-
ln2
估值方法汇总
（
2014
，全国新课标
II
理数）已知
f
(
x
)
?
e
x
?
e
?
x
?
2
x
.
（
1
）讨论
f
(
x
)
的单调性。
（
2
）设
g
(
x
)
< br>?
f
(
2
x
)
?
4
b
f
(
x
)
，若
?
x
?
R
有
g
(
x
)
?
0
，求
b
的最大值。
（
3
）已知
1
.
4142
?
2
?
1
.
4143
，估
算
ln
2
的近似值（精确到
0.001
）。
本题的
（
1
），
（
2
）两问不难回答，且可以得到
f
(
x
)
在
R
上单增，
f
(
2
x
)
?
8
f
(
x
)
的结论。
第（
3
）问是此卷的压轴题，难度相当大，先给出参考答案。
< br>解法一：在
f
(
2
x
)
?
8
< br>f
(
x
)
中令
x
?
1
1
ln
2
，得
f
(ln
2
)
?
8
f
(
ln
2
)
，即
<
/p>
2
2
e
ln
2
?
e
?
ln
2
?
2
ln
2
?
8
e
1
ln
2
2
?
8
e
1
?
ln
2
2
?
8
ln
2
，化简并移项得
ln
2
?
8
2
< br>?
3
8
?
1
.
4142
?
3
?
?
0
.
6928
，这便估得了
ln
2
的下界。
12
12
注意到若
b
?
2
，则
2
?<
/p>
e
x
?
e
?
x
?
2
b
?
2
?
0
?
x
?
ln(
b
?
1
?
b
2
?
2
b
)
时有
g
?
(
x
)
?
0
，
而
g
(
0
)
?
0
，故此时若
0
?
x
?
ln(
b
?
1
?
b
2
?
2
< br>b
)
，则
g
(
x
)
?
0
.
取
b
?
3
2
?
1
?
2
,
令
x
?
ln(
b
?
1
?
b
2
?
2
b
< br>)
?
ln
2
，则
g
(
x
)
?
0
，故
4
1
1
g
(ln
2
)
?
g
(
ln
2
)
?
f
(ln
2
)
?
(
3
2
?
4
)
f
(
ln
< br>2
)
?
0
，化简并移项得
2
2
ln
2
?
18
?
2
18
?
1
.
4143
?
?
0
.
6933
，这便估得了
ln
2
的上
界。
28
28
至此，我们证明了
0
.
6928
?
ln
2
?
0
.
6933
，由四
舍五入的原则，
ln
2
的近似值为
0
.
693
. <
/p>
该解法对
ln
2
下界的估计比较容易想到，
而对
ln
2
上界的估计较难理解。
事实上，
参考答
案
在第（
2
）问便已为第（
3
）问的上界估计做了准备，并采用了相应的方法，如果考生在较为
简单的第（
2
）问中采用其他方法，便很难估
出上界。
此外，
上界估计中的
b
?
3
2
?
1
不是凭空构造而成，
而是由
b
?
1
?
b
2
?
2<
/p>
b
?
2
解出的。
4
这个解法较为复杂，导致本应较为
简单的全国卷
II
因此题难度达到了较高的水平，考场上
鲜有考生能够做出本题。在这种情况下，我们试图寻找其他解法。
<
/p>
1
1
，故
?
dx
?
ln
x
，这启示我们将
ln
2
转化为曲边梯形的面积计算。
x
x
2
1
解法二：
ln
2
?
ln
2
?
ln
1
?
?
dx
，由定积分的几何意义知此即
下图所示曲边梯形面积。
1
x
注意到
(ln
x
)<
/p>
?
?