-
精品资料
欢迎下载
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型
评卷人
得分
一、解答题（题型注释）
2
x
1
．已知函数
f
(
x
)
?
xe
?
ln
x
?
ax
．
（
1
）当
a
?
0
时，求函数
f
(
x
)
在
[
,
1
]
< br>上的最小值；
（
2
）若
?
x
?
0
，不等式
f
(
x
)
?
1
恒成立，求
a
的取值范围；
1
2
1
1
?
1
1
（
3
）若
?
x
?
0
，不等式
f
(
)
?
1
?
e
?
e
< br>?
1
x
x
恒成立，求
a
的取值范围．
x
x
e
e
2
x
1
．
（
1
）
e
（
2
）
a
?
2
；
（
3<
/p>
）
a
?
?
1
?
?
ln
2
；
2
e
(
e
?
1)
e
1
e
．
【解析】
2
< br>x
试题分析：
（
1
）由
a
?
0
时，得出
f
(
x
)
?
xe
?
ln
x
，则
f
?
(
x
)
?
(2
x
?
1
)
e
2
x
?
1
，再
x<
/p>
/
求导
f
?
?
?
x
?
，可得函数
f
(
x
)
在
(
0
,
??
)
上是增函数，
从而得到函数
f
?
x
< br>?
的单调性，
/
即可求解函数<
/p>
f
(
x
)
在
[
,
1
]
上的最小值；
（
2
）由（
1
）知函
数
f
(
x
)<
/p>
在
(
0
,
??
)
上是
1
2
增
函
数
，
且
?
x
0
?
0
，
使
得
f
?
(
x
0
)
?<
/p>
0
，
得
(
2
x
0
?
1
)
e
2
x
0
?
1
?
a
?
0
，
即
x
0
2<
/p>
x
0
2
a
x
x
1
f
(
x
0
)
?
1
?
ln
< br>x
0
?
2
x
0
2
e
2
x
0
，利用函数
f
(
x
0
)
的单调性，
0
?
(
2
x
0
?
0
)
e
?
，设
x
?
1
即可求解求
a
的取值范围；
< br>（
3
）
根据题意，
转化为
a
?
x
ln
x
?
x
?
e
?
1
对任意
x
?
0
成
e
x
e
x
?
1
e
?<
/p>
1
立，
令
g
(
x
)
?
x
ln
x
?
x
?
，
所以
g
?
(
x
< br>)
，
可得出
g
< br>?
x
?
的单调性，
求解出
g
?
x
?
x
e
e
< br>的最小值，即可
a
的取值范围．
1
2
x
试题解
析：
（
1
）
a
?
0
时，
f<
/p>
(
x
)
?
xe
?
ln
x
，
?
f
/
(
x
)
?
(
2
x
?
1
)
e
2
x
?
，
x<
/p>
1
?
f
//
(
x
)
?
(
4
x
?
4
)
e
2
< br>x
?
2
?
0
，所以函数
f
/
< br>(
x
)
在
(
0
,
??
)
上是增函数，
x
精品资料
欢迎下载
/
又函数
f
(
x
)
的值域为
R
，
/
故
?
x
0
?
0
，使得
f
(
x
0
)
?
(
2
x
0
?
1
)
e
2
x
< br>0
?
1
?
0
，
x
0
1
1
/
，所以
当
x
?
[
,<
/p>
1
]
时，
f
(
x
)
?
0
，
2
2
1
1
e
< br>即函数
f
(
x
< br>)
在区间
[
,
< br>1
]
上递增，所以
f
(
x
)
min
?
f
(
)
?
?
ln
2
< br>
2
2
2
1
（
2
）
f
/
(
x
)
?
(
2
x
?
1
)
e
2
x
?<
/p>
?
a
，
x
又
?
f
/
(
)
?
2
e
?
2
?
0
，
?
x
0
?
/
/<
/p>
由（
1
）知函数
f
(
x
)
在<
/p>
(
0
,
??
)
上是增函数，且
?
x
0
?
0
，
使得
f
(
x
0
)
?
0
1
2
进而函数
f<
/p>
(
x
)
在区间<
/p>
(
0
,
x
0
)
上递减，在
(<
/p>
x
0
,
??
)
上递增，
f<
/p>
(
x
)
min<
/p>
?
f
(
x
0
)
?
x
0
e
2
x
0
?
ln
x
< br>0
?
ax
0
，
/
2
x
由
f
(
x<
/p>
0
)
?
0
得：
(
2
x
0
?
1
)
e
0
?
1
< br>?
a
?
0
，
x
0
2
?
ax
0
?<
/p>
(
2
x
0
?
x
0
)
e
2
x
0
?
1
，
?
f
(
x
0
)
?
1
?
ln
x
0
?
2
x
0
e
2
x
0
，
因为
?
x
?
0
，不等式
f
(
x
)
?
1
< br>恒成立，
2
?
1
?
ln
x
< br>0
?
2
x
0
e
2
x
0
?
1
?
ln<
/p>
x
0
?
2
x
0
e
2
x
0
?
0
?
a
?
(
2
x
0
?
1
)
e
2<
/p>
x
0
?
1
?
2
?
0
?
2
x
0
2
2
（另解：因为
?
x
?
0
，不等式
f
(
x
)
?
1
恒成立，
xe
2
x
?
ln
x
?
1
e
ln
x
e
2
x
?
(ln
x
?
2
x
)
?
1
?
2
x
e
ln
x
?
2
x
?
(ln
x
?
2
x
)
?
1
?
?
?
2
即
a
< br>?
x
x
x
由
e
?
x
?
1
?
e
x
ln
x
?
2
x
xe
2
x
?
ln
x
?
1
?
ln
x
?
2
x
?
< br>1
?
?
2
，
x
当
l
n
x
?
2
x<
/p>
?
0
时取等号，
?
a
?
2
）<
/p>
1
1
1
1
?
?
2
2
1
1
1
1
a
1
（
3
）由
f
(
)
?
1
?
e
?
e
?
1
x
x
，
?
e
x
?
ln
?
?
1
?
e
x
?
e
?
1
x
x
，
x
x
x<
/p>
x
x
x
e
e
e
e
2
x
x
x
?
1
?
1
e
?
1
e
?
1
，
?
a
?<
/p>
x
ln
x
?
x
?
对任意
x
?
0
成立，
?
x
ln
x
?
x
?
a
?
x
x
e
e
e
e
精品资料
欢迎下载
x
?
1
x
?<
/p>
1
/
e
?
1
令函数
g
(
x
)
?
x
ln
x
?
x
?
，所以
，
g
(
x
)
< br>?
ln
x
?
x
x
e
(
e
?
1
)
e<
/p>
e
e
e
/
/
当
x
?
1
时，
g
(
x
)
?
0
< br>，当
0
?
x
?
1
时，
g
(
x
)
?
0
，
1
?
1
e
e
?
1
?
?
1
?
所以当
x
?
1
时，函数
g
(
x
)
取得最小值
g
(
1
)
?
?
1
?
，
1
1
e
e
(
e
?
1
)
e
e
?<
/p>
a
?
?
1
?
e
(
e
?
1
)
e
1
e
考点：利用导数研究函
数的单调性与极值（最值）
．
【方法
点晴】
本题主要考查了导数在函数中的综合应用，
其中解答中涉
及到利用导数研
究函数的单调性及其应用、
利用导数研究函数的
极值与最值等知识点的综合考查，
同时
解答中注意对函数二次求
导的应用和函数的构造思想，
通过构造新函数，
利用函数的性<
/p>
质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，
属于难题．
e
x
1
?
?
ax<
/p>
?
a
?
R
?
．
2
．已知函数
f
?
x
?
?
2
e
x
（
1
）当
a
?
3
时，求函数
f
?
x
?
的单调区间；
2
（
2
）若函数
f
?
x
?
在
?
?
1,1
?
上为单调函
数，求实数
a
的取值范围．
3
．设函数
f
(
x
)
?
e
?
ln(
x
?
1
)
?
ax
.
（
1
< br>）当
a=2
时，判断函数
f
(
x
)
在定义域内
的单调性；
（
2
）当
x
?
0
时，
f
(
x
)
?
cos
x
恒成立，求实数
a
的取值范围
.
4
．已知函数
f<
/p>
(
x
)
?
x
ln
x
?
（
1
）求
a
的取值范围；
2
（
2
）设两个极值点分别为
x
1
,
x
2
，证明：
x
1
?
< br>x
2
?
e
.
x
a
2
x
?
x
?
a
(
a
?
R
)
在其定义域内有两个不同的极值点
.
2
5
．已知函数
f
(
x
)
?
x
?
3
|
x
?
< br>a
|
?
2
（
a
?
R
）
．
（
1
）当
a
?
0
时，讨论
f
(
x
)
的单调性；
（
2
）求
f
(<
/p>
x
)
在区间
?<
/p>
0,2
?
上的最小值．
< br>
2
6
．设
f
(
x
)
?
x
ln
x
?
ax
?
(2
a
?
1)
x
，<
/p>
a
?
R
.
3
（
1
）令
g
(
x
)
?
f
'(
x
)
，求
g
< br>(
x
)
的单调区间；
精品资料
欢迎下载
（
2
）已知
f
(
x
)
在
x
?<
/p>
1
处取得极大值
.
求实数
a
的取值范围
.
7
．设函数
f
?
x
?
?
x
?
a
ln
< br>?
1
?
x
?
,
g
?
x
?
?
ln
?<
/p>
1
?
x
?
?
bx
.
1
?
x
（
1
）若函数
f
?
x
?
在
x
?
0
处有极值，求函数
f
?
x
?
的最大值；
（
2
）
①是否存在实数
b
，
使得关于
x
的不等式
g
?
x
?
?
< br>0
在
?
0
，
?
?
?
上
恒成立？若存在，
求出
b
的取值范围；
若不存在，说明理由；
②证明：不等式
?
1
?
k
1
?
ln
n
?<
/p>
?
n
?
1,
2
?
2
k
?
1
2
k
?
1
n
?
< br>
精品资料
欢迎下载
参考答案
1
．
（
1
）
e<
/p>
（
2
）
a
?
2
；
（
3
）
a
?
?
1
?
?
ln
2
；
2
e
(
e
?
1
)
e
1
e
．<
/p>
【解析】
2
x
试题分析：
（
1
）由
a
?
0
时，得出
f
(
x
)
?
xe
?
ln
x
，则
f
?
(
x
)<
/p>
?
(2
x
?
1
)
e
2
x
?
1
，再求导
x
f
?
?
?
x
?
，可得函数
f
/
(
x
)
在
(
0
,
??
)
上是增函数，从而得
到函数
f
?
x
?
的单调性，即可求解
/
函数
f
(
x
)
在
[
,
1
< br>]
上的最小值；
（
2
）
由
（
1
）
知函数
f
(
x
)
在
(
0
,
??
)
上是增函数，
且
?
x
0
?
0
，
1
2
使
得
f
?
(
x<
/p>
0
)
?
0
，
得
(
2
x
0
?
1
)
e
2
x
0
?
2
2
x
0
0
1
2<
/p>
x
0
2
x
1
设
?
a
?
0
，
即
a
x
0
?
(
2
x
0
?
0
)
e
?<
/p>
，
x
0
f
(
x
?
l
n
x
0
)
?
1
0
?
x
2
e
，利用函数
f
(
x
0
)
的单调性，即可求解求
a
的取值
范围；
（
3
）根
x
x
?
1
?
1
据题意，
转化为
a
?
x
ln
x
?
x
?
e
?
1
对任意
x
?
0
成立，
令
g
(
x
)
?
x
ln
x
?
x
?
e
?
1
，
x
x
e
e
e
e
所以
g
?
(
x
)
，可得出
g
?
x
?
的单调性，求解出
g
?
x
?
的最小值，即可
a
的取值
范围．
2
x
试题解析：
（
1
）
a
?
0
时，
f
(
x
)
?
xe
?
ln
x
，
?
f
/
(
x
)
?
(
2
x
?
1
)
e
2
< br>x
?
1
，
x
?
f
/
/
(
x
)
?<
/p>
(
4
x
?
4
)
e
2
x
?
/
又函数
f
(
x
)
的值域为
R
，
1
/
f
(
< br>x
)
在
(
0
,
??
)
上是增函数，
，所以函数
?
0
x
2
/
故
?
x
0
< br>?
0
，使得
f
< br>(
x
0
)
?
(
2
x
0
?
1
)
e
2
x
0
?
1
?
0
，
x
0
1
< br>1
/
，所以当
x
?
[
,
1
]
时，
f
(
x
)
?
0
，
2
2
1
1
e
即函数
f
(
x
)
在区间
[
,
1
]
上递增，所以
f
(
x<
/p>
)
min
?
f<
/p>
(
)
?
?
ln
2
2
2
2
1
（
2
）
f
/
(
x
)
?
(
2
< br>x
?
1
)
e
2
x
?
?
a
，
x
又
?
f
/
(
)
?
2
e
?
2
?
< br>0
，
?
x
0
?
/
/
由
（
1
）知函数
f
(
x
)
在
(
0
,
??
)<
/p>
上是增函数，且
?
x
0
?
0
，使得
f
(
x
0
)
?
0
1<
/p>
2
进而函数
f
(
x
)
在区间
(
0
,
x
0
)
上递减，在
(
x
0
,
??
)<
/p>
上递增，
f
(
x
)
min
?
f
(
x
0
)
?
x
0
e
2
x
0
?
ln
x
0
?
ax
0
，
< br>
精品资料
欢迎下载
/
2
x
由
f
(<
/p>
x
0
)
?
0
得：
(
2
x
0
?
1
)
e
0
?
< br>1
?
a
?
0
，
x
0
2
?
ax
0<
/p>
?
(
2
x
0
?
x
0
)
e
2
x
0
?
1
，
?
f
(
x
0
)
?
1
?<
/p>
ln
x
0
?
2
x
0
e
2
x
0
，
因为
?
x
?
0
，不等式
f
(
x
)
?
< br>1
恒成立，
2
?
1
?
ln
< br>x
0
?
2
x
0
e
2
x
0
?
1
?
ln
x
0
?
2
x
0
e
2
x
0
?
0
?
a
?
(
2
x
0
?
1
)
e<
/p>
2
x
0
?
1
?
2
?
0
?
2
x
0
2
2
（另解：因为
?
x
?
0
，不等式
f
(
x
)
?
1
恒成立，
xe
2
x
?
ln
x
?
1
e
ln
x
e
2
x
?
(ln
x
?
2
x
)
?
1
?
2
x
e<
/p>
ln
x
?
2
x
?
(ln
x
?
2
x
)
?
1
?
?
?
2
即
< br>a
?
x
x
x
由
e
?
x
?
1
?
e
x
ln
x
?
2
x
xe
2
x
?
ln
x
?
1
?
ln
x
?
2
x
< br>?
1
?
?
2
，
x
当
ln
x
?
2<
/p>
x
?
0
时取等号
，
?
a
?
2<
/p>
）
1
1
1
1
?
?
2
2
1
1
1
1
a
1
（
3
）由
f
(
)
?
1
?
e
?
e
?
1
x
x
，
?
e
x
?
ln
?
?
1
?
e
x
?
e
?
1
x
x
，
x
x<
/p>
x
x
x
x
e
e
e
e
2
x
x
x
?
1
?
1
e
?
1
e
?
1
，
?
a<
/p>
?
x
ln
x
?
x
?
对任意
x
?
0
成立，
?
x
ln
x
?
x
?
a
?
x
x
e
e
e
e
x
?
1
x
?
1
/
g
(<
/p>
x
)
?
ln
x
?
令函数
g
(
x
)
?
x
ln
x
?
x
?
e
?
1
，所以
，
x
x
e
(
e
?
1
)
e
e
e
e
/<
/p>
/
当
x
?
1
时，
g
(
x
)
?
0
，当
0
?
x
?
1
时，
g
< br>(
x
)
?
0
，
1
?
1
e
e
?
1
?
?
1
?
所以当
x
?
1
时，函数
g
(
x
)
取得最小值
g<
/p>
(
1
)
?
?
1
?
，
1
1
e
e
(
e
?
1
)
e
e
?
a
?
?
1<
/p>
?
e
(
e
?
1
)
e
1
e
考点：利用导数研
究函数的单调性与极值（最值）
．
【
方法点晴】
本题主要考查了导数在函数中的综合应用，
其中解答
中涉及到利用导数研究函
精品资料
欢迎下载
数的单调性及其应用、
利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，
同时解答中注
意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，
通过构造新函数，
利用函数的性质解题的思想，
着重考查了转化与化归思想以及推
理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．
2
．
（
1
）
单调递增区间为
?
??
,0
?
和
?
ln
2,
??
?
，单调递减为
?
0,ln
< br>2
?
;
（
2
）
??
,
2
?
?
?
?
1
?
?
e
,
??
?
．
< br>?
2
e
?
?
【解析】
试题分析：
（
1
）求函数的导数，并且通分，分解因式的化简
，然后解
f
?
?
x
?
?
0
和
f
?
?
x
?
?
0
的解集；<
/p>
（
2
）若函数在
?
-
1
,
1<
/p>
?
上为单调函数，所以分单调递增和单调递减两种情况讨论，若<
/p>
e
x
1
?
在
?
?
1,1
?
上恒成立，那么
a
小于等于函数的最小值，若函数
单调递增，转化为
a
?
2
e
x
e
x
1
?
x
在
?
?
1,1
?
上恒成立，
a
大于等于函数的最大值
.
单
调递减，转化为
a
?
2
e
e
x
1
?
x
?
a
，
试题解析：
f
?
x
?
的定义域为
x
?
R
，
f
?
?
x
?
?
2
e
x<
/p>
x
3
e
x
1
3
?
e
?
2
??
e
?
1
?
（
< br>1
）
a
?
，则
f
?
?
x
?
?
，
<
/p>
?
x
?
?
x
2
2
e
2
2
e
令
f
?
?
x
?
?
0
，解得：
< br>x
?
ln
2
或
x
?
0
，
令
f
?<
/p>
?
x
?
?
0
，解得：
0
?
x
?
ln
2
，
∴
f
?
x
?
的单调递增区间为
?
??
,0
?
和
?
ln
2,
??
?
，单调递减为
< br>?
0,ln
2
?
．
e
x
1
?
x
?
a
?
0
在
?<
/p>
?
1,1
?
上恒
成立，
（
2
）若
f
?
x
?
在
?
?
1,1
?
上单调递增，则
f
< br>?
?
x
?
?
2
e
e
x
1
?
在
?
?
1,1
?
上恒成
立，
∴
a
?
2
e
x
x
1
t
1
t
1
?
1
?
e
?
x
?
< br>?
?
2
?
2
，
令
t
?
e
同，则
t
?
?
,
e
?
，
2
e
2
t
2
t
?
e
?
x
< br>当且仅当
t
1
1
e
1
?
1
?
?
，
t
?
2
?
?
,<
/p>
e
?
时取“
=<
/p>
”
?
e
?
?
，又
2
t
2
e
2
e
?
e
?
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：2021年新高考一轮复习利用函数同构解题
下一篇：计算机科学国际刊物排名