-
四年级奥数安博京翰教育
例
1
四年级一班第一小组有
10
名同
学,某次数学测验的成绩(分数)如<
/p>
下:
解
:选基
准数为
450
,则
- 1 -
累计差
=12
+
30
-
7
-
30
+
23
-
21
+
18
-
11
+
25
+
11
=
50
,
平均每块产量
=450
+
50
÷
10
=
455
(千克)。
p>
答:平均每
块麦田的产量为
455
千克。
求一位数的平方,在乘法口诀的<
/p>
小学奥数基础教程
(四年级)
第
1
讲
速算与巧算(一)
86
,<
/p>
78
,
77
,<
/p>
83
,
91
,<
/p>
74
,
92
,<
/p>
第
2
讲
速算与巧算(二)
69
,
84
,
75
。
第
3
讲
高斯求和
求这
10
名同学的总分。
第
4
讲
4<
/p>
,
8
,
9
整除的数的特征
分析
与解
:
通常的做法是将这
10
个数
第
5
讲
弃九法
直接相加,但这些数杂乱无章,直接
第
6
讲
数的整除性(二)
p>
相加既繁且易错。观察这些数不难发
第
7<
/p>
讲
找规律(一)
第
8
讲
找规律(二)
第
9
讲
数字谜(一)
第
10
讲
数字谜(二)
第
11
讲
归一问题与归总问题
第
12
讲
年龄问题
第
13
讲
鸡兔同笼问题与假设法
第
14
讲
盈亏问题与比较法(一)
第
15
讲
盈亏问题与比较法(二)
第
16
讲
数阵图(一)
第
17
讲
数阵图(二)
第
18
讲
数阵图(三)
第
19
将
乘法原理
第
20
讲
加法原理(一)
第
21
讲
加法原理(二)
第
22
讲
还原问题(一)
第
23
讲
还原问题(二)
第
24
讲
页码问题
第
25
讲
智取火柴
第
26
讲
逻辑问题(一)
第
27
讲
逻辑问题(二)
第
28
讲
最不利原则
第
29
讲
抽屉原理(一)
第
30
讲
抽屉原理(二)
第
1
讲
速算与巧算(一)
计算是数学的基础,小学生要学
好数
学,必须具有过硬的计算本领。
准确、
快速的计算能力既是一种
技巧,
也是一种思维训练,既能提高计算效
率、节省计算时间,
更可以锻炼记忆
力,提高分析、判断能力,促进思维
和智力的发
展。
我
们在三年级已经讲过一些四则
运算的速算与巧算的方法,本讲和下
一讲主要介绍加法的基准数法和乘法
的补同与同补速算法。
现,这些数虽然大小不等,但相差不
大。
我们可以选择一个适当的数作
“基
准”,比如以“
80
”作基准,这
10
个
p>
数与
80
的差如下:
6
,
-2
,
-3
,
3
,
11
,<
/p>
-6
,
12
,<
/p>
-11
,
4
,<
/p>
-5
,其中“
-
”号表示这个数比
80
小。于是得到
总和
=8
0
×
10
+(
6-2-3
+
3
+
11-
=
< br>800
+
9
=
< br>809
。
实际计算时只需口算,将这些数
与<
/p>
80
的差逐一累加。为了清楚起见,
将这
一过程表示如下:
通过口算,
得到差数累加为
9
,
再
加上
80
×
10
,
就可口算出结果为
809
。
例
1
所用的方法叫做加法的
基准
数法
。这种方法适用于加数较多,而
且所有的加数相差不大的情况。作为<
/p>
“基准”的数(如例
1
的
80
)叫做
基
准数
,各数与基准数的差的和叫做
累
计差
。由例
1
得到:
总和数
=
基准数
×
p>
加数的个数
+
累计
差
,
平均数
=
基准数
+
累计差
÷
加数的个
数
。
< br>
在使用基准数法时,应选
取与各
数的差较小的数作为基准数,这样才
容易计算累计差。同
时考虑到基准数
与加数个数的乘法能够方便地计算出
来,所以基
准数应尽量选取整十、整
百的数。
例
2
某农场有
10
块麦田,
每块的产量
如下(单位
:千克):
462
,
480
,
443
,
420
,
473
,
429
,
468
,
439
,<
/p>
475
,
461
。求平均每块麦
田的产量。
九九表中
已经被同学们熟知,如
7
×
7
=
49
(七七四十九)。对于两位数的
平方,大多数同学只是背熟了
10
~
20
的平方,
而
21
p>
~
99
的平方就不大熟悉
< br>了。有没有什么窍门,能够迅速算出
两位数的平方呢?这里向同学们介绍
一种方法——
凑整补零法
。所谓凑整
补零法,就是用所求数与最接近的整
十数的差,通过移多补少,将所求数<
/p>
转化成一个整十数乘以另一数,再加
上零头的平方数。下面通过例
题来说
明这一方法。
例
3
求
29
2
和
82
2<
/p>
的值。
解
:<
/p>
29
2
=29
×
29
=
(
29
+
1
)
×(
29-1
)+
12
=
30<
/p>
×
28
+
1
=
840+1
=
841
。
82
2<
/p>
=
82
×
82
=(
82
-
2
)×(
8
2
+
2
)+
2
2
p>
=
80
×
84
p>
+
4
=
6720+4
=
6724
。
由上例看出,因为
29
比
30
少
1
,
所以给
29
“补”
1
,这叫“补少”;因
为
82
比
80
多
2
,
所以从
82
中
“移走”
2
< br>,这叫“移多”。因为是两个相同数
相乘,所以对其中一个数
“移多补少”
后,还需要在另一个数上“找齐”。
本例中,
给一个
29
补
1
,就要给另一
个
29
减
1
;
给一个
82
减了
2
,
就要给
另一个
82
加上
2
p>
。
最后,
还要加上
“移
多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算
35
2
,得
35
×
35
=
40
×
30
+
5
2
=12
25
。这与
三年级学的个位数是
5
p>
的数的平方的
速算方法结果相同。
四年级奥数安博京翰教育
这种方法不仅适用于求两位数的
平方
值,也适用于求三位数或更多位
数的平方值。
例
4
求
p>
993
2
和
200
4
2
的值。
解
:
993
2
=993
×
993
=(
993
+
7
)×(
993-7
)
+7
2
=
100
0
×
986
+
49
=
986000
+
49
=
986049
。
2004
2
=2004
×
2004
=(
2004-4
)×(
2004+4
)+
42
=
2000
×
2008
+
16
=
4016000
+
< br>16
=
< br>4016016
。
下面,我们介绍一类特殊情况的
乘法
的速算方法。
请看下面的算式:
66
×
46
,
73
×
88
,
19
×
44
。
p>
这几道算式具有一个共同特点,
两个因数都是两位数,一个因数的十
位数与个位数相同,另一因数的十位
数与个位数之和为
10
。这类算式有非
常简便的速算方法。
例
5
88
×
64
=?
分析与解
:由乘法分配律和结合律,
得到
p>
88
×
64
=(
80
+
8
)×(
60
+
4
)
=(
80
+
8
)×
60
+
(
80
+
8
)
×
4
=
80
×
60
+
8
×
60
+<
/p>
80
×
4
+
p>
8
×
4
=
80
×<
/p>
60
+
80
×<
/p>
6
+
80
×
p>
4
+
8
×
4
=
80
×(
60
+
6
+
4
)+
8
×
4
=
80
×(
60
+
10
)
+
8
×
4
=
8
×(<
/p>
6
+
1
)×
p>
100+8
×
4
。
于是,我们得到下面的速算式:
由上式看出,积的末两位数是两<
/p>
个因数的个位数之积,本例为
8
×
4
;
积中从百位起前面的数是“个位与十
p>
位相同的因数”的十位数与“个位与
十位之和为
10
的因数”的十位数加
1
的乘积
,本例为
8
×(
6
+
1
)。
例
6
77
×
91
=?
解
:
由例
3
的解法得到
< br>
由上式看出,当两个因数的个位
数之积是一位数时,应在十位上补一
< br>个
0
,本例为
7
×
1
=
07
< br>。
用这种速算法只需口算就可以方
便地解答出这类两位数的乘法计算。
< br>
练习
1
1.
求下
面
10
个数的总和:
165
,
152
,
168
,
171
,
148
< br>,
156
,
169
,
161
,
157
,
149
。
2.
农业
科研小组测定麦苗的生长
情况,
量出
1
2
株麦苗的高度分别为
(单
位:厘米)
:
26
,
25
,
25
,
23
,
27
,
28
,
26
,
24
,
29
,
27
,
27
,
25
。求这批麦苗的
平均高度。
3.
某车间有
9
个工人加
工零件,
他们加工零件的个数分别为:
68
,<
/p>
91
,
84
,<
/p>
75
,
78
,<
/p>
81
,
83
,<
/p>
72
,
79
。<
/p>
他们共加工了多少个零件?
4.
计算:
13
+<
/p>
16
+
10+11
+
17
+
12
+
15
+
12
+
16
+
13
+
12
。
5.
计算下列各题:
(
1
p>
)
37
2
;
(
2
)
53
2
;
(
3
)
91
2
;
(
4
)
p>
68
2
:
(
5
)
108
2
;
(
6
)
397
2
。
6.
计算下列各题:
(
1
)
77
< br>×
28
;(
2
< br>)
66
×
55
< br>;
(
3
)
33
×
19
;(
4
)
82
×
44
;
(
5
)
37
×
33
;(
6
)
46
×
99
。
练习
1
答案
1.1596
。
2.26
厘米。
3.711
个。
4.147
。
5.
(
1<
/p>
)
1369
;
(
2
)
280
9
;
(
3<
/p>
)
8281
;
(
p>
4
)
4624
;<
/p>
(
5
)
11664
;
(<
/p>
6
)
157609
。
6
.
(
1
)
21
56
;
(
2
)
3630
;
(
3
)
627
;
(
4
)
p>
3608
;
(<
/p>
5
)
1221
;
(
6
)
p>
4554
。
第
2
讲
速算与巧算(二)
- 2 -
上一讲我们介绍了一类两位数乘<
/p>
法的速算方法,这一讲讨论乘法的
“同补”与“补同”速算法。<
/p>
两个数之
和等于
10
,则称这两个
数
互补
。在整数乘法运算中,常会遇
到像
72
×
78
,
26
×
86
等被乘数与乘
数
的十位数字相同或互补,或被乘数与
乘数的个位数字相同或互
补的情况。
72
×
78
的被乘数与乘数的十位数字相
同、个位数字互补,这类式子我们称
为“头相同、尾互补”型;
26
×
< br>86
的
被乘数与乘数的十位数字互补、个位
数字相同,这类式子我们称为“头互
补、尾相同”型。计算这两类题目,
p>
有非常简捷的速算方法,
分别称为
“同
p>
补”速算法
和
“补同”速算法
。
例
1
(
1
)
76
< br>×
74
=?
< br>(
2
)
31
×
39
=?
分析与解:本例两题都是“头相<
/p>
同、尾互补”类型。
(
1
)由乘
法分配律和结合律,得
到
76
×
74
=(
7
+
6
)
×(
70+4
)
=(
70
+
6
)×
70
+(
7
< br>+
6
)×
4
=
70
×
70
+
6
×
70
+
70
×
4
+
6
×
4
=
70
×(
70
+
6
+
4
)+
6
×
4
=<
/p>
70
×(
70
+
10
)+
6
×
4
=
7
×(
7+1
)×
100
+
6
×
4
。
于是,我们得到下面的速算式:
(
2
)与(
1
)类似可得到下面的速算
式:
由例
1
看出,在“头相同、尾互
< br>补”的两个两位数乘法中,积的末两
位数是两个因数的个位数之积(不够
两位时前面补
0
,如
1
×
9
=
09<
/p>
),积
中从百位起前面的数是被乘数(或乘
数)的十位数与十位数加
1
的乘积。
“同补”速算法简单地说就是:
四年级奥数安博京翰教育
积的末两位
是
“尾×尾”
,
前面是
“头
×(头
+1
)”
。
我们在三年级时学到的
15
×
15
,
25
×
25
,…,
95
×
< br>95
的速算,实际上
就是“同补”速算法。
例
2
(
1
)
78
×
< br>38
=?
(
< br>2
)
43
×
63
=?
分析与解
:本例两题都是“头互补、
尾相同”类型。
(
1
)由乘法分配律和结合律,得到
78
×
38
=(
70
+
8
)×(
30
+
8
)
=(
70
+
8
)×
30
+(
70
+
8
)×
8
=
70
×
30+8
×
30
+
70
×
8
< br>+
8
×
8
=
70
×
30
+
8
×(
30
+
70
)+
8
×
8
=
7
×
3
×
100
+
8
×
100
+
8
×
8
=(
7
×
3
+
8
)×
100
+
8
×
8
。<
/p>
于是,我们得到下面的速算式:
(
p>
2
)与(
1
)类似
可得到下面的
速算式:
由例
2
看出,在“头互补、尾相同”
的两个两位数乘法中,积的末两位数
是两个因数的个位数之积(不够两位
p>
时前面补
0
,如
3
×
3
=
09<
/p>
),积中从
百位起前面的数是两个因数的十位数
< br>之积加上被乘数
(或乘数)
的个位数。
< br>“补同”速算法简单地说就是:
积的末两位数是“尾×
尾”,前面是
“头×头
+
尾”
。
例
1
和例
2
介绍了两位数乘以两位数
的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时,情况会
发生什么变化呢?
我们先将互补的概念推广一
下。
当两
个数的和是
10
,
100
,
1000
,…时,
这两个数互为补数,简称互补
。如<
/p>
43
与
57
互补
,
99
与
1
互
补,
555
与
445
< br>互补。
< br>在一个乘法算式中,当被乘数与
乘数前面的几位数相同,后面的几位
数互补时,这个算式就是“同补”型,
即
“
头
相
同
,
尾
互
补
”
< br>型
。
例
如
,
因为被乘数与乘
数的前两位数相
同,都是
70
,后两位
数互补,
77
+
23
=
100
,
所以是
“同
补”
型
。
又
如
,
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数
前面的几位数互补,
后面的几位数相同时,这个乘法算式
就是“
补同”型,即“头互补,尾相
同”型。
例如,
< br>
等
都
是
“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法<
/p>
时,例
1
的方法仍然适用。
例
3
(
1
)
702
×
708=
?
(
2
)
1708
×
1792
=?
解
:(
1
)
(
2
)
p>
计算多位数的
“同补”型乘法时,
将“头×
(头
+1
)”作为乘积的前几
位,将两
个互补数之积作为乘积的后
几位。
注
意:互补数如果是
n
位数,则应占
乘积
的后
2n
位,不足的位补“
0
”。
在计算多位数的“补同”型乘法
时,如果“补”与“同”,即“头”
与“尾”的位数相同,那么例
2
的方
法仍然适用(见例
4
);如果“补”与
“同”的位数不相同,那么例
2
的方
法不再适用,因为没有简捷实用的方
法,所以就不再讨论了。
- 3 -
例
4
p>
2865
×
7265
=?
解
:
练习
2
计算下列各题:
1.68
×
62
;
2.93
< br>×
97
;
3.27
×
87
;
4.79
< br>×
39
;
5.42
×
62
;
6.603
×
607
;
7.693
×
607
;
8.4085
×
6085
。
第
3
讲
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪
明过人,上学时,有一天老师出
了一
道题让同学们计算:
1
+
2
p>
+
3
+
4
+…+
99
+
100<
/p>
=?
p>
老师出完题后,全班同学都在埋
头计算,小高斯却很快算出答案等于
5050
。高斯为什么算得又快又准呢?
原来小高斯通过细心观察发现:
1
+
100
=
2
+
99
=<
/p>
3
+
98
=…=
49
+
52
=
50
+
51
。
1
p>
~
100
正好可以分成这样的
50
对数,每对数的和都相等。于是,小
高斯把这道
题巧算为
(
1+100
)×
100
÷
2
=
5050
。
小高斯使用的这
种求和方法,真
是聪明极了,简单快捷,并且广泛地
适用于“等
差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
,数
列中的每一个数称为一项,其中第一
项称为
首项
,最后一项称为
末项
。后
项与前项之差都相等的数列称为
等差
数列
< br>,后项与前项之差称为
公差
。例
如:
(
1
)
1
,
2
,
p>
3
,
4
,
5
,…,
100
;
p>
(
2
)
1
,
3
,
5
,
7
,
< br>9
,…,
99
;(
3
)
8
,
< br>15
,
22
,
< br>29
,
36
,…,
71
。
其中
(
1<
/p>
)
是首项为
1
,
末项为
100
,
公差为
1
的等差数列;
(
2
)是首项为
1
,末项为
99
,公差为
2
的等差数列;
(
3
)是首项为
8
,末项为
71
,公
差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到
等差数
列的求和公式
:
四年级奥数安博京翰教育
和
=
(首项
+
末项)×项
数÷
2
。
例
1
1
+<
/p>
2
+
3
+…+<
/p>
1999
=?
分析与解
:
这串加数
1
,
2
,
3
,
…,
1999
是等差数列,
p>
首项是
1
,
末项是
1999
,
共有
1999
个数。
由等差数列求和公式
可得
原
式
=
(
1
+<
/p>
1999
)×
1999
< br>÷
2
=
1999000
。
注意:利用等差数列求和公式之
前,一定要判断题目中的各个加数是
否构成等差数列。
例
2
11
+
12
+
13
+
…+
31
=?
分析与解
:
这串加数
11
,
12
,
13
,
…,
31
是等差数列,
首项是
11
,
末项是
31
,
共有
31-11
+
1
=
21
(项)。
原式
=
(
11+31
)×<
/p>
21
÷
2=441
。
在利用等差数列求和公式时,有时项
数并不是一目了然的,这时就需要先
求出项数。根据首项、末项、公差的
关系,可以得到
项数
=
(末项
-
首项)÷公差
+1
,
末项
=
首项
+
公差×(项数
-1
)
。
例
3
3
+<
/p>
7
+
11
+…+
99
=?
分
析与解
:
3
,
7
,
11
,…,
99
是公差
为
4
的等差数列,
项数
=
(
99
-
3
)÷
4
+
1
=
25
,
< br>原式
=
(
3
+
99
)×
25
< br>÷
2
=
1275
。
例
4
< br>求首项是
25
,
公差是
3
的等差数
列的前
40
项的和。
解
:末项
=25
+
3
×(
40-1
)=
142
,
和
=
(
25
+
142
)×
40
÷
2
=
3340
。
利用等差数列求和公式及求项数和末
项的公式,可以解决各种与等差数列
求和有关的问题。
例
5
在下图中,每个最小的等边三角
形的面积是
12
厘米
< br>2
,边长是
1
根火
柴棍。问:(
1
)最大三角形的面积是
多少平方厘米?
(
2
)
p>
整个图形由多少
根火柴棍摆成?
分析:最大三角形共有
8
层,从上往
下摆时,每层的小三角形数目及所用
火
柴数目如下表:
由上表看出,各层的小三角形数成等
差数列,
各层的火柴数也成等差数列。
解
:(
1
)最大三角
形面积为
(
1
+
3
+
5
+…+
15
)×
12
=[(
1
+
< br>15
)×
8
÷
< br>2
]×
12
=
768
(厘米
2
)。
2
)火柴棍的数目为
3
+
p>
6
+
9+
…
+24
=(
3
+<
/p>
24
)×
8
÷<
/p>
2=108
(根)。
< br>答:最大三角形的面积是
768
厘米
2
,
整个图形由
108
根火柴摆成。
例
6 <
/p>
盒子里放有三只乒乓球,一位魔
术师第一次从盒子里拿出一只球,
将
它变成
3
只球后放回盒子里;第二次
又从盒子里拿出二只球,将每只球各
变成
3
只球后放回盒子里……第十次
从盒子里拿出十只球,将每只
球各变
成
3
只球后放回到盒子里。这时
盒子
里共有多少只乒乓球?
分析与解
:一只球变成
3
只球,实际
上多了
2
只球。第一次多了
2
只球,
第二次多了
2
×
2
只球……第十次多了
2
×
10
只球。因此拿了十次后,多了<
/p>
2
×
1
+
2
×
2
+…+
2
×
10
=
2
×(
1
+
2
+…+
10
)
=
2
×
55
=
110
(只)。
加上原有的
3
只球,盒子里共有
球
110
+
3
=
113
(只)。
综合列式为:
(
3-1
)×(
1
+
2
+…+
10
)+
3
=
2
×[(
1
+
10
)×
10
÷
2
]+
3
=
113
(只)。<
/p>
练习
3
1.
计算下列各题:
(
1
p>
)
2
+
4
+
6
+…+
200
p>
;
(
2
)
17
+
19
+
21
+…+
39
;
(
3
)
5
+
8
+
11
+
14
+…+
50
;
(
4
)
3
+
10
+
< br>17
+
24
+…+
101
。
2.
求首项是
5
,末项是
93
,公差
是
4
的等差数列的和。
3.
求首
项是
13
,公差是
5
< br>的等差
数列的前
30
项的和。<
/p>
- 4 -
4.
时钟在每个整点敲打,敲打的<
/p>
次数等于该钟点数,每半点钟也敲一
下。问:时钟一昼夜敲打多少
次?
5
.
求
100
以内除以
< br>3
余
2
的所有
< br>数的和。
6.
在所有的两位数中,十位数比
个位数大的数共有多
少个?
第四讲
我们在三年级已经学习了能被
2
,
3
,
5
整除的数的特征,这一讲我们将
讨论
整除的性质,并讲解能被
4
,
p>
8
,
9
整
除的数的特征。
数的整除具有如下性质:
性质
1
如果甲数能被乙数整除,乙数
能被丙数整除,那么甲数一定能被丙
数整除
。例如,
48
能被
16
整除,
16
能被
8
整除,
那么
48
一定
能被
8
整除。
性质
2
如果两个数都能被一个自然数
整除,那么这两个数的和与差也一定
能被这个自然数整除
。
例如,
21
与
p>
15
都能被
3
整除
,那么
21
+
15
及
21-15
都能被
3
整除。
性质
3
如果一个数能分别被两个互质
的自然数整除,那么这个数一定能被
p>
这两个互质的自然数的乘积整除
。例
如,<
/p>
126
能被
9
整
除,又能被
7
整除,
且
9
与
7
互质,那么
126
能被
9
×
7
=
63
整除。
利用上面关于
整除的性质,我们
可以解决许多与整除有关的问题。为
了进一步
学习数的整除性,我们把学
过的和将要学习的一些整除的数字特
征列出来:
(
1
)
一个数的个位数字如果是<
/p>
0
,
2
,
4
,
6
,
8
中的一个,那么这个数就
能被
< br>2
整除。
(
2
)一个
数的个位数字如果是
0
或
5
,那么这个数就能被
5
整除。
(
3
)
一个数各个数位上的数字之
和如果
能被
3
整除,那么这个数就能
被
3
整除。
(
4
)
p>
一个数的末两位数如果能被
4
(或
25
)整除,那么这个数就能被
4
(或
25
)整除。
(
5
p>
)
一个数的末三位数如果能被
8
(或
125
)整除,那么这个数就能被
8
(或
125
)整除。<
/p>
四年级奥数安博京翰教育
(
6
p>
)
一个数各个数位上的数字之
和如果能被<
/p>
9
整除,那么这个数就能
被
9
整除。
其中(
1
)
(
2
)(
3
)
是三年级学
过的内容,(
4
)(
5
)(
6
)是本讲要
学习的内容。
因为
100
能被
4
(或
25
)整除,
所以由整除的性质
1
知,整
百的数都
能被
4
(或
< br>25
)整除。因为任何自然
数都能分成一个整百的数与这
个数的
后两位数之和,所以由整除的性质
2
知,
只要这个数的后两位数能被
4
(或
25
)整除,这个数就能被
4
p>
(或
25
)
整除。
这就证明了(
4
)。
类似地可以证明(
5
)。
(
6
)的正
确性,我们用一个具体
的数来说明一般性的证明方法。
837
=
800
+
30
+
7
=
8
×
100
+
3
×
10
+
7
=
8
×(
99
+
1
)+
3
×(
9
+
1
)+<
/p>
7
=
8
×
p>
99
+
8
+
3
×
9
+
3
+
7
=(
8
×
99
+
3
×
9
)+(
8
+
3
+
< br>7
)。
因为
99
和
9
都能被
9
整
除,
所以
根据整除的性质
1
和性质
2
知,
(
8x99
+
3x9
)<
/p>
能被
9
整除。
再
根据整除的性
质
2
,由(
8
+
3
+
< br>7
)能被
9
整除,就
能判断
837
能被
9
p>
整除。
利用(
4
)(
5
)(
6
)还可以求出一
个数除以
4
,
8
,
9
的余数:
(
4
‘)一个数除以
4
的余数
,与它的
末两位除以
4
的余数相同。<
/p>
(
5
')一个
数除以
8
的余数,与它的
末三位除以<
/p>
8
的余数相同。
(
6
')一个数除以
9
的余数,与它的
各位数字之和除以
9
的余数相同。
例
1
在下面
的数中,哪些能被
4
整
除?哪些能被<
/p>
8
整除?哪些能被
9
整
除?
234
< br>,
789
,
7756
,
8865
,
3728.
8064
。
解
:能被
4
整除的数有
7756
,
3728
,
806
4
;
能被
8
整除的数有
3728
,
8064
;
能被
9
整除的数有
234<
/p>
,
8865
,
8
064
。
例
2
在四位
数
56
□
2
中
,被盖住的十
位数分别等于几时,这个四位数分别
能被
9
,
8
,
4
整除?
解:如果
56
□
2
能被
9
整除,那么
5
+
6
p>
+□+
2
=
13<
/p>
+□
应能被
9
整除,
所以当十位数是
5
,
即
四位数是
5652
p>
时能被
9
整除;
如果
56
□
2
能被
8<
/p>
整除,那么
6
□
2
应能被
8
整除,
所以当十位数是
3
或
7
,
即四位数是
5632
或
5672
时能被
8
整除;
如果
56
□
2
能被
4
整除,
那么□
2
应能被
4
整除,
所以当十位数是
1
,
3
,
5
,
7
p>
,
9
,
即四位数是
5612
,
5632
< br>,
5652
,
5672
,
5692
时能被
4<
/p>
整除。
<
/p>
到现在为止,我们已经学过能被
2
,
p>
3
,
5
,
4
,
8
,
9
整除的数的特征。
根据整除的性质
3
,
我们可以把判断整
除的范
围进一步扩大。例如,判断一
个数能否被
6
整除,因为
6
=
2
×
3
,
2
与
3
互质,所以如果这个数既能被
2
整除又能被
3
整除,那么根据整除的
性质
3
,
可判
定这个数能被
6
整除。
同
理,
判断一个数能否被
12
整除,
只需
判断这个数能否同时被
3<
/p>
和
4
整除;
判断
一个数能否被
72
整除,
只需判断
p>
这个数能否同时被
8
和
9
整除;如此
等等。
例
3
从
p>
0
,
2
,
5
,
7
四个数字中任选
三
个,组成能同时被
2
,
5
,
3
整除的数,
并将这些数从小到大进行排列。
解
:因为组成的三位数能同时被
2
,
5
整除,
所以个位数字为
0<
/p>
。
根据三位数
能被
3
整除的特征,数字和
2
+
7
+
0
与
5
+
7
+
< br>0
都能被
3
整除,因此所求
p>
的这些数为
270
,
570
,
720
,
< br>750
。
例
4
五位数
能被
72
整除,
问:
A
与
B
各代表什么数字?
分析与解
:已知<
/p>
能被
72
整
除。
因为
72
=
8
×
9
,
8
p>
和
9
是互质数,
所
以
既能被
8
整除,又能被
9
整除。根据能被
8
整除的
数的特征,
要求
能被
8
整除,由此可确定
B
=
6
p>
。
再根据能被
9
整
除的数的特征,
的各位数字之和为
A
+
3
p>
+
2
+
9
+
B
=
A
+
3
-
f
< br>-
2
+
9
+
6
=
A
+
20
,
-
5 -
因为
l
≤
A
≤
9
,
所以
21
≤
A
+
20
≤
29
。
在这个范围内只有
27
能被
9
整除,
所以
A
=
7
。
解答例
4
的关键是把
72
分解成
8
×
9
,
p>
再分别根据能被
8
和
9
整除的数的
特征去讨论
B
和
A
所代表的数字。在
解题顺序上,应先确定
B
所代表的数
字
,因为
B
代表的数字不受
A
的取值
大小的影响,一旦
B
代表的数字确定
下来,
A
所代表的数
字就容易确定了。
例
5
六位数
是
6
的倍数,
p>
这样的六位数有多少个?
分析与解
:因为
6
=
2
×
3
,且
2
与
3
互质,所以这个整数既能被
2
整除又
能被
3
整除。由六位数能被
2
整除,
推知
A
可取
0
,
2
,
4
,
6
,
8
这五个
值。
再由六位数能被
3
整除,推知
p>
3
+
A
+
B
+
A
+
B
+
A
< br>=
3
+
3A
+
2B
能被
3
整除,故
2B
能被
3
整除。
B
可取
0
,
3
,
6
,
9
< br>这
4
个值。由于
B
可以取
4
个值,
A
可以取
5
个值,
题目<
/p>
没有要求
A
≠
B
,所以符合条件的六位
数共有
5
×
4
=
20
(个)。
例
6
要使六
位数
能被
36
整
除,而且所得的商最小,问
A
,
B<
/p>
,
C
各代表什么数字?
< br>
分析与解:因为
36
=
4
×
9
,且
4
与
9
互质,
所以这个六位数应既能被
< br>4
整除又能被
9
整除。
六位数
能被
4
整除,就
要
能被
4
整除,
因此
C
可取
1
,
3
,
5
,
7
,
9
。
p>
要
使
所
得
的
商
最
小
,
< br>就
要
使
这个六位数尽可能小。<
/p>
因此
首先是
A
尽
量小,其次是
B
尽量小,
最后是
C
尽量小。
先试取
A
=0
。
六位数
的各位数字之和为
12
+
B
+
C
。它应能被
9
整除,
因此
B
+
C
=
6
或
B
+
p>
C
=
15
。
因为
B
,
C
应尽量小,
所
以
B
p>
+
C
=
6
,而
C
只能取
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,所以要使
尽可能小,应
取
B
=
1
,
C
p>
=
5
。
四年级奥数安博京翰教育
当
A=0
,
B=1
,
C
=
5
时,六位数能
被
36
整除,而且所得商最小,为
150156
÷
36
=
4171
。
练习
4
1
.
653
9724
能被
4
,
8
,
9
,
24
,
36
,
72
中的哪几个数整除?
2
.个位数是
5
,且能被
9
整除的
三位数共有多少个?
<
/p>
3
.
一些四位数,
百位上的数字都
是
3
,十位上的数字
都是
6
,
并且它们
既能被
2
整除又能被
3
整除。在这样
的四位数中,最大的和最小的各是多
少?
4
.
五位数
能被
12
整除,
求这个五位数。
5
.有一
个能被
24
整除的四位数
□
23
□,这个四位数最大是几?最小
是几?
6
.从
0
,
2
,
3
,
6
< br>,
7
这五个数码
中选出四个,<
/p>
可以组成多少个可以被
8
整除的没有重复
数字的四位数?
7
.在
123
的左右各添一个
数码,
使得到的五位数能被
72
整除。
8
p>
.学校买了
72
只小足球,发票
上的总价有两个数字已经辨认不清,
只看到是□
6
7.9
□元,你知道每只小
足球多少钱吗?
第
5
讲
弃九法
从第
4
讲知道,如果一个数的各
个数位上的数字之和能被
9
整除,那
么这个数能被
9
整除;如果一个数各
个数位上的数字之和被
9
除余数是几,
那么这个数被
9
除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数
能否被
9
p>
整除或者求出被
9
除的余数
是几。
例如,
3645732
这个数,
各个数位
上的数字之和为
3
+
6
p>
+
4
+
5
+
7
+
3
+
2
=
30
,
30
被
9
除余
3
,所以
3645732
这
个数不能被
9
整除,且被
9
除后余数
为
3
< br>。
但是,当一个数的数位较多时,
这种计算麻烦且易错。有没有更简便
< br>的方法呢?
因为我们只是判断这个式子被
9
除的余数,
所以凡是若干个数的和是
9
时,就把这些数划掉
,如
3
+
6
=
9
,
4
+
p>
5
=
9
,
7
+
2
=
9
,把这些数划掉后,
最多只剩下一个
3
(如下图)
,
所以这
p>
个数除以
9
的余数是
3
。
这种
将和为
9
或
9
的倍数的数字
< br>划掉,用剩下的数字和求除以
9
的余
数的方法,叫做弃九法
。
一个数被
9
除的余数叫做这个数
的
九余数
。利用弃
九法可以计算一个
数的九余数,还可以检验四则运算的
正确性。
例
1
求多
位数
76458215
除以
9
的余数。
分析与解
:
利用弃九法,将和为
9
的
数依次划掉。
只剩下
7
,
6
,
p>
1
,
5
四个数,这
时
口算一下即可。
口算知,
7
,
6
,
5
的和
是
9
的倍数,
又可划掉,
只剩下
1
。
所
以这个多位数除以
9
余
1
。
例
2
将自然数
1
,
2
,
3
,…依次无间
隔
地
写
下
去
组
成
一
个
数
11
213
…如果一直写到自
然数
100<
/p>
,
那么所得的数除以
9
< br>的余数
是多少?
分析与解
p>
:因为这个数太大,全部写
出来很麻烦,在使用弃九法时不能逐
p>
个划掉和为
9
或
9
的倍数的数,所以
要配合适当的分析。我们已经熟知
1
+
2
+
3
+…+
9
=
45
< br>,
而
45
是
9
的倍数,
所以每一组
1
,
2
,
3
,…,
9
都可以划掉。在
1
~
p>
99
这九十九个数中,
个位数有十组
1
,
2
,
3
,…,
9
,都可划掉;
十位数也有十
组
1
,
< br>2
,
3
,…,
< br>9
,也都划掉。这样
在这个大数中,除了
0
以外,只剩下
最后的
100
中的数字
1
。
所以这个数除
以
9
余
< br>1
。
在上面的解法中,并没有计算出
这个
数各个数位上的数字和,而是利
用弃九法分析求解。本题还有其它简
捷的解法。因为一个数与它的各个数
- 6 -
位上的数
字之和除以
9
的余数相同,
所以题中这
个数各个数位上的数字之
和,与
1
+<
/p>
2
+…+
100
除以
9
的余数
相同。
< br>
利用高斯求和法,
知此和是
5050
。
因为
5050
的数字和为
5
+
0
+
5
+
0=10
,利用弃九法,弃去一个
< br>9
余
1
,
故
5050
除以
9
< br>余
1
。因此题中的数除
以
9
余
1
。
例
3
检验下面的加法算式是否正确:
2638457
+
< br>3521983
+
6745785
=
12907225
。
分析与解
:
若干个加数的九余数相加,
所得和的九余数应当等于这些加数的
和的九余数。如果不等,那么这个加<
/p>
法算式肯定不正确。上式中,三个加
数的九余数依次为
8
,
4
,
6
,
8+4+6
的
九余数为
0
;和的九余数为
1
。因为
0
≠
1
,所以这个算式不正确。
例
4
检验下面的减法算式是否正确:
<
/p>
7832145-2167953
=
56
64192
。
分析与解
:被减数的九余数减去减数
的九余数(若不够减,可在被减数的
九余数上加
9
,
然后再减)
应当等于差
的九余数。如果不等,那么这个减法
计算肯定不正确。上式中被减数的九
余数是
3
,
减数的九余数是
6
,
由
(
9+3
)
-6
=
6
知,
原题等号左边的九余数是
6
。
等号右边的九余数也是
6
。
因为
6
=
6
,
所以这个减法运算可能正确。
值得注意的是,这里我们用的是
“可
能正确”。
利用弃九法检验加法、
减法、
乘法
(见例
5
)
运算的结果是否
正确时,如果等号两边的九余数不相
等,那
么这个算式肯定不正确;如果
等号两边的九余数相等,那么还不能
确定算式是否正确,因为九余数只有
0
,
1
,
2
,…,
8
九种情况,不同的数
可能有相同的九余数。所以用弃九法
检验运算的正确性,只是一种粗略的
检验。
例
5
检验下面的乘法算式是否正确:
46876
×
9537
=
447156412
。<
/p>
分析与解
:两个因数的九余数相乘,<
/p>
所得的数的九余数应当等于两个因数
的乘积的九余数。如果不等,
那么这
个乘法计算肯定不正确。上式中,被
乘数的九余数是
p>
4
,
乘数的九余数是
6
,
四年级奥数安博京翰教育
4
×
6
=
24
,
24
的九余数是
6
p>
。乘积的
九余数是
7
。
6
≠
7
,
所以这个算式不正
确。
说明:
因
为除法是乘法的逆运算,
被除数
=
除数
×商
+
余数,所以当余数
为零时,利用
弃九法验算除法可化为
用弃九法去验算乘法。例如,检验
383
801
÷
253=1517
的正确性,
只需检
验
1517
×
< br>253=383801
的正确性。
练习
5
<
/p>
1
.求下列各数除以
9
< br>的余数:
(
1
)
7468251
;
(
2
)
36298745
;
(
3
p>
)
2657348
;
(
4
)
6
678254193
。
2
.求下列各式除以
9
的
余数:
(
1
)
67235
+
82564
;
(
2
)
97256-4782
3
;
<
/p>
(
3
)
2783
×
6451
;
(
4
)
347
7+265
×
841
。
3
.
用弃九法检验下列各题计算的
正确性:
< br>
(
1
)
228
×
222
=
50616
;
(
< br>2
)
334
×
< br>336
=
112224
;
(
3
)
23372428
÷
6
236
=
3748
;
< br>
(
4
)
12345
÷
6789
=
83810105
。
4
.有一
个
2000
位的数
A
< br>能被
9
整除,数
A
的各个数位上的数字之和
是
B
,
数
B
的各个数位上的数字之和是<
/p>
C
,
数
C
的各个数位上的数字之和是
D
。
求
D
。
第
6
讲
数的整除性(二)
这一讲主要讲能被
11
整除的数的
特征。
一个数从右边数起,
第
1
,
3
,
< br>5
,
…
位称为奇数位,
第
2
,
4
,
6
,
…位称为
偶数位。也就是说,个位、百位、万
位……是奇数位,十位、千位、十万<
/p>
位
…
…
是
偶
数
位
。
例
如
9
位
数
768325419
中,
奇
数位与偶数位如下图
所示:
能被
p>
11
整除的数的特征:
一个数的奇
数位上的数字之和与偶数位上的数字
之和的差(大数减小数)如果能被<
/p>
11
整除,那么这个数就能被
11
整除
。
例
1
判断七
位数
1839673
能否被
11
整除。
分析与解
:
奇数位上的数字之和为
1
+
3
+
6
+
3=13
,偶数位上的数字之和
为
8
< br>+
9
+
7=24
,因为
24-13=11
能被
11
整除,所以
1839673
能被<
/p>
11
整除。
根据能被
11
整除的数的特征,
也
能求出一个数除以
11
的余数。
一个数除以
11
的余数,
与它的奇
数位上的数字之和减去偶数位上的数
p>
字之和所得的差除以
11
的余数相同。
p>
如果奇数位上的数字之和小于偶数位
上的数字之和,那么应在奇数位
上的
数字之和上再增加
11
的整数倍,
使其
大于偶数位上的数字之和。
例
2
求下列各数除以
11
的余数:
(
1
)
p>
41873
;
(
2
)
296738185
。
分析与解
:(
1
)
[
(
4
+
8
+
< br>3
)-(
1
+
< br>7
)
]
÷
11
=7
÷
11
=
0
……
7
,
所以
41873
除以
11
的余数是
7
。
(
2
< br>)奇数位之和为
2
+
6
+
3
+
1
+
5=17
,
偶数位之和为
9
+
7
+
p>
8
+
8
=
32
。
因为
17
<
32
,所以应给
1
7
增加
11
的
整数倍,使其大于
32
。
(
17+
11
×
2
)
-
32
=
7
,
所以
296738185
除以
11
的余数是
7
。
p>
需要说明的
是,当奇数位数字之
和远远小于偶数位数字之和时,为了
计算方
便,也可以用偶数位数字之和
减去奇数位数字之和,再除以
11
,所
得余数与
11
的差即为所求。
如上题
(
2
)
中,(
32-17
)÷
11
=
1
……
4
,所求余
数是
< br>11-4=7
。
例
3
求
p>
除以
11
的余
数。
分析与解
:
奇数位是
101
个
1
< br>,
偶数位
是
100
个
9
。
(
9
p>
×
100-1
×
1
01
)÷
11
=799
÷
11=72
……
7
,
< br>
11-7=4
,所求余数是
4
。
例
3
p>
还有其它简捷解法,例如每
个“
19
”奇偶数位上的数字相差
9-1
=
8
,
奇数位上的数字
- 7 -
和与偶数
位上的数字和相差
8
×
99=8
×
9
×
11
,能被
11
整除。所以例
3
相
当于求最后三位数
191
除以
11
的余
数。<
/p>
例
4
用
3
,
3
,
7
,
7
四个数码能排出哪
些能被
11
整除的四位数?
解
:
只要奇数位和偶数位上各有一个
3
和一个
7
即可。
有
3377
,
3773
,
733
7
,
7733
。
例
5
用
1
~
9
九个数
码组成能被
11
整
除的没有重复数字的
最大九位数。
分析与解
:最大的没有
重复数字的九
位数是
987654321
,由
(
9
+
7
+<
/p>
5
+
3
+
1
)
-
(
8
+
6
+
4
+
2
)=
< br>5
知,
< br>987654321
不能被
11
整除。
为了保证这个数尽可能大,我们尽量
调整低位数字,只要
使奇数位的数字
和增加
3
(
偶数位的数字和自然就减少
3
)
< br>,奇数位的数字之和与偶数位的数
字之和的差就变为
5<
/p>
+
3
×
2=11
,这个
数就能被
11
< br>整除。调整“
4321
”,只
要
4
调到奇数位,
1
调到偶数位,
奇数
位就比原来增大
3
,
就可达到目的。
此
时,
4
,
3
< br>在奇数位,
2
,
1
在偶数位,
后
四
位
最
大
是
2413
。
所
求
数
为
987652413
。
例
6
六位数
能被
99
整
除,求
A
和
B
。
分析与解
:由
99=9
×
11
,且
9
与
11
互质,所以六位数既能被
9
整除又能
被
11
< br>整除。因为六位数能被
9
整除,
所以
A+2+8+7+5+B
=
22+A+B
应能被
9
整
除,
由此推知
A
+
B
=
5
或
14
。
又因为六位数能被
11
整除,
所
以
(
A
p>
+
8
+
5
)-(
2
+
7
+
B
)
=
A-B
+
4
应能被
1
1
整除,即
A-B+4=0
或
< br>A-B+4=11
。
化简得
B-A
=
4
或
A-B
=
7
。
因为
A+B
与
A-B
同奇同偶,所以
有
四年级奥数安博京翰教育
在(
1<
/p>
)中,
A
≤
5<
/p>
与
A
≥
7
不能同
时满足,所以无解。
在(
2<
/p>
)中,上、下两式相加,得
(
B
+
p>
A
)+(
B-A
)
=
14
+
4
,
2B<
/p>
=
18
,
B=9
。
将
B=9
代
入
A
+
B=14
,得
A
=
5
。
所以
,
A=5
,
B
=
9
。
练习
6
1
.
为使五
位数
6
□
295
能被
11
整
除,□内应当填几?
p>
2
.用
1
,
2
,
3
,
4
四个数码能排
出哪些能被
11
整除的没有重复数字的
四位数?
3
.求能被
11
整除的最大的没有
重复数字的五位数。
4
.求下列各数除以
11
的余数:
(
1
p>
)
2485
;
<
/p>
(
2
)
6358
2
;
(
3<
/p>
)
987654321
。
5
.求
除以
11
的
< br>余数。
< br>6
.
六位数
5A634B
能被
33
整除,求
A
+B
。
7
.
七位数
3
A8629B
是
88
的倍数,求
A
和
B
。
第
7
讲
找规律(一)
我们在三年级已经见过
“找规律”<
/p>
这个题目,学习了如何发现图形、数
表和数列的变化规律。这一讲
重点学
习具有“周期性”变化规律的问题。
什么是周期性变化规
律呢?比如,一
年有春夏秋冬四季,百花盛开的春季
过后就是夏
天,赤日炎炎的夏季过后
就是秋天,果实累累的秋季过后就是
冬
天,白雪皑皑的冬季过后又到了春
天。年复一年,总是按照春、夏、秋、
冬四季变化,
这就是周期性变化规律。
再比如,数列<
/p>
0
,
1
,
2
,
0
,
1
,
2
,
0
,
1
,
2
,
0
,…是按照
0
,
1
,
2
三个数重
复出现的,这也是周期性变化问题。
下面,我们通过一
些例题作进一
步讲解。
例
1
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯
按照
5
盏红灯、
再接
4
盏蓝灯、
再接
3
盏黄灯,
然后又是
5
盏红灯、
4
盏蓝灯、
3
盏黄灯、……这样排下去。问:
(
1
)第<
/p>
100
盏灯是什么颜色?
(
2
p>
)前
150
盏彩灯中有多少盏蓝
灯?
分析与解
:这是一
个周期变化问题。
彩灯按照
5
红、
p>
4
蓝、
3
黄,每<
/p>
12
盏
灯一个周期循环出现。
(
1
)
100
÷
12
=
8
……
4
,所以第
100
盏灯是第<
/p>
9
个周期的第
4
盏灯,
是
红灯。
(
2
p>
)
150
÷
12=
12
……
6
,前
150
盏灯共有
12
个周期零
6
盏灯,
12
个周<
/p>
期中有蓝灯
4
×
12
=
48
(盏)
,
最后的
6
盏灯中有
1
盏蓝灯,所以共有蓝灯
48
+
1=49
(盏)。
例
2
有一串数,任何相邻的四个数之
和都等于
25
。
已知第
1
个数是
3
< br>,
第
6
个数是
< br>6
,第
11
个数是
7
。问:这串
数中第
24<
/p>
个数是几?前
77
个数的和
是多少?
分析与解
:因为
第
1
,
2
,<
/p>
3
,
4
个数的<
/p>
和等于第
2
,
3
,
4
,
5
p>
个数的和,所以
第
1
个数与第
5
个数相同。进一步可
推知
,
第
1
,
5<
/p>
,
9
,
13
p>
,
…个数都相同。
同理,第
2
,
6
,
10
,
14
,…个数
都相同,第
3
,
7
< br>,
11
,
15
< br>,…个数都
相同,
第
4
,
8
,
12
,
16
…个数都相同。
也就是说,这串数是按照每四个<
/p>
数为一个周期循环出现的。
所以,
第
p>
2
个数等于第
6
个
数,
是
6
;
第
3
个数等
于第
11
个数,是
7
。前三个数依次是
p>
3
,
6
,
7
,第四个数是
25-
(
3
+6+7
)
=9
。
这串数按照
3
,
6
,
7
,
9
的顺序循
< br>环出现。第
24
个数与第
4
p>
个数相同,
是
9
。
由
77
÷
4
=
9
……
1
知,
前
77
个
数是
19
个周期零
1
个数,其和为
25
×
19+3=478
。
例
3
下面这串数的规律是:从第
3
个
数起,
每个数都是它前面两个数之和
的个位数。
问:这串数中第
88
个数是
几?
628088640448
…
- 8 -
分析与解
:这串数看起来
没有什么规
律,但是如果其中有两个相邻数字与
前面的某两个相
邻数字相同,那么根
据这串数的构成规律,这两个相邻数
字后面
的数字必然与前面那两个相邻
数字后面的数字相同,也就是说将出
现周期性变化。我们试着将这串数再
多写出几位:
当写出
第
21
,
22
位
(竖线右面的
两位)时就会发现,它们与第
< br>1
,
2
位
数相同,
所以这串数按每
20
个数一
个
周期循环出现。
由
88
÷
20=4
……
8
知,
第
88
个数与第<
/p>
8
个数相同,
所以第
88
个数是
4
。
< br>
从例
3
看出,周期性规律有时并
不明显,要找到它还真得动点脑
筋。
例
4
在下面的一串数中,从第五个数
起,每个数都是它前面四个数之和的
个位数字。那么在这串数中,能否出
现相邻的四个数是“
2
000
”?
7134
…
分析与解
:
无休止地将这串数写下去,
显然不是聪明的做法。按照例
3
的方<
/p>
法找到一周期,因为这个周期很长,
所以也不是好方法。那么怎么
办呢?
仔细观察会发现,这串数的前四个数
都是奇数,按照“每
个数都是它前面
四个数之和的个位数字”,如果不看
具体数,只
看数的奇偶性,那么将这
串数依次写出来,得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……
可以看出,这串数是按照四个奇
数一
个偶数的规律循环出现的,永远
不会出现四个偶数连在一起的情况,
即不会出现“
2000
”。
例
5
A
p>
,
B
,
C
,
D
四个盒子中依次放有
8
,
6
,
3
,
1
个球。第
1
个小朋友找到
放球最少的盒子,然后从其它盒子中
各取一个球放入这个盒子;第
2
个小
朋友也找到放球最少的盒子,然后也
从其它盒子中各取一个球放入这个盒
p>
子……当
100
位小朋友放完后,
A
,
B
,
C
,
D
四个盒子中各放有几
个球?
分析与解
:按照题意,前六位
小朋友
放过后,
A
,
< br>B
,
C
,
D
四个盒子中的球
数如下表:
四年级奥数安博京翰教育
可以看出,第
6
人放过后与第
2
人放过后四个盒
子中球的情况相同,
所以从第
2
人放过
后,每经过
4
人,
四个盒子中球的情况
重复出现一次。
(
100-1
)÷
4
=
24
……
3
,
所以第
100
次后的情况与第
4
次
(
3
+
1
=
4
)后的
情况相同,
A
,
B
,
C
,
D
盒中依次有
4
,
6
,
3
,
5
个球。
练习
7
1
.
有一串
很长的珠子,
它是按照
5
颗红珠、
p>
3
颗白珠、
4
颗黄
珠、
2
颗
绿珠的顺序重复排列的。问:
第
100
颗珠子是什么颜色?前
200
颗珠子中
有多少颗红珠?
2
.将<
/p>
1
,
2
,
3
,
4
,…除以
p>
3
的余
数依次排列起来,得到一个数列。求
这个数列前
100
个数的和。
3
.
有一串数,
前两个数是
9
和
7
,
从第三
个数起,每个数是它前面两个
数乘积的个位数。这串数中第
10
0
个
数是几?前
100
个数之和是多少?
p>
4
.有一列数,第一个数是
6
,以
后每一个数都是它前面一个数与
7
的
和的个位数。这列数中第
88
个数是
几?
5
.
小明按
1
~
3
报数,
小红按
1
~
4
报数。
两人以同样的速度同时开始报
数
,当两人都报了
100
个数时,有多
少
次两人报的数相同?
6
.
A
,
B
,
C
,
D
四个盒子中依次放
有
9
,
6
,
3
,
0
个小球。第
1
个小朋友
找到放球最多的盒子,从中拿出
3
p>
个
球放到其它盒子中各
1
< br>个球;第
2
个
小朋友也找到放球
最多的盒子,也从
中拿出
3
个球放到其
它盒子中各
1
个
球……当
100
个小朋友放完后,
A
,
B
,
C
,<
/p>
D
四个盒子中各放有几个球?
第
8
讲
找规律(二)
整数
a
与它
本身的乘积,即
a
×
a
叫做这个数的
平方
,记作
a<
/p>
2
,
即
a
2
=
a
×
a
;
同样,三个
a
的乘积叫做
a
的三
次
方,记作
a
3
,即
a
3
=
a
×
a
×
a
。一
般
地,
n
个
a
相乘,
叫做
a
的
n
次方
,
记
作
a
n
,即<
/p>
本讲主要讲
a
n
的个
位数的变化规
律,以及
a
n
除以某数所得余数的变化
规律。
因为积的个位数只与被乘数的个<
/p>
位数和乘数的个位数有关,
所以
an
p>
的
个位数只与
a
的
个位数有关,而
a
的
个位数只有
0
,
1
,
2
,…,
9
共十种情
p>
况,故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数
a
自乘
n
次后,
乘积的个位数字
的变化规律,我们列
出下页的表格,
看看
a
,
a
2
,
a
3
,
a
p>
4
,
…
的个位数字
各是什么。
从表看出,
a
n
的个位数字的变化
规律可分为三类:
(
1
)当<
/p>
a
的个位数是
0
,
1
,
5
,<
/p>
6
时,
a
n
p>
的个位数仍然是
0
,
1
,
5
,
6
。
p>
(
2
)当
a
的个位数是
4
,
9<
/p>
时,
随着
n
的增
大,
a
n
的个位数按每两个
数为一周期循环出现。其中
a
的个位
数是
4
时,按
4
,
6
的顺序循环出现;
a
的个位数是
9
时,按
< br>9
,
1
的顺序循
环出现。
(
3
)当
a
的个位数是
2
,
3
,
7
,
8
时,随着
n
的增大,
a
n
的个位数按每
四个数为一周期循环出现。其
中
a
的
个位数是
2
时,按
2
,
4
,
8
,
6
的顺序
循环出现;
a
< br>的个位数是
3
时,按
3
,
9
,
7
,
1
的顺序循环出现;
当<
/p>
a
的个位
数是
7
时,按
7
,
9
,
3
,
1
p>
的顺序循环
出现;
当
a
的个位数是
8
时,
按
8
,
4
,
2
,
6
的顺序循环出现。
- 9 -
例
1
求
p>
67
999
的个位数字。
< br>
分析与解:
因为
67
的个位数是
7
p>
,
所以
67
n
p>
的个位数随着
n
的增大,
< br>按
7
,
9
,
3
,
1
四
个数的顺序循环出现。
999
÷
4
=
249
……
3
,
所以
67
999
的个位数字与
7
3
的个位
数字相同,即
67
999
的个位数字是
3
。
例
2
求
p>
2
91
+3
291
的个位数字。
分析与解
:
因为
2
n
的个位数字按
2
,
4
,
8
,
6
四个数的顺序循环出现,
91
÷
4
=
22
……
3
,所以,
2
91
的个位数字与
2
3
的个位数字
相同,等于
8
。
类似地,
3
n
的个位数字按
3
< br>,
9
,
7
,
1
四个数的顺序循环出现,
p>
291
÷
4
=
p>
72
……
3
,
p>
所以
3
291
与
3
3
的个位数相同,
等于
7
。
最后得到
2
91
+3
291
的个位数字与
8+7
p>
的个位数字相同,等于
5
。
例
3
求
28
128
-29
29
的个位数字。
解
p>
:由
128
÷
4<
/p>
=
32
知,
28
128
的个位数
与
8
4
的个位数相同,
等于
6
。
由
29
÷
2
=
14
……
1
知,
29
29
的个位数与
9
1
p>
的个
位数相同,等于
9
。因为
6
<
9
,在减
法中需向十位借位,所以所求个位数
字为
16
-
9
=
7
。
例
4
求下列各除法运算所得的余数:
(
1
)
p>
78
55
÷
5
p>
;
(
2
)
5
55
÷
3
。
分析与解
:(
1
)由
55
÷
4
=
13
……
3
知,
78
55
的个位数与
8
3
的个位数相同,
< br>等于
2
,所以
78
55
可分解为
10
×
a
+
2
。
因为
10
×
a
能被
5
整除,所以
78<
/p>
55
除
以
5
p>
的余数是
2
。
(
2
p>
)
因为
a
÷
3
的余数不仅仅与
a
的个位数有关,所以不能用求
5
55
的
个
四年级奥数安博京翰教育
位数的方
法求解。
为了寻找
5
n
÷
3
的余
数的规律,先将
p>
5
的各次方除以
3
的
余数列表如下:
注意:表中除以
3
< br>的余数并不需
要计算出
5
n
p>
,然后再除以
3
去求,而
< br>是用上次的余数乘以
5
后,再除以
3
去求。比如,
5
2
除以
3
的余数是
1
,
5
3
除以
3
的余数与
1
×
5=5
除以
3
的余数
p>
相同。这是因为
5
2
=
3
×
8+1
,其中
3
×
8
能被
3
整除,而
5
3
p>
=
(
3
×
8+1
)×
5=
(
p>
3
×
8
)
×
5+1
×
5
,
(
3
×
8
< br>)×
5
能被
3
< br>整除,所以
5
3
除以
3
的余数与
1
×
5
除以
3
的余数
相同。
由上表看出,
5
n
除
以
3
的余数,
随着
n
的增大,
按
2
< br>,
1
的顺序循环出
现。
由
55
÷
2=27
p>
……
1
知,
5
p>
55
÷
3
的余
p>
数与
5
1
÷
3
的余数相同,等于
2
。
例
5
某种细菌每小时分裂一次,每次
1
个细茵分裂成
3
个细菌。
20
时后,
将这些细菌每
7
个分为一组,还剩下
几个细菌?
分析与解
:
1
时后有
1
×
3=3
1
(个)细
< br>菌,
2
时后有
3
1
×
3=3
2
(个)细菌……
20
时后,
有
3
20
个细菌,
所以本题相当
于“求
3
20
÷
7
的余数”。
由例
4<
/p>
(
2
)的方法,将
3
的各次
方除以
7
< br>的余数列表如下:
由上表看出,
3
n
÷
7
的余数以六个
数为周期循环出现。<
/p>
由
20
÷
6
p>
=
3
……
2
知,
3
20
÷
7
的余数与
3
2
p>
÷
7
的余数相同,
等于
2
。所以最后还剩
2
个细菌。
最后再说明一点,
a
n
÷
b
所得余
数,随着
n
的增大,必然会出现周期
性变化规律,因为所得余数必然
小于
b
,所以在
b
个数以内必会重复出现。
练习
8
1
.求下列各数的个位数字:
(
1
p>
)
38
38
;
p>
(
2
)
29
30
;
(
3
p>
)
64
31
;
p>
(
4
)
17
215
。
2
.求下列各式运算结果的个位数字:
(
1
)
92<
/p>
22
+
57
31
;
(
2
p>
)
61
5
+48<
/p>
7
+34
9
;<
/p>
(
3
)
46
9
-62
11<
/p>
;
(
4
)
3
7
×
4
8
+5
9
×
6
10
。
3
.求下列各除法算式所得的余数:
(
1
)
5
p>
100
÷
4
;
p>
(
2
)
8
111
÷
6
;
(
3
)
4
88
÷
7
第
9
讲
数字谜(一)
我们在三年级已经学习过一些简
<
/p>
单的数字谜问题。这两讲除了复习巩
固学过的知识外,还要学习一
些新的
内容。
例
1
在下面算式等号左边合适的地方
添上括号,使等式成立:
5+7
×
8
+12
÷
4-2
=
20
。
分析:等式右边是
20
,而等式左
边算式中的
7
×
8
所得的积比
20
大得
多。因此必须设法使这个积缩小一定
的倍数,化大为小
。
从整
个算式来看,
7
×
8
< br>是
4
的倍
数,
< br>12
也是
4
的倍数,
5
不能被
4
整
除,因此可在
7
×
8+1
2
前后添上小括
号,再除以
4
得
17
,
5
+
17-2=20
。
<
/p>
解
:
5+
(
p>
7
×
8+12
)÷
4-2=20
。
例
2
把
p>
1
~
9
这九个数字
填到下面的
九个□里,组成三个等式(每个数字
只能填一次):
分析与解
:如果从加法与减法两个算
式入手,那么会出现许多种情形。如
果从乘法算式入手,那么只有下面两
种可能:
2
×
p>
3
=
6
或
2
×
4
=
8
,
所以应当从乘法算式入手。
因为在加法算式□
+
□
=
□中,等
号两边的数相等,所以加法算式中的
三个□内的三个数的和是偶数;而减
p>
法算式□
-
□
=<
/p>
可以变形为加法算式□
=
□
+
□,所以减法算式中的三个□内
的三个数的和也是
偶数。于是可知,
原题加减法算式中的六个数的和应该
是偶数。
若乘法
算式是
2
×
4
=
8
,
则剩下的
六个数
1
,
3
,
5
,
6
,
7
,
9
的和是
奇数,
不合题意;
若乘法算式是
2
×
3
=
6
,
则剩下的
六个数
1
< br>,
4
,
5
,
7
,
8
,
9
可分为两组:
4
+
p>
5
=
9
,
8-7
=
1
(或
8-1
=
7
);
p>
1
+
7
=
8
,
9
-
5
< br>=
4
(或
9
-
4
=
5
)
。
- 10 -
所以答案为
与
例
3
下面的
算式是由
1
~
9
九个数字
组成的,其中“
7
”已填好
,请将其余
各数填入□,使得等式成立:
□□□÷□□
=
□
-
□
=
□
-7
。
分
析与解
:因为左端除法式子的商必
大于等于
2
,
所以右端被减数只能填
9
p>
,
由此知左端被除数的百位数只能填
1
p>
,
故中间减式有
8-6
,
6-4
,
5-3
和
4-2
四种可能。经逐一验证,
8-6
,
6-4
和
4-2
均无解,只有当中间减式为
5-3
时有如下两组解:
<
/p>
128
÷
64=5-3=9-7
,
或
164
÷
82
=
5-3
=
9-7
。
例
4
将
1<
/p>
~
9
九个数字分别填入下面
四个算式的九个□中,使得四个等式
都成立:
□
+
p>
□
=6
,
□×□
=8
,
□
-
p>
□
=6
,
□□÷□
=8
。
<
/p>
分析与解
:因为每个□中要填不同的
数字
,对于加式只有两种填法:
1
+
5
p>
或
2
+
4
;
对于乘式也只有两种填法:
1
×
8
或
2
×
4
。加式与乘式的数字不能
相同
,搭配后只有两种可能:
(
1
)加式为
1
+
5
p>
,乘式为
2
×
4<
/p>
;
(
2
)加式为
2+4
,乘式为
1
×
8
。
对于(
1
),还剩
3
,
6
,
7
,
8<
/p>
,
9
五个数字未填,
减式只能是
9-3
,
此时
除式无法满足;
对于(
2
),还剩
3
,
5
,
6
,
7
,
9<
/p>
五个数字未填,
减式只能是
9-3
,
此时
除式可填
56
÷
7
。答案如下:
2
+
4
=
6
,<
/p>
1
×
8
=
p>
8
,
9
-
3
p>
=
6
,
56
p>
÷
7
=
8
。
例
2
~例
4
都是对题目经过初步
分析后,将满足题目条件的所有可能
情况全部列举出来,再逐一试算,决
定取舍。这种方法叫做
枚
举法
,也叫
穷举法
或
< br>列举法
,它适用于只有几种
可能情况的题目,如果可能的
情况很
多,那么就不宜用枚举法。
四年级奥数安博京翰教育
例
5
从
1<
/p>
~
9
这九个自然数中选出八
个填入下式的八个○内,使得算式的
结果尽可能大:
[
○÷○
×(○
+
○)
]-[
< br>○×○
+
○
-
< br>○
]
。
分析与解
:
为使算式的结果尽可能大,
应当使前一个中括号内的结果尽量
大,后一个中括号内的结果尽量小。
为叙述方便,将原式改写为:
[A
÷
B<
/p>
×
(
C
+
D
)
]-[E
×
p>
F
+
G
-
H]
。
通过分析,
A
,
C
,
D
,
H
应尽可能
大,且
A
应最大,
C
,
< br>D
次之,
H
再次
之;
B
,
E
< br>,
F
,
G
应尽可能小,且
B
应
最小,
E
,
F
次之,
G
再次之。于是得
到
A
=9
,
C=8
,
D=7
,
H=6
,
< br>B=1
,
E=2
,
F=3
,
G=4
,其中
p>
C
与
D
,
E
与
F
的值可
互换。将它们代入算式,得到
[9
÷
1<
/p>
×(
8
+
7
p>
)
]
-
[2
×
3
+
4
-
6]=131
。
练习
9
1
.
p>
在下面的算式里填上括号,
使
等式成立:<
/p>
(
1
)
4
×
6+24
÷
6-5=15
;
(<
/p>
2
)
4
×
6+24
÷
6-5=35
;
(
3
)
4
×<
/p>
6+24
÷
6-5=48
;
(
4
)
4
×
6+24
÷
6-5
< br>=
0
。
2
.加上
适当的运算符号和括号,
使下式成立:
1 2 3 4 5
=
100
。
3
.把<
/p>
0
~
9
这十个数
字填到下面
的□里,组成三个等式(每个数字只
能填一次):<
/p>
□
+
□
=
□,
□
-
□
=
□,
□×□
=
□□。
4
.在下面的□里填上
+
,
-
,×,
÷,()等符号,使各个等式成立:
4
□
4
p>
□
4
□
4
=
1
,
4
□
p>
4
□
4
□
4
=
3
,
4
< br>□
4
□
4
□
4
=
5
,
4
p>
□
4
□
4
□
4
=
9
。
< br>5
.将
2
~
7
这六个数字分别填入
下式的□中,使得等式成立:
□
+
□
-
□
=
□×□÷□。
6
.将
1<
/p>
~
9
分别填入下式的九个
□内,使算式取得最大值:
□□□×□□□×□□□。
7
.将<
/p>
1
~
8
分别填入
下式的八个
□内,使算式取得最小值:
□□×□□×□□×□□。
第
10
讲
数字谜(二)
例
1
把下面算式中缺少的数字补上:
<
/p>
分析与解
:一个四位数减去一个三位
数,
差是一个两位数,也就是说被减
数与减数相差不到
100
。
四位数与三位
数相差不到
< br>100
,
三位数必然大于
900
,
四位数必然小于
1100
。由此我们找出
解决本题的突破口在百位数上。
(
1
p>
)填百位与千位。由于被减数
是四位数,减数是三位数,差是两位<
/p>
数,
所以减数的百位应填
9
,
被减数的
千位应填
1
p>
,
百位应填
0
,<
/p>
且十位相减
时必须向百位借
1
。
(
2
)填个位。由于被减数个位数
字是
0
,
差的个位数字是
1
,
所以减数
的个位数
字是
9
。
(
3
)填十
位。由于个位向十位借
1
,十位又向百位借
1
,所以被减数十
位上的实际数值是
18
,
18
分解成两个
一位数的和,
只能是
9
与<
/p>
9
,
因此,
减<
/p>
数与差的十位数字都是
9
。
所求算式如右式。
由例
1<
/p>
看出,考虑减法算式时,
借位是一个重要条件。
< br>
例
2
在下列各加法算式中,
相同的汉
字代表相同的数字,不同的汉字代表
不同的数字,求出
这两个算式:
分析与解:
(
1
)这是一道四个数
连加的算式,其特点是相同数位上的
p>
数字相同,且个位与百位上的数字相
同,即都是汉字“学”。
- 11 -
从个位相同数相加的情况来看,
和的个位数字是
8
,有两种可能情况:
2
+<
/p>
2
+
2
+
2
=
8
与
7
+
7
+
7
+
7
=
28
,
即“学”=
2
或
7
。
如果
“学
”
=
2
,
那么
要使三个
“数”
所代表的数字相加的和的个位数字为
8
,“数”只能代表数字
6
。此时,百
位上的和为“学”+“学”+
1
< br>=
2
+
2
+
1
=
5
≠
4
。因此“学”≠
2
< br>。
如果
“学”
=
7
,
那么要使三个
“数”
所代表的数
字相加再加上个位进位的
2
,和的个位数字为
< br>8
,“数”只能代
表数字
2
p>
。
百位上两个
7
相
加要向千位
进位
1
,由此可得“我”代
表数字
3
。
满足条件的解如右式。
p>
(
2
)由千位看出,“努”
=4
。由
千、百、十、个位上都有“努”,
5432-4444=988
,
可将竖式简化为左
下
式。同理,由左下式看出,“力”
=8
,
988-888=100
,
可将左
下式简化为下中
式,从而求出“学”
=9
,“习”
=1
。
满足条件的算式如右下式。
例
2
中的两
题形式类似,但题目
特点并不相同,解法也不同,请同学
们注意
比较。
例
3
下面竖式中每个汉字代表一个数
字,不同的汉字代表不同的数字,求
< br>被乘数。
分析与解
:
由于个位上的
“赛”
×
“赛”
所得的积不再是“赛”,而是另一个
< br>数,
所以
“赛”
的取值只能是<
/p>
2
,
3
,
4
,
7
,
8
,
9
。
下面采用逐一试验的方法求解。
四年级奥数安博京翰教育
(
1
)若“
赛”=
2
,则“数”=
4
,
积
=444444
。被乘
数为
444444
÷
2
=
222222
,而被乘数各个数位上的数字
各不相同,所以“赛”≠
2
。
< br>
(
2
)若“赛”=
3
,则“数”
=9
,
仿(
1
)讨论,也不行。
(
3
)若“
赛”=
4
,则“数”=
6
,
积
=666666
。
p>
666666
÷
4
得不到整数商,
不合题意。
(
4
)若“
赛”=
7
,则“数”=
9
,
积
=999999
。被乘
数为
999999
÷
7
=
142857
,符合题意。
(
5
p>
)若“赛”=
8
或
9
,仿上讨
论可知,不合题意。
所以,被乘数是
< br>142857
。
例
4
在□内填入适当的数字,使左下
式的乘法竖式成立。
分析与解
:
为清楚起见,
我
们用
A
,
B
,
C
,
D
,…表
示□内应填入的数字(见
右上式)。
由被乘数大于
500
知,
E=1
。
由于
乘数的百位数与被乘数的乘积的末位
数是
5
,
故
B
,
C
中必有一个是
5
。
p>
若
C
=
5
,则有
6
□□×
5=
(
600+
□□)
×
5
=3000+
□□×
5
,
不可能等于□
5
□
5
,
与题意不符,
所以
B=5
。再由
B=5
推知
G=0
或
5
。
若
< br>G=5
,则
F=A=9
,此时被
乘数为
695
,
无论
< br>C
为何值,它与
695
的积不可
能
等于□
5
□
5
,与题意不符,所以
G=0
,
F=A=4
。此时已求出被乘数是
645
p>
,经
试验只有
645
×
7
满足□
5
□
5
,所以
C=7
< br>;最后由
B=5
,
G=0
知
D
为偶数,
经试验
知
D=2
。
右式为所求竖式。
此类乘
法竖式题应根据已给出的
数字、乘法及加法的进位情况,先填
比
较容易的未知数,再依次填其余未
知数。
有时某未知数有几种可
能取值,
需逐一试验决定取舍。
例
5
在□内填入适当数字,使左下方
的除法竖式成立。
分析与解
:把左上式改写成右上式。
根据除法竖式的特
点知,
B=0
,
D=G=1
,
E=F=H=9
,因此除数应是
99
的两位数
的约数,
可能取
值有
11
,
33
和
99
,
再
由商的个位数是
5
以及
5
与除数的积
是两位数得到除数是
11
,进而知
A
=
C-9
。至此,除数与商都已求出,其余
未知数都可填出(见右式)。
此类除法竖式应根据除法竖式的
特点,
如商的空位补
0
、
余数必须小于
除数,
以及空格间的相互关系等求解,
只要求出除数和商,
问题就迎刃而解
了。
例
6
把左下方除法算式中的
*
号换成
数字,
使之成
为一个完整的式子
(各
*
所表示的数字
不一定相同)。
- 12 -
<
/p>
分析与解
:由上面的除法算式容易看
出,
商的十位数字“
*
”是
0
,即商为
。
因为除数与
8
的积是两位数,除
数与商的千位数字的积是三位数,知
商的千
位数是
9
,即商为
9807
。
因为“除数×
9
”是三位数,所以
除数≥
12
;又因为“除数×
8<
/p>
”是两位
数,所以除数≤
12
。推知除数只能是
12
。被除数为
9807
×
12
=
117684
。
除法算式如上页右式。
练习
10
1
.
在下面
各竖式的□内填入合适
的数字,使竖式成立:
2
.
右面的
加法算式中,相同的汉
字代表相同的数字,不同的汉字代表
不同
的数字。问:“小”代表什么数
字?
p>
3
.
在下列各算式中,不同的汉字
代表不同的数字相同的汉字代表相同
的数字。求出下列各式:
四年级奥数安博京翰教育
4
.
p>
在下列各算式中,
相同的字母
代表相同的数
字,不同的字母代表不
同的数字。这些算式中各字母分别代
表什
么数字?
第
11
讲
归一问题与归总问题
在解答某些应用题时,常常需要
先找
出“单一量”,然后以这个“单
一量”为标准,根据其它条件求出结
果。用这种解题思路解答的应用题,
称为
归一问题
。所谓“单一量”是指
单位时间的工作量、物品的单价、单
位面积的产量、单位时间所走的路程
等。
例
1
一种钢轨,
4
根共重
1900
千克,
现在有
95000
千克钢,可以制造这种
钢轨多少根?(损耗忽略不计)
分析:以一根钢轨的重量为单一
量。
(
1
p>
)一根钢轨重多少千克?
1900
÷
4
=
475
(千克)。
(
2
)
95000
千克能制造多少根
钢
轨?
95000
÷
475
< br>=
200
(根)。
解
:
95000
÷
(
1900
÷
4
p>
)
=
200
(根)
。
p>
答:可以制造
200
根钢轨。
例
2
王家养了
5
头奶牛,
7
天产牛奶
630
千克,照这样计算,
8
头奶牛
15
天可产牛奶多少千克?
分析:以
1
头奶牛
1
天产的牛奶<
/p>
为单一量。
(
1
)
1
p>
头奶牛
1
天产奶多少千克?
630
÷
5
÷
7
=
18
(千克)。
(
2
p>
)
8
头奶牛
15<
/p>
天可产牛奶多少
千克?
18
×<
/p>
8
×
15
=
p>
2160
(千克)。
解
:(
630
÷
< br>5
÷
7
)×
8
×
15=2160
(千
克)。
答:可产牛奶
2160
千克。
例
3
三台同样的磨面机
2.5
时可以磨
面粉
2400
千克,
8
台这样的磨面机磨
25600
千克面粉需要多
少时间?
分析与解
:以
1
台磨面机
1
时磨的面
p>
粉为单一量。
(
1
)
1
p>
台磨面机
1
时磨面粉多少
< br>千克?
< br>2400
÷
3
÷
2.5=320
(千克)。
(
2
)
p>
8
台磨面机磨
25600
< br>千克面
粉需要多少小时?
25600
÷
320
÷
8=10
(时)。
综合列式为
25600
÷(
2400
÷
3
÷
< br>2.5
)
÷
8=10
(时)。
例
4
4
辆大卡车运沙土,
7
趟共运走沙
土
336
吨。
现在有沙土
420
吨,
要
求
5
趟运完。问:需要增加同样的卡车多
少辆?
分析与解
:以
1
辆卡车
1
趟运的沙土
p>
为单一量。
(
1
)
1
p>
辆卡车
1
趟运沙土多少吨?
336
÷
4
÷
7=12
(吨)。
(
2
)
5
趟运走
420
吨沙土需卡车
多
少辆?
420
÷
12
÷
5
=
7
(辆)。
(
3
)需要增加多少辆卡车?
7-4
=
3
(辆)。
综合列式为
420
÷(
336
÷
4
÷
7
)÷
5-4
=
3
(辆)。
与归一问题类似的是归总问题,
归一
问题是找出“单一量”,而
归总
问题
是
找出“总量”,再根据其它条
件求出结果。所谓“总量”是指总路
程、总产量、工作总量、物品的总价
等。
例
5
一项工程,
8
个人工作
15
时可以
完成,
如果
12
个人工作
,那么多少小
时可以完成?
分析:
(
1
)工程总量相当于
1
个
人工作多少小时?
p>
15
×
8
=
120
(时)。
(
2
)
p>
12
个人完成这项工程需要多
少小时?
p>
- 13 -
120
÷
1
2
=
10
(时)。
解
:
15
×
8
÷
12
=
10
(时)。
答:
12
人需
10
时完成。
例
6
一辆汽车从甲地开往乙地
,每小
时行
60
千米,
5
时到达。若要
4
时到
达,则每小时需要多行多少千米?
分析:从甲地到乙地的路程是一
定的
,以路程为总量。
(
1
)
从甲地到乙地的路程
是多少
千米?
60
×
5=
300
(千米)。
(
2
)
p>
4
时到达,每小时需要行多
少千米?
300
÷
4
=
75
(千米)。
p>
(
3
)每小时多行多少千米?
75
-
60
=
15
(千米)。
解
:
(
60
×
5
)
÷
4
——
60
=
15
(千米)
。
答:每小时需要
多行
15
千米。
例
7
修一条公路,原计划
60
人工作,
80
天完成
。
现在工作
20
天后,
又增加
了
30
人,
这样剩下的部分再用多少天
可以完成?
分析:
(
1
)修这条公路共需要多
少个劳动日(
总量)?
60
×
80
=
4800
(劳动日)。
(
2
)
p>
60
人工作
20
天
后,还剩下
多少劳动日?
4800-60
×
< br>20=3600
(劳动日)。
(
3
)剩下
的工程增加
30
人后还
需多少天完成?
360
0
÷(
60
+
30
)
=40
(天)。
解
:(
60
×
80-60
×
20
)÷(
60
+
30
p>
)
=
40
(天)。
答:再
用
40
天可以完成。
练习
11
1
.
p>
2
台拖拉机
4
时耕
地
20
公顷,
照这样速度,
5
台拖拉机
6
时可耕地多
少公顷?
2
.
4
台织布
机
5
时可以织布
2600
米,
24
台织布机几小时才能织布
< br>24960
米?
3
.一种幻灯机,
< br>5
秒钟可以放映
80
张片子。<
/p>
问:
48
秒钟可以放映多少
张片子?
4
.
3
台抽水机
8
时灌溉水田
48
公顷
,
照这样的速度,
5
台同样的抽水
p>
机
6
时可以灌溉水田多小公顷?
四年级奥数安博京翰教育
5
.
p>
平整一块土地,
原计划
8
< br>人平
整,
每天工作
7.5
时,
6
天可以完成任
务。由于急需播种,要求
5
天完成,
并
且增加
1
人。问:每天要工作几小
时?
6
p>
.食堂管理员去农贸市场买鸡
蛋,原计划按每千克
< br>3.00
元买
35
千
克。结果鸡蛋价格下调了,他用这笔
钱多买了
2.
5
千克鸡蛋。问:鸡蛋价
格下调后是每千克多少元?
7
.
锅炉房按照每天
4.5
吨的
用量
储备了
120
天的供暖煤。
供暖
40
天后,
由于
进行了技术改造,
每天能节约
0.9
吨
煤。
问:
这些煤共可以供暖多少天?
第
12
讲
年龄问题
年龄问题是一类以“年龄为内
容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点
是:二人年
龄的差保持不变,它不随岁月的流逝
而改变;
二人的年龄随着岁月的变化,
将增或减同一个自然数;二人年龄的
p>
倍数关系随着年龄的增长而发生变
化,年龄增大,倍数变小。
根据题目的条
件,我们常将年龄
问题化为“差倍问题”、“和差问
题”、“和
倍问题”进行求解。
例
1
儿子今年
10
岁,
5<
/p>
年前母亲的年
龄是他的
6
倍,母亲今年多少岁?
分析与解
:儿子今年
10
岁,
5
年前的
年龄为
5
岁,那么
5
年前母亲的年龄
为
< br>5
×
6
=
30
(岁),因此母亲今年是
30
+
5=
35
(岁)。
例
2
今年爸爸
48
岁,儿子
20
岁,几
年前爸爸的年龄是儿子的
5
倍?
< br>
分析与解
:今年爸爸与儿子的年龄差
< br>为“
48
——
20
”岁,因为二人的年龄
差不随时间的变化而改变,所以当爸
< br>爸的年龄为儿子的
5
倍时,两人的年
龄差还是这个数,这样就可以用“差
倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿
子年龄的
5
倍时,儿子的年龄是
< br>
(
48
——
20
)
÷
(
5
——
1
)
=
7
(
岁)
。
由
20
-<
/p>
7
=
13
(岁)
,推知
13
年
前爸爸的年龄是儿子年龄
的
5
倍。
例
3
兄弟二人的年龄相差
5
岁,兄
3
年后的年龄为
弟
4
年前的
3
倍。问:
兄、弟二人今年各多少岁?
分析与解
:
根据题意,
作示意图如下:
p>
由上图可以看出,兄
3
年后的年
龄比弟
4
年前的年龄大
5
+
3
+
4
p>
=
12
(岁),由“差倍问题”解得,弟<
/p>
4
年前的年龄为(
5
+
3
+
4
)÷(
3
-
1
)
=
6
(岁)。由此得到
弟今年
6
+
4
=
< br>10
(岁),
兄今年
10
+
5
=
15
(
岁)。
例
4
今年兄弟二人年龄之和为
55
岁,
哥
哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数
相同,那一年哥哥的岁数恰好是弟弟
< br>岁数的
2
倍,请问哥哥今年多少岁?
分析与解
:在哥哥的岁数是弟弟的岁
数
2
倍的那一年,若把弟弟岁数看成
一份,
那么哥哥的岁数比弟弟多一份,
哥哥与弟弟的年龄差是
1
份。又因为
那一年哥哥岁数与今年弟
弟岁数相
等,所以今年弟弟岁数为
2
份
,今年
哥哥岁数为
2
+
1=3
(份)
(见下页图)
。
由“和
倍问题”解得,哥哥今年
的岁数为
55
÷
(3
+2)
×
3=33(
岁
)
。
例
5
哥哥
5
年前的年龄与妹妹
4
年后
的年龄相等,哥哥
2
年后的年龄与妹
妹
8
年后的年龄和为
97
p>
岁,
请问二人
今年各多少岁?
分析与解
:由“哥哥
5<
/p>
年前的年龄与
妹妹
4
年后的年龄相等”可知兄妹二
人的年龄差为
“
4
+
5
”岁。由
“哥哥
2
年后的年龄与妹妹
8
年后的年龄和为
97
岁”,可知兄
妹二人今年的年龄和
为“
97
——
p>
2
——
8
”岁。由
“和差问
题”解得,
兄
[
(
p>
97
——
2
——<
/p>
8
)
+
(
4
+
5
)
]
÷
2
=
48
(岁),
妹
[
(
p>
97
——
2
——<
/p>
8
)
-
(
4
+
5
)
]
÷
2=39
(岁)。<
/p>
- 14 -
例
6
1994
年父亲的年龄是哥哥和弟弟
年龄之和的
4
倍。
2000
年,父亲的年
龄是哥
哥和弟弟年龄之和的
2
倍。
问:
父亲出生在哪一年?
分析与解
:如果用
1
段线表示兄弟二
人
1994
年的年龄和,则父亲
199
4
年
的年龄要用
4
段线来表示
(见下页图)
。
父亲在
2000
年的年龄应是
4
段线
再加
6
岁,
而兄弟二人在
2000
年的年
龄之和是
1
段线再加
2
×
6
=
12
(岁)
,
它是父亲年龄的一半,也就是
2
段线
再加
3
岁。由
1
段+
12
岁
=2
段+
3
岁,
推知
1
段是
9
岁。所以父亲
p>
1994
年的年龄是
9
×
4
=
36
(岁),他出生
于
1994
——
36
=
1958
(年)。
例
7
今年父亲的年龄为儿子的年
龄的
4
倍,
20
年后父亲的年龄为儿子
的年龄的
2
倍。问:父子今年各多少<
/p>
岁?
解法一
:
假设父亲的年龄一直是儿子
年龄的
4
倍
,那么每过一年儿子增加
一岁,父亲就要增加
4
岁。这样,
20
年后儿子增加
20
岁,
父亲就要增加
80
岁,
比儿子多增加了
80
-
20
=
60
(
岁)
。
事实上,
20
年后父亲的年龄为儿
子的年龄的
2
倍
,根据刚才的假设,
多增加的
60
岁,
正好相当于
20
年后
儿子年龄的(
p>
4
——
2
=)
p>
2
倍,因此,
今年儿子的年龄为
(
20
×
4
-
< br>20
)÷(
4
-
2
)-
20
=
10
(岁),
父亲今年的年龄为
10
×
4
=
40
(岁)。
解法二
:如果用<
/p>
1
段线表示儿子今年
的年龄,那么父亲今
年的年龄要用
4
段线来表示(见下图)。
2
0
年后,父亲的年龄应是
4
段线
再加上
20
岁,
而儿
子的年龄应是
1
段
四年级奥数安博京翰
教育
线再加上
20
< br>岁,是父亲年龄的一半,
也就是
2
段线再加上
10
岁。由
1
段+<
/p>
20=2
段+
10
,
求
得
1
段是
10
岁,
即儿子今年
10
岁,从而父亲今年
40
岁。
例
8
今年爷爷
78
岁,长孙
27
岁,次
孙
23
岁,三孙
16
p>
岁。问:几年后爷
爷的年龄等于三个孙子年龄之和?
分析:今年三个孙子的
年龄和为
27
+
23
< br>+
16=66
(岁),爷爷比三个孙
子的年龄和多
78
——
66
=
12
(岁)。
每过
一年,爷爷增加一岁,而三个孙
子的年
龄
和
却要
增
加
1
+
1
+
1<
/p>
=
3
(岁)
,<
/p>
比爷爷多增加
3
-
1
=
2
(岁)
。
因而只需求出
12
里面有几个
p>
2
即可。
解
p>
:
[78
-(
27
+
23
+
16
)
]
÷(
1<
/p>
+
1
+
1
-
1
)=
6
(年)。
答:
6
年后爷爷的年龄等于三个孙
子年龄的和。
练习
12
1
.父亲比儿子大
< br>30
岁,明年父
亲的年龄是儿子年龄的
< br>3
倍,那么今
年儿子几岁?
2
.王梅
比舅舅小
19
岁,舅舅的
年龄比王梅年
龄的
3
倍多
1
岁。问:
他们二人各几岁?
3
.小明今年
9
岁,父亲
39
岁,
再过多少年父亲的年龄正好是小明年
龄的
2
倍?
4
.
父亲年龄是女儿的
4<
/p>
倍,
三年
前父女年龄之和是
49
岁。
问:
父女两
人现在各多少岁?
5
.
一家三
口人,
三人年龄之和是
74
岁,妈妈比
爸爸小
2
岁,妈妈的年
龄是儿子年龄的
4
倍。问:三人各是
多少岁?
6
.今年老师
46
岁,学生
1
6
岁,
几年后老师年龄的
2
倍与学生年龄的
5
倍相等?
7
.
已知祖孙三人,
祖父和父亲年
龄的差与
父亲和孙子年龄的差相同,
祖父和孙子年龄之和为
82
岁,
明年祖
父的年龄恰好等于孙子年龄的
5
倍。
问:祖孙三人各多少岁?
8
.
小乐问刘老师今年有
多少岁,
刘老
师说:“当我像你这么大时,你才
3
岁;
当你像我这么大时,
我
已经
42
岁
了。”你能算出刘老师有多
少岁吗?
第
13
讲
鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容
涉及
到鸡与兔而命名的,它是一类有
名的中国古算题。许多小学算术应用
题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加
以计算。
例
1 <
/p>
小梅数她家的鸡与兔,数头
有
16
个,数脚有
44
只。问:小梅家
的鸡与兔各有多少只?
分析:假设
16
只都是鸡,
那么就
应该有
2
×
16
=
32
(只)<
/p>
脚,
但实际上
有
44
只脚,比假设的情况多了
44-32
=
12
(只)脚,出现这种情况的原因
是把兔当作鸡了。如果我们以同样数
量的兔去换同样数量的鸡,那么每换
一只,头的数目不变,脚数增加了
2
只。因此只要算
出
12
里面有几个
2
< br>,
就可以求出兔的只数。
解<
/p>
:
有兔
(
44-
2
×
16
)
÷
(
4-2
)
=
6
(只)
,
有鸡
16-6
=
10
(只)。
答:有
6
只兔,
10
只鸡。
当然,
我们也可以假设
16
只都是
兔子,
那么就应该有
4
×
16
=
64
(只)
脚,
但实际上有
44
只脚,
比
假设的情
况少了
64
-
44
=
20
(只)脚,这是因
为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔,
每换一只,头的数目不变,
脚数减少
了
4-2
=
< br>2
(只)。因此只要算出
20
里
面有几个
2
,就可以求出鸡的只数。
有鸡(
4
×
16-44
)÷(
< br>4-2
)
=10
(只),
有兔
16
——
10
=
6
(只)。
由例
1
看出
,解答鸡兔同笼问题
通常采用假设法,
可以先假设都是鸡,
p>
然后以兔换鸡;
也可以先假设都是兔,
然后
以鸡换兔。因此这类问题也叫置
换问题。
例
2
100
个和尚
140
个馍,大和尚
1
人分
3
个馍,小和尚
1
人分
1
个馍。
问:大、小和尚各有多少人?
分析与解
:本题由中国古算名题“百
僧分馍问题”演变而得。如果将大和
尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作
腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以
用假设法来解。
p>
假设
100
人全是大和尚,那么共
需馍
300
个,
比实际
多
300
-
140
=
160
- 15 -
(个)。
现在以小和尚去换大和尚,
每换一个总人数不变,
而馍就要减少
3
——
1
=<
/p>
2
(个),因为
160
< br>÷
2
=
80
,
故小和尚有
80
人,大和尚有<
/p>
100<
/p>
-
80
=
20<
/p>
(人)。
同样,也可以假设
100
人都是小
p>
和尚,同学们不妨自己试试。
在下面的例题中,我们只给出一
种假
设方法。
例
3
彩色文化用品每套
19
元,
普通文
化用品每套
11
元,
< br>这两种文化用品共
买了
16
套,
用钱
280
元。问:两种文
化用品各买
了多少套?
分析与解
:我们设想有一
只“怪鸡”
有
1
个头
< br>11
只脚,一种“怪兔”有
1
个
头
19
只脚,
它们共有
16
个头,
280
只脚。这样
,就将买文化用品问题转
换成鸡兔同笼问题了。
假设买了
16
套彩色文化用品,
则
共需
19
×
16
=
304
(元),比实际多
304
——
280
=
24
(元),现在用普通
文化用品去换彩色文化用品,每换一
< br>套少用
19
——
11
=
8
(元),所以
买普通文化用品
24
÷
8=3
(套)
,
买
彩
p>
色
文
化
用
品
16
-
3
=
13
(套)。
例
4
鸡、兔共<
/p>
100
只,鸡脚比兔脚多
20
只。问:鸡、兔各多少只?
分析:假设
100
< br>只都是鸡,没有
兔,那么就有鸡脚
200
只,而兔的脚
数为零。这样鸡脚比兔脚多
200
只,
而实际上只多
20
只,
这说明假设的鸡
脚比兔脚多的数比实际上多
200
——
20=180
(
只)。
现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚
减少
2
只,兔脚增加
4
只,即鸡脚比
兔脚多的
脚数中就会减少
4
+
2
=
6
(只),而
180
÷
6
=
30
,因此有兔子
30
只,鸡
100
——
30
=
< br>70
(只)。
解
:有兔(
2
×
100
——
20
)÷(
2<
/p>
+
4
)
=
30
(只),
有鸡
100
——
30=70
(只)。
答:有鸡
70
只,兔
30
只。
< br>
例
5
现有大、
小油瓶共
50
个,
每个大<
/p>
瓶可装油
4
千克,每个小瓶可装油
2
千克,
大瓶比小瓶共多装
< br>20
千克。
问:
大、小瓶各有多
少个?
四年级奥数安博京翰教育
分析:本题与例
< br>4
非常类似,仿
照例
4
的解法即可。
解
:小
瓶有(
4
×
50-20
)÷(
4
+
2
)
=
30
(个),
大瓶有
50-30
=
20
(个)
。
答:
有大瓶
20
个,小瓶
30
个。
例
6
一批钢材,用小卡车装载要
45
辆,
用大卡车装载只要
36
辆。
已
知每
辆大卡车比每辆小卡车多装
4
吨,
那
么这批钢材有多少吨?
分析:
要算出这批钢材有多少吨,<
/p>
需要知道每辆大卡车或小卡车能装多
少吨。
利用假设法,
假设只用
36
辆小卡
车来装载
这批钢材,因为每辆大卡车
比每辆小卡车多装
4
吨,
所以要剩下
4
×
36=144
(吨)。根据条件,要装完
这
p>
144
吨钢材还需要
45-36=9
(辆)
小
卡车。这样每辆小卡车能装
144
÷
9
=
16
(吨)。由此可求出这批钢材有多
少吨。<
/p>
解
:
4
×
36
÷
(
45-36
)
×
45<
/p>
=
720
(吨)
。
答:
这批钢材有
720
吨。
例
7
乐乐百货商店委托搬运站运送<
/p>
500
只花瓶,双方商定每只运费
0.2
4
元,但如果发生损坏,那么每打破一
只不仅不给运费,而且还
要赔偿
1.26
元,结果搬运站共得运费
115.5
元。
问:搬运过程中共打破了几只花瓶?
分析:假设
p>
500
只花瓶在搬运过
程中一只也没有打破
,那么应得运费
0.24
×
500=1
20
(元)。实际上只得到
115.5
元,
少得
120-115.5=4.5
(元)
。
搬运站每打破一只花瓶要损失
0.24
+
1.26
=
1.5
(元)
。
因此共打破花
瓶
4.5
÷
1.5
=
3
(只)。
< br>解
:(
0.24
×
500
-
115.5
)÷(
0.24
+
1.26
< br>)=
3
(只)。
答:共打破
3
只花瓶。
例
8
小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳
了
2
分钟,然后两人各跳了
3
分钟,
一共跳了
780
下。已知小喜比小乐每
分钟多跳
12<
/p>
下,
那么小喜比小乐共多
跳了多少下?<
/p>
分析与解
:利用假设法,假设小喜的<
/p>
跳绳速度减少到与小乐一样,那么两
人跳的总数减少了
12
×(
2
+
3
)=
60
(下)。
可求出小乐每分钟跳
(
780
—
—
60
)÷(
2
+
3
+
3
)
=
90
(下),
小乐一共跳了
90
×
3=270
(下),
因此小喜比小乐共多跳
780
——
270
×
2
=
240
(下)。
练习
13
1
.鸡、兔共有头
< br>100
个,脚
350
只,鸡、兔
各有多少只?
< br>2
.学校有象棋、跳棋共
26
副
,
2
人下一副象棋,
6
人下一副跳棋,
恰好
可供
12
0
个学生进行活动。问:象棋
与跳棋各有多少副?
3
< br>.
班级购买活页簿与日记本合计
32
本,花钱
74
元。活页簿每本
1.
9
元,日记本每本
3.1
元。问:买活
页
簿、日记本各几本?
4
.龟、鹤共有
100
个头,鹤腿比
龟腿多
20<
/p>
只。问:龟、鹤各几只?
5
.
小蕾花
40
元钱买了
14
张贺年
卡与明信片。贺年卡每张
3
元
5
角,
明信片每张
< br>2
元
5
角。问:贺年卡、
明信片各买了几张?
6
.
一个工
人植树,晴天每天植树
20
棵,
雨天每
天植树
12
棵,
他接连几
天共植树
112
棵,
平均每
天植树
14
棵。
问:这几天中共有几个
雨天?
7
.振兴小学六年级举行数学竞
赛,
共
有
20
道试题。
做对一题得
5
分,
没做或做错一题都要扣
3
分。小建得
了
60
分,那么他做对了几道题?
8
.有一批水果,用大筐
80
只可
装运完,用小筐
120
只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运
20
千
克,那么这批水果有多少千克?
9
.
蜘蛛有
8
条腿,
蜻蜓有
6
条腿
和
2
对翅膀,
蝉有
6<
/p>
条腿和
1
对翅膀。
现有三种小虫共
18
只,
有
118
条腿和
20
对翅
膀。问:每种小虫各有几只?
10
.
鸡、兔共有脚
100
只,若将鸡换
成兔
,
兔换成鸡,
则共有脚
92
只。
问:
鸡、兔各几只?
第
14
讲
盈亏问题与比较法(一)
人们在分东西的时候,经常会遇
到剩
余(盈)或不足(亏),根据分
东西过程中的盈或亏所编成的应用题
叫做盈亏问题。
- 16 -
例
1
小朋友分糖果,若每人分
4
粒则
多
9
粒;
若每人分
5
粒则少
6
粒。
问:
有
多少个小朋友分多少粒糖?
p>
分析:由题目条件可以知道,小
朋友的人数与糖的粒数是不变的。比
较两种分配方案,
第一种方案每人分
4
粒就多
9
粒,第二种方案每人分
5
粒
就少
6
粒,两种不同的方案一多一少
相差
9
+
6
=
15
(粒)。相差的原因在
于两种方案的分配数不同,第一种方
< br>案每人分
4
粒,第二种方案每人分
5
粒,
两次分配数之差为
5
-
4
=
1
(粒)
。
每人相差
1
粒,
多少人相差
15
粒呢?
由此求出小朋友的人数为
15
÷
1
=
15
(人
),糖果的粒数为
4
×
15
+
9
=
69
(粒)。
解
:(
9
+
6
)÷(
5-4
)=
15
(人),
4
×
p>
15
+
9
=
69
(粒)。
答:有
15
个小朋友,
分
69
粒糖。
例
2
小朋友分糖果,若
每人分
3
粒则
剩
2
粒;
若每人分
5
< br>粒则少
6
粒。
问:
有多少个小朋友?多少粒糖果?
分析:
本题与例
1
基本相同,
例
1
中两次分配数之差是
5-4=1
(粒)
,
本
题中两次分配数之差是
5
-3
=
2
(粒)
。
例
1
中,两种分配方案的盈数与亏
数
之和为
9
+
6
=
15
(粒),本题中,两
种分配方案的盈数与亏数之和为
2
+
6=8
(粒)。仿照例
1
的解法即可。
解
:
< br>(
6
+
2
)÷(
4
——
2
)=
4
(人),
3
×
p>
4
+
2
=
14
(粒)。
答:有
4
个
小朋友,
14
粒糖果。
由例
1<
/p>
、
例
2
看出,<
/p>
所谓盈亏问题,
就是把一定数量的东西分给一定数量
的人,由两种分配方案产生不同的盈
亏数,反过来求出分配的总人数与被
p>
分配东西的总数量。解题的关键在于
确定两次分配数之差与盈亏总额
(盈
数
+
亏数)
,由此得到求解
盈亏问题的
公式
:<
/p>
分配总人数
=
盈亏总额
÷
两次分配数
之差
。
需要注意的是,两种分配方案的
结果不一定总是一“盈”一“亏”,
也会出现两“盈”、
两“亏”、
一“不
盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
四年级奥数安博京翰教育
例
3
小朋友分糖果,
每人分
10
粒,
正
好分完;
若每人分
16
粒
,
则有
3
个小
朋友分不到糖果。
问:
有多少粒糖果?
分析与解
:第一种方案是不盈不亏,
第
二种方案是亏
16
×
3
=
48
(粒)
,
所
以盈亏总额是
0
+
48=48
(粒),而两
次分配数之差是
p>
16
——
10
=<
/p>
6
(粒)。
由盈亏问题的公式得
有小朋友(
p>
0
+
16
×
3
)÷(
16
—
p>
—
10
)=
8
p>
(人),
有
糖
10<
/p>
×
8
=
80
p>
(粒)。
下面的几道例题是购物中的盈亏
问题。
例
4
一批小朋友去买东西,若每人出
10
元则多
8
元;若每人出
7
元则少
4
元。问:有多少个小朋友?东西的价
格是多少?
<
/p>
分析与解
:两种购物方案的盈亏总额
是<
/p>
8
+
4
=
12
(元),两次分配数之差
是
10
——
7
=
3
(元)。由公式得到
小朋友的人数(
8
< br>+
4
)÷(
10
—
—
7
)=
< br>4
(人),
东西的价格是
10
< br>×
4
——
8
=
32
(元)。
例
5
顾老师到新华书店去买书,若买
5
本则多
3
元
;若买
7
本则少
1.8
元。
这本书的单价是多少?顾老师共带了
多少元钱?<
/p>
分析与解
:买
5
本多
3
元,买
7
本少
1.8
元。
< br>盈亏总额为
3
+
1.8=4.8
(
元)
,
这<
/p>
4.8
元刚好可以买
7
< br>——
5
=
2
(本)
书,因此每本书
4.8
÷<
/p>
2=2.4
(元),
顾老师共带钱
2.4
×
5
+
3
=
15
(元)。
例
6
王老师去买儿童小提琴,若买<
/p>
7
把,
则所带的钱差
110
元;
若买
5
把,
则所带的钱还差
30
元。
问:
儿童小提
琴多少钱一把?王老师带
了多少钱?
分析:
本题在购物的两个方案中,
每一个方案都出现钱不足
的情况,
买
7
把小提琴差
110
元,买
5
把小提琴差
30
元。从买
7
把变成买
5
把,少买了
7
——
5=2
(把)提琴,而钱的差额减
少了
110
——
30
p>
=
80
(元),即
80
元
钱可以买
2
把小提琴,可见小提琴的
单价为每把
40
< br>元钱。
解
:(
110
——
30
)÷(
7
——
5
)=
40
(元),
40
×
7<
/p>
——
110
=
1
70
(元)。
答:小提琴
40
元一把,
王老师带
了
170
元钱。
练习
14
1
.小朋友分糖果,每人
3
粒,余
30
粒;每人<
/p>
5
粒,少
4
粒。
问:有多
少个小朋友?多少粒糖?
2
.
一个汽
车队运输一批货物,
如
果每辆汽车运
3
500
千克,
那么货物还
剩下
5000
千克;
如果每辆汽车运
4000
千克,
那么货物还剩下
500
千克。
问:
这个汽车队有多少
辆汽车?要运的货
物有多少千克?
3
.
学校买
来一批图书。若每人发
9
本,则少
25
本;若每人发
6
本,则
少
7
本。问:有多少个学生?买了多
< br>少本图书?
4
.
参加美术活动小组的同学,
分
配若干支彩色笔。如果每人分
4
支,
那么多
12
支;如果每人分
8
支,
那么
恰有
p>
1
人没分到笔。
问:
有多少同学?
多少支彩色笔?
5
.
红星小
学去春游。如果每辆车
坐
60
人,那么
有
15
人上不了车;如
果每辆车多坐<
/p>
5
人,那么恰好多出一
辆车。
问:
有多少辆车?多少个学生?
6
.某数
的
8
倍减去
153
,比其
5
倍多
66
,求这个数。
7
.
某厂运来一批煤,如果每天烧
1500
千克,那么比原计划提前一天烧
完;
如果每天烧
1000
千克,
< br>那么将比
原计划多用一天。现在要求按原计划
烧完,那么
每天应烧煤多少千克?
8
.
同学们为学校搬砖,
每人搬
18
块,还余
2
块;每人搬
20
块,就有一
位同学没砖可搬。
问:
共有砖多少块?
第
15
讲
盈亏问题与比较法(二)
有些问题初看似乎不像盈亏问
题,但
将题目条件适当转化,就露出
了盈亏问题的“真相”。
例
1
某班学生去划船,如果增加一条
船,那么每条船正好坐
6
人;如果减<
/p>
少一条船,那么每条船就要坐
9
人。
p>
问:学生有多少人?
分析:本题也是盈亏问题,为清
楚起
见,我们将题中条件加以转化。
假设船数固定不变,题目的条件“如
果增加一条船……”表示“如果每船
- 17 -
坐
p>
6
人,
那么有
6<
/p>
人无船可坐”
;
“如
果减少一条船……”表示“如果每船
坐
9
< br>人,那么就空出一条船”。这样,
用盈亏问题来做,
盈亏
总额为
6
+
9=15
< br>(人),两次分配的差为
9
——
6
=
3
(人)。
解:
(
6
+
9
)<
/p>
÷
(
9
——
p>
6
)
=
5
(条)
,
6
×
5
p>
+
6=36
(人)。
答:有
36
名学生。
例
2
少先队员植树,如果每人挖
p>
5
个
坑,那么还有
3
个坑无人挖;如果其
中
2
人各挖
4
个坑,其余每人挖
6
个
坑,那么恰好将坑挖完。问:一共要
挖几个坑?
分析:我们将“其中
2
人各挖
4
个坑,
其余每人挖
6
个坑”
转化为
“每
人都挖
p>
6
个坑,就多挖了
4
个坑”。
这样就变成了“典型”的盈亏问题。
盈亏总额为
p>
4
+
3
=
7
(个)
坑,
两次分<
/p>
配数之差为
6
——
5
=
1
(个)坑。
< br>
解:
[3
+
< br>(
6-4
)
×
< br>2]
÷
(
6-5
)
=
7
(人)
5
×
7
+
3
=
38
(个)。
答:一共要挖
38
个坑。
例
< br>3
在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水
面,则余
8
米;
若把绳子三折垂到水面
,则余
2
米。
问:桥有多高?绳子有多
长?
分析与解:
因为把绳子对折余<
/p>
8
米,
所以是余了
8
×
2=16
(米);
同样,
把
绳子三折余
2
p>
米,就是余了
3
×
2
=
6
(米)。两种方案都是“盈”,
故盈
亏总额为
16
——
6=10
(米),两次分
配数之差为
< br>3-2
=
1
(折),所以
桥高(
8
×
2-2
×
3
)÷(
3-2
)=
10
(米)
,
绳子的长度为
2
×
10
+
8
×
2
=
36
(米)。
例
4
有若干个苹果和若干个梨。如果
< br>按每
1
个苹果配
2
个梨分堆,那么梨
分完时还剩
2
个苹果;如果按每
3
个
苹果配
p>
5
个梨分堆,那么苹果分完时
还剩
1
个梨。问:苹果和梨各有多少
个?
分析与解:
容易看出这是一道盈亏应
用题,但是盈亏总额与两次分配数之
差很难找到。
原因在于第一种方案是
1
个苹果
“搭配
”
2
个梨,
第二种方案是
3
个苹果“搭配”
5
个梨。
如果将这两
种方案统一为
1
个苹果“搭
配”若干
四年级奥数安博京翰教育
个
梨,那么问题就好解决了。将原题
条件变为
“
< br>1
个苹果搭配
2
个梨,
缺
4
个梨;
每天相差
5
个。
根据盈
亏问题的公式,
从改进技术时到计划完工的时间是
55
÷
5
=
11
(天),计划时间为
11
+
4
=
15
(天),这批零件共有
p>
20
×(
15
—<
/p>
—
1
)=
p>
280
(个)。
练习
15
1.
筑路队计划每天筑路
720
米,
和都相等。
- 18 -
每一竖列和每条对角线上的三个数之
分析与解:
我们首先要弄清每行、每
有梨
15<
/p>
×
2-4
=
26
(个)。
例
5
乐乐家去学校上学,每分钟走
50
米
,走了
2
分钟后,发觉按这样的速
度走
下去,到学校就会迟到
8
分钟。
于是乐
乐开始加快速度,每分钟比原
来多走
10
米,
结果到达学校时离上课
还有
5<
/p>
分钟。问:乐乐家离学校有多
远?
p>
分析与解:
乐乐从改变速度的那一点
到学校
,
若每分钟走
50
米,
则要迟到
8
分钟,
也就是到上
课时间时,
他离学
校还有
50
×
8
=
400
(米);若每分钟
多走
10
米,即每分钟走
60
米,则到
达学
校时离上课还有
5
分钟,如果一
直走到
上课时间,那么他将多走(
50
+
10
)×
5
=
30
0
(米)。所以盈亏总
额,即总的路程相差
400
+
300
=
700
(米)。
两种走法每分钟相差
10
米,
因此
所用时间为
700
÷
1
0
=
70
(分),
也就是说,从乐乐改变速度
起到
上课时间有
70
分钟。
所以乐乐家到学
校的距离为
50
×(
2
+
70
+<
/p>
8
)=
4000
(米),
或
50
×
2
+
60
×(
7
0
——
5
)=
4000
(米)。
例
6
王师傅加工一批零件,每天加工
20
个,可以提前
1
天完成。工作
4
天
后,
由于改进了技术,
每天可多加工
5
个,结果提前
3
天完成。问:这批零
件有多少个?
分析与解:
每天加工
20
个,
如果一直
加工到计划时间,
那么将多加工
20
个
零件;改
进技术后,如果一直加工到
计划时间,那么将多加工(
20
p>
+
5
)×
3
=
75
(个)。盈亏总额为
< br>75
——
20
=
55
(个)。两种加工的速度比较,
实际每天比原计划
多筑
80
米,
这样在
< br>完成规定任务的前三天,就只剩下
1160
米未筑。问:
这条路共有多长?
2.
小红家买来一篮桔子,分给全
家人。如果其中二
人每人分
4
只,其
余每人分
2
只,那么多出
4
只;如
果
一人分
6
只,其余每人分
4
只,那么
缺
12
只。
问:
小红家买来多少只桔子?
小红家共有几人?
3.
食堂采购员小李去买肉,如果
买牛
肉
18
千克,那么差
4
元;
如果买
猪肉
20
千克,
那么多
2
元。<
/p>
已知牛肉、
猪肉每千克差价
8
角,求牛肉、猪肉
每千克各多少钱。
4.
李老
师给小朋友分苹果和桔
子,苹果数是桔子数的
2
倍。桔子每
人分
3
个,
多
4
个;苹果每人分
7
个,
少
5
个
。问:有多少个小朋友?多少
个苹果和桔子?
5.
用绳
子测量井深。如果把绳子
三折垂到水面,
余
7
米;
如果把绳子
5
折垂到水面,
余
1
米。求绳
长与井深。
6.
老师给幼儿园小朋友分苹果。
每两人三个苹果,多两个
苹果;每三
人五个苹果,少四个苹果。问:有多
少个小朋友?多
少个苹果?
7.
小明从家到学校去上学,如果
每分钟走
60
米,那么将迟到
5
分钟;
如果每分钟走
80
米,
那么将提前
3
分
钟。小明家距
学校多远?
第
16
讲
数阵图(一)
我们在三年级已经学习过辐射型
和封
闭型数阵,
其解题的关键在于
“重
叠数
”。本讲和下一讲,我们学习三
阶方阵,就是将九个数按照某种要求
排列成三行三列的数阵图,解题的关
键仍然是“重叠数”。我们先从一道
典型的例题开始。
例
1
把
1
~
9
p>
这九个数字填写在右图正
方形的九个方格中,使得每一横行、
列以及每条对角线上三个数字之和是
几。我们可以这样去想:
因为
1
~
9
这
九个数字之和是
45
,
正好是三个横行
数字之和,所以每一横行的数字之和
等于
45
÷
3=15
。<
/p>
也就是说,
每一横行、
每一竖列以及每条
对角线上三个数字
之和都等于
15
。<
/p>
在
1
~
9
这九个数字中
,
三个不同
的数相加等于
15
的有:
9
+
5
+
1
,
9
+
< br>4
+
2
,
8
+
6
+
1
,
8
+
5
p>
+
2
,
8
+
p>
4
+
3
,
7
+
6
+
2
,
7
+
< br>5
+
3
,
6
+
5
+
4
。
p>
因此每行、每列以及每条对角线
上的三个数字可以是其中任一个算式
中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横
行中
,又在一个竖列中,还在两对角
线上,所以它应同时出现在上述的四
个算式中,只有
5
符合条件,因此应
将
5
填在中心方格中。同理,四个角
上的数既在一个横行中,又在一个竖
列中,还在一条对角线上,所以它应
同时出现在上述的三个算式中,符合
条件的有
2
,
4
,
6
,
8
,
因此应将
2
,
4
,
6
,
8
填在四个角的方格中
,同时应保
证对角线两数的和相等。经试验,有
下面八种不同填
法:
上面的八个图,都可以通过一个
图的旋转和翻转得到。例如,第
一行
的后三个图,依次由第一个图顺时针
旋转
< br>90
°,
180
°,
270
°得到。
又如,
第
二行的各图,都是由它上面的图沿
竖轴翻转得到。所以,这八个图本质
< br>上是相同的,可以看作是一种填法。
例
1
中的数
阵图,我国古代称为
“纵横图”、“九宫算”。一般地,
将九个
不同的数填在
3
×
3
< br>(
三行三列)
的方格中,如果满足每个横行、每个
四年级奥数安博京翰教育
竖列和每条对角线
上的三个数之和都
相等,那么这样的图称为三阶幻方。
在例
1<
/p>
中如果只要求任一横行及
任一竖列的三数之和相等,而不要求
p>
两条对角线上的三数之和也相等,则
解不唯一,这是因为在例
1
的解中,
任意交换两行或两列的位置,不影
响
每行或每列的三数之和,
故仍然是解。
例
2
用
1
1
,
13
,
1
5
,
17
,
1
9
,
21
,
2
3
,
25
,
2
7
编制成一个三阶幻方。
分析与解:
给出的九个数形成一个等
差数列,对照例
1
,
1
~
9
也是一个等
差数列。不难发现:中间方格里的数
字应填等差数列的第五个数,即应填
19
;填在四个角
上方格中的数是位于
偶数项的数,即
13
,
17
,
21
,
25
,而
且对角两数的和相等,即
13
+
25=17
+
21
;余下各数就不难填写了(见右
图)。
与幻方相反的问题是反幻方。将
九个
数填入
3
×
3
(三行三列)的九个
方格中,使得任一行、任一列以及两
条对角
线上的三个数之和互不相同,
这样填好后的图称为三阶反幻方。
例
3
将前
9<
/p>
个自然数填入右图的
9
个
方格中,使得任一行、任一列以及两
条对角线上的三个数之和互不相同,
并且相邻的两个自然数在图中的位置
也相邻。
分析与解:
题目要求相邻的两个自然
数在图中的位置也相邻,所以这
9
个<
/p>
自然数按照大小顺序在图中应能连成
一条不相交的折线。经试验有
下图所
示的三种情况:
按照从
1
到
9
和从
9
到<
/p>
1
逐一对
这三种情况进行验算,只有第二
种情
况得到下图的两个解。因为第二种情
况是螺旋形,故本题的
解称为螺旋反
幻方。
例
4
将九个数填入左下图的九个空格
中,使得任一行、任一列以及两条
证明:
因为每行的三数之和都等于
k
< br>,
共有三行,所以九个数之和等于
3k
< br>。
如右上图所示,经过中心方格的有四
条虚线,每条虚线
上的三个数之和都
等于
k
,
四条虚线上的所有数之和等于
4k
,其中只有中心
方格中的数是“重
叠数”,九个数各被计算一次后,它
又被重复
计算了三次。所以有
九数
之和
+
中心
方格
中
的数×
3=4k
,
p>
3k+
中心方格中的数×
3=4k
,
注意:
例
4
中对九个数及定数
k
都没有特殊要求。这个结论对求解
3
×
3
方格中的数阵问题很实用。
在
3
p>
×
3
的方格中,
如
果要求填入
九个互不相同的质数,要求任一行、
任一列以及两条
对角线上的三个数之
和都相等,那么这样填好的图称为三
阶质数
幻方。
例
5
求任一列、任一行以及两条对角
线上的三个数之和都等于
267
的三阶
质数幻方。
< br>分析与解:
由例
4
知中间方格中
的数
为
267
÷
3
=
89
。由于在两条对角线、
p>
中间一行及中间一列这四组数中,每
组的三个数中都有
89
,所以每组的其
余两数之和必为
267-89
=
178
。
p>
两个质
数之和为
178
的共有六组:
5+173
=
11
+
167
=
p>
29
+
149
=<
/p>
41
+
137
=
47+131
=
71+107
。
- 19 -
< br>经试验,可得右图所示的三阶质
数幻方。
练习
16
1.
将九个连续自然数填入
3
×
3
的
方格内,使得每
一横行、每一竖列及
两条对角线上的三个数之和都等于
66
。
2.
将
1<
/p>
,
3
,
5
,
7
,
9
,
11
,
13
,
15
,
17
填入
3
×
3
的方格内,
使其构成一个
幻方。
3.
用
2
,
4
,
6
,
12
,<
/p>
14
,
16
,<
/p>
22
,
24
,<
/p>
26
九个偶数编制一个幻方。
4.
在下
列各图空着的方格内填上
合适的数,使每行、每列及每条对角
线
上的三数之和都等于
27
。
5.<
/p>
将右图中的数重新排列,使得
每行、每列及两条对角线上的三个数
之和都相等。
6.
将九
个质数填入
3
×
3
的方格
内,使得每一横行、每一竖列及两条
对角线上的三个
数之和都等于
21
。
7.
求九
个数之和为
657
的三阶质
数幻方。<
/p>
第
17
讲
数阵图(二)
例
1
在右图的九个方格中填入不大于
12
且互不相同的九个自然数(其中已
填好一个数),使得任一行、任一列
及两条对角线上的三个数之和都等于
21
。
解:
由上一讲例<
/p>
4
知中间方格中的数
为
< br>7
。再设右下角的数为
x
,
p>
然后根据
四年级奥数安博京翰教育
任一行、任
一列及每条对角线上的三
个数之和都等于
21
< br>,如下图所示填上
各数(含
x
)
。
<
/p>
因为九个数都不大于
12
,
由
16
-
x
≤
12
知
4
< br>≤
x
,由
x+2
≤
12
知
x
< br>≤
10
,
即
4
≤
x
≤
10
。
考虑到
5
,
7
,
9
已
填好,
所以
x
只能取
< br>4
,
6
,
8
或
10
。
经验证,
当
x
=
6
或
8
时,
九个数中均有两个数
相同,不合题意;当
x
=
4
或
10
时可
得两个解(见下图)。这两个解实际
上一样,只是方向不
同而已。
例
2
将九个数填入右图的空格中,使
得每行、每列、每条对角线上的三个
数之和都相等,则一定有
证明:
设
中心数为
d
。
由上讲例
4
知每
行、每列、每条对角线上的三个数之
和都等于
3d
。由此计算出第一行中间
的数为
2d
——
b
,右下角的数为
2d-c
(见下图)。
根据第一行和
第三列都可以求出
上图中★处的数由此得到
3d-c-
(
2d-b
)=
3d-a-
(
2d-c
),
3d-c-2d
< br>+
b
=
3d-a-2d
+
c
,
d
——<
/p>
c
+
b
=
d
——
a
+
c
,
2c
=
a<
/p>
+
b
,
a
+
b
c
=
2
p>
。
值得注意的是,这个结论对于
a
和
b
并没有什么限制,
可以是自然数,
也可以是分数、小数;可以相同,也
可以不同。
p>
例
3
在下页右上图的空格中填入七个
自然数,使得每一行、每一列及每一
条对角线上的三个数之和都等于<
/p>
90
。
p>
解:
由上一讲例
4
知,
中心数为
90
÷
< br>3
=
30
;由本讲例
2
知,右上角的数为
(
2
3
+
57
)÷
2
=
40
(见左下图)。其
它数依次可填(见右下图)。
例
4
在右图的每个空格中填入个自然
< br>数,使得每一行、每一列及每条对角
线上的三个数之和都相等。
< br>
解:
由例
< br>2
知,右下角的数为
(
8
p>
+
10
)÷
2=9
;由上一讲例
4
知,中心数为(
5
+
9
)÷
2=7
(见左下
图),且每行、每列、每条对角
线上
的三数之和都等于
7
×
3=21
。
由此可得
右下
图的填法。
例
5
在下页上图的每个空格中填一个
自然数,使得每行、每列及每条对角
线上的三个数之和都相等。
解:
由例
2
知,
右下角的数为
(
6
+
12
)
÷
2=9
(左下图)。因为左下图中两条
虚线上的三个数之和相等,所以,
“中心数”=(
10
+
6
)<
/p>
-9
=
7
。
p>
其它依次可填(见右下图)。
-
20 -
由例
< br>3
~
5
看出,在解答
3
×
3
方
阵的问题时,
上讲的例
4
与本
讲的例
2
很有用处。
练习
17
1.
在左下图的每个空格中填入一<
/p>
个数字,使得每行、每列及每条对角
线
上
的
三
个
数
p>
之
和
都
相
等
。
2.
在右
上图的每个空格中填入一
个数字,使得每行、每列及每条对角
线
上的三个数之和都等于
24
。
3.
下列
各图中的九个小方格内各
有一个数字,而且每行、每列及每条
对
角线上的三个数之和都相等,求
x
。
4.
在左
下图的空格中填入七个自
然数,使得每行、每列、每条对角线
上
的三个数之和都等于
48
。
5.<
/p>
在右上图的每个空格中填入一
个自然数,使得每行、每列及每条对
角线上的三个数之和都相等。
6.
在右图的每个空格中填入不大<
/p>
于
12
且互不相同的九个自然数,
使得
每行、每列、每条对角线上的三个数
之和
都等于
21
。
第
18
讲
数阵图(三)
数阵问题是多种多样的,解题方
法也
是多种多样的,这就需要我们根
据题目条件灵活解题。