重新设立水平面，不妨设新的水平面
距离原先水
平面为
h
，由
得
则
八、如图的微测压计用来测量两容器
E
和
B
中的气体压强差。试用
表示
P
E
-P
B
,
并说明当横截面积
a
<
，而且两种溶液密度
,
相近时，很小的
P
E
-P
B
就能引起很大的液面高度差
d,
从而提高测量精度。
解：
根
据
流
体
静
力
学
规
；所以
，
∴
律
知
，
即
又由图可知，
又
有
题
可
知
a<
，
即
-
共－
*
－页，第－
*
－页
∴
故
当
两
种
两
种
溶
液
密
度
相
近
时
< br>，
很
小
的
就能引起河很大的液面高度差
d
。
九、图为装在做水平匀加速运动物
体上的
U
型管式加速度测量器，已测
得
两管耶中得液面差
h=4cm,
两管相距
L=20cm,
求该物体加速度的大小和方
向。
解：
选坐标系
上，
轴向右，
质
量
力
由边界条件
点
置于
U
型管左侧的自由液面
轴向上。<
/p>
，
将
其
代
入
并
积
分
得
得
。
另外由
得
综上所得可知该物体加速度的大小为
，方向往
左。
十、如图一圆柱形容器，其顶盖中心装
有一敞口的测压器，容器装满水，
测压管中的水面比顶盖高
h<
/p>
，圆柱形容器直径为
D
，当它绕其竖直轴
以角速
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－页，第－
*
－页
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