第7课时 第三章 第二节 测量不确定度的评定与表示

2021年2月12日发(作者：pony)

（四

< p>
)

合成标准不确定度的计算

无论各标准不确定度分量是由

a

类评定还是

b

类 评定得到，

合成标准不确定

度是由各标准不确定度分量合成得到 的。

测量结果

y

的合成标准不确定度用 符号

表示。

1.

测量不确定度的传播律

当被测量的测量结果

y

的数学模型为线性函数< /p>

y=(x

1

,x

2

,

??

x

n

)

时，测量结

果

y

的合成标准不确定度

uc(y)

按 式

(3

－

64)

计算，

此式称为

“不确定度传播律”

。

< /p>

（

3

—

64

）

式中：

y

——输出量的估计值，即被测量的测量结果；

x< /p>

i

，

x

j

——输入量的估计值，

i

≠

< br>j

；

n

——输入量的数量；

——偏导数，又称灵敏系数，可表示为

c

i

，

c

j

；

u(x

i

），

< p>
u(x

j

）——输入量

x

i

和

x

j

的标准不确定度；

r

（

x< /p>

i

，

x

j

）——输入量

x

i

与

x

j

的相关系数估计值；

注：当数学模型为非线性函数时，可采用泰勒级数展开，舍去高次项后得到

近似的线性函数。

（四

)

合成 标准不确定度的计算

< p>
无论各标准不确定度分量是由

a

类评定还是

b

类评定得到，

合成标准不确定

度是由各标准不确定度分量合成得到的。

测量结果

y

的合成标准不确定度用符号

表示。

1.

测量不确定度的传播律

当被测量的测量结果

y

的数学模型为线性函数< /p>

y=(x

1

,x

2

,

??

x

n

)

时，测量结

果

y

的合成标准不确定度

uc(y)

按 式

(3

－

64)

计算，

此式称为

“不确定度传播律”

。

< /p>

（

3

—

64

）

式中：

y

——输出量的估计值，即被测量的测量结果；

x< /p>

i

，

x

j

——输入量的估计值，

i

≠

< br>j

；

n

——输入量的数量；

——偏导数，又称灵敏系数，可表示为

c

i

，

c

j

；

u(x

i

），

< p>
u(x

j

）——输入量

x

i

和

x

j

的标准不确定度；

r

（

x< /p>

i

，

x

j

）——输入量

x

i

与

x

j

的相关系数估计值；

注：当数学模型为非线性函数时，可采用泰勒级数展开，舍去高次项后得到

近似的线性函数。

(2)

< p>
当被测量的函数形式为：

y=a

1

x

1

+a

2

< br>x

2

+

?

+a

n

x

n

，且各输入量间不相关时，合成

标准不确定度

u

c

(y)

为

(3

－

69)

(3)

当被测量的函数形式为

y=a(x

1

p1

x

2

p2

?< /p>

x

n

pn

)

且各输入量间不相关时，

合成标

准不确定度

u

c

(y)

为

(3

－

70)

如果式

(3

－

70)

中

p

i

=1

< br>，

则被测量的测量结果的相对合成标准不确定度是各输

入 量的相对合成标准不确定度的方和根值

(3

－

71)

3 .

输 入量间相关系数均为

+1

时合成标准不确定度的评定

< p>

当所有输入量都相关，且相关系数为

1

时，合成标准不确定度

u

c

(y)

为

(3

～

72)

当所有输入量都相关，且相关系数 为

+1

，灵敏系数为

1

时，合成标准不确定度

u

c

( y)

为

(

3

～

73)

由此可见，当输入量都正强相关，且灵敏系数均为

1

< p>
时，合成标准不确定度

是各输入量标准确定度分量的代数和。

也就是说，强相关时不再是方和根法合成。

【案例】看看如下不确定度评定是否合适：

< br>某计量检定机构在评定某台计量仪器的重复性

s

r

时，

通过对某稳定的量

q

重

复观测了

n

次，

按贝赛尔公式，

计算出任意观测值

q

< br>k

的实验标准偏差

s(q

k

)=0.5

，

然后，考虑该仪器读数分辨力

δ

q

=1.0

，由分辨力导致的标准不确定度为

u(q )=0.29

δ

q

=0.29

×

1.0=0.29

将

s(q

k

)

与

u(q)

合成，作为仪器示值的重复性不确定度

u

r

(q

k

)

【案例分析】重复性条件下，示值的分散性既决定于仪器结构和原理上的随

< br>机效应的影响，也决定于分辨力。依据

jjfl059

一

1999

第

6.11

< br>节指出：

“同一

种效应导致的不确定度已作为一个分量进 入

u

c

(y)

时，它不应再包含在另外的分

量中”。

该机构的这一评定方法，出现了对分辨力导致的不确定度分量的重复计算，

因为在按贝 塞尔方法进行的重复观测中的每一个示值，

都无例外地已受到分辨力

影响导致测量值

q

的分散，

面在< /p>

s(q

k

)

中已 包含了

δ

q

效应导致的结果，

而不必再

u(q)

与

s (q

k

)

合成为

u

r

(q

k

)

。该机构采取这二者合成作为

u

r< /p>

(q

k

)

是不对 的。

有些情况下，有些仪器的分辨力很差，以致分辨不出示值 的变化。在实验中

会出现重复性小，即：

s(q

k

)

≤

u(q)

。特别是用非常稳定的信号源测量数字显示

式测量仪器，

在多次对同一量的测量中，

示值不变或个别的变化甚小，

反 而不如

u(q)

大。在这一情况下，应考虑分辨力导致的测量不 确定度分量，即在

s(q

k

)

与

u(q)

两个中，取其中一个较大者，而不能 同时纳入。

【案例分析】重复性条件下，示值的分散性既决定 于仪器结构和原理上的随

机效应的影响，也决定于分辨力。依据

jjfl059

一

1999

第

6.11

节指出：

“同一

种效应导致的不确定度已作为一个分量进入

u

c

(y)

时，它不应再包含在另外的分

量中”。

该机构的这一评定方法，出现了对分辨力导致的不确定度分量的重复 计算，

因为在按贝塞尔方法进行的重复观测中的每一个示值，

都 无例外地已受到分辨力

影响导致测量值

q

的分散，

面在

s(q

k

)

中已包含了

δ

q

效应导致的结果，

而不必再

u(q)

< p>
与

s(q

k

)

< p>
合成为

u

r

(q

k

)

。该机构采取这二者合成作为

u

r

(q

k

)

是不对的。

有些情况下， 有些仪器的分辨力很差，以致分辨不出示值的变化。在实验中

会出现重复性小，即：

s(q

k

)

≤

u(q)

。特别是用非常稳定的信号源测量数字显示

式测量仪器，

在多次对同一量的测量中，

示值不变或个 别的变化甚小，

反而不如

u(q)

大。 在这一情况下，应考虑分辨力导致的测量不确定度分量，即在

s(q

k

)

与

u(q)

< br>两个中，取其中一个较大者，而不能同时纳入。

例如：

一个振荡器的频率与环境温度 可能有关，

则可以把频率

f

和环境温度

t

作为

两个输入量，即

x

i

=t

，

< br>x

j

=f

，同时观测每个温度下 的频率值，得到一组

t

k

，

< p>
f

k

数

据，共观测

n

组，

k=1

，

2

，?，

n

。计算 算术平均值

们的协方差

，则由下式可以计算它

如果协方差为 零，说明频率与温度无关，如果协方差不为零，就显露出它们

间的相关程度。

< p>

(3)

< p>
用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值

根据对

x

和

y

两个量同时测量的

n

组测量数据，

相关 系数的估计值按式

(3

－

75)

计算

(3

—

75)

式中，

s(x)

和

s(y)

分别为

x

和

y

的实验标准偏差。

(4)

用经验公式估计相关系数

如果两个输入量

< br>x

i

，

x

j

相关，

x

i

变化

会使

x

j

相应变化变化

的相关系数可用经验公式

(3

< br>－

76)

估计

，则

x

i

和

< br>x

j

(3

—

76)

式中，

u (x

i

）和

u(x

j

）分别为

x

i

< br>和

x

j

的标准不确定度。

(5)

采用适当方法去除相关性

①将引起相关的量作为独立的附加输入量进入数学模型

例如

x

i< /p>

和

x

j

原来是不 相关的两个量，但都需要做温度修正，若用同一个温度计测

量温度，

则如果该温度计示值偏大，

两者的修正值同时受影响，

即存 在

x

i

=f

（

t

）

，

x

j

=g

（

t

），所以

y=f(x

i

，

x

j

)

中 两个输入量

x

i

与

x

j

成为相关的了。只要在数学模

型中把温度

t

作为独立的附加输入量，即

y=f(x

i

，

x

< br>j

，

t)

，该附加输入量具有与

上述两个量不相关的标准不确定度。

则在计算合成标准不确定度 时就不需再引入

x

i

与

x

j

的协方差或相关系数了。

②采取有效措施变换输入量

例如

在量块校准中校准值的不确定度 分量中包括标准量块的温度

θ

s

及被校 量块

的温度

θ

两个输入量，即

l=f(

θ

s

，

θ

)

。

< p>
由于两个量块处在同一实验室的同一台测量装置上，温度

θ

s

与

θ

是相关的。但

只要把

θ

变换为

，使数 学模型中只有被校量块与标准量块的温度差么

与标准量块的温度作为两个输入量时，这两 个输入量间就不相关了，即

中

不相关。

5.

合成 标准不确定度的有效自由度的计算

合成标准不确定度

u

c

(y)

的自由度称为有效自由度，用符号

v

< p>
eff

表示。

在以下情 况时需要计算有效自由度

v

eff

（

1

）

当需要评定

up

时为求得

kp

而必须计算

的自由度

v

eff

；

（

2

）

当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度而提出要求时。

有效自由度的计算公式

:

(3

－

77)

当测量模型为

算，

< br>式

3

－

78

时，

有效自由度可用相对标准不确定度的形式计

(3

－

78)

实际计算中，得到的有效自由度

v

ef f

不一定是一个整数。如果不是整数，可以采

用将

v

eff

数字舍位到最接近的一个较低的整数。例如 计算得到

v

eff

=12.65

，则取

v

eff

=1 2

。

有效自由度计算举例：

设

y=f (x

1

,x

2

,x

3

)=b x

1

x

2< /p>

x

3

，

x

1

,x

2

,x

3

的估计值

x

1

,x

2

,x

3

分别是

n

l

，

n

2

，

n

3

次测量的算术平均值，

n

2

=10

，

n

2

=5

，

n

3

= 15

。它们的相对标准不确定度分

别为：

u(x

1

）

/ x

1

=0.25%

，

u(x

2

）

/ x

< p>
2

=0.57%

，

u(x

3

）

/ x

3

=0.82%

这种情况下合成标准不确定度及其有效自由度为

6.

合成标准不确定度计算流程

合成标准不确定度的计算流程如图

3

－

16

所示。