-
运用均值不等式的八类拼凑方法
利用均值不等
式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时
,
我们常常会遇
到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此
时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均
值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引
发出种种拼凑方法。笔者把
运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、
拼凑定和
通过因式分解、
纳入根号内、
升幂等手段，
变为
< br>“积”
的形式，
然后以均值不等式的取等条件为出发点，
均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１
已知
0
?
x
?
1
，求函数
y
?
?<
/p>
x
3
?
x
2
?
x
?
1
的最大值。
解：
y
?
?
x
2
?
x
?
1
?
?
?
< br>x
?
1
?
?
?
x
?
1
?
?
1
?
x
2
?
?
?
x
?
1
?
?
1
?
< br>x
?
2
?
x
?
1
x
?
1
?
?
?
1
?
x
?
?
?
2
?
32
x
?
1
x
?
1
2
?
4
?
?
?
?
1
?<
/p>
x
?
?
4
?
。
?
?
2
2
3
27
?
?
?
?
当且仅当
3
x
?
1
1
32
?
1
?
x
，即
x
?
时，上式取“
=
”
。故
y
max
?
。
2
3
27
评注：
通过因式
分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，
求“积”的最大值。
例
2 <
/p>
求函数
y
?
x<
/p>
2
1
?
x
2
?
0
?
x
?
1
?
的最大值。
x
2
x
2
解
：
y
?
x
?
1
?
x
?
?
4
?
?
?<
/p>
?
1
?
x
2
?
。
2
2
4
2
?
x
2
x
2
2
?
?
?
1
?
x
?<
/p>
?
?
1
?
x
2
x
2
2
2
2
?
?
?
1
?
x
?
?
?
因
，
?
?<
/p>
2
2
3
27
?
?
?
?
?
?
x
2
2
3
6
?
< br>?
1
?
x
2
?
，即
x
?
当且仅当
时，上式取“
=
”
。故
y
max
?
。
2
9
3
3
评注：
将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件
< br>。
例
3
已知<
/p>
0
?
x
?
2
，求函数
y
?
6
x
?
4
?
x
2
?
的最大值。
解：
y
?
36
x
2
2
?
4
?
x
?
2
2
< br>?
18
?
2
x
2
?
4
?
x
2
??
4
?
x
2
?
3
?
2
x
2
?
?
4
?
x
2
< br>?
?
?
4
?
x
2
?
?
18
?
8
3<
/p>
?
?
?
18
?
。
3
27
?
?
?
?
1
2
2
当且仅当
2
x
?
4
?
x
，即
x
?
?
< br>?
2
3
时，上式取“
=
”
。
3
故
y
max
2
18
?
8
< br>3
32
3
?
，又
y
?
0,
y
max
?
。
27
3
二、
拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有
理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为
出发点，配项凑定积
，创造运用均值不等式的条件
例
4
设
x
?
?
1
，求函数
y
?
?
x
?
5
??
x
?
2
?
的最小值。
x
?
1
解：
y
?
?
?
?
x
?
1
?
?
4
?
?
?
?
?
x
?
1<
/p>
?
?
1
?
?
?
x
?
1
?
4
?
5
?
2
x
?
1
x
?
1
?
x
?
1<
/p>
?
?
4
?
5
?
9
。
x
?
1
当且仅当
x
?
1
时，上式取“
=
”
。故
y
min
?
9
。
评注：
有关分
式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑
定积”
，往往是十分方便的。
例
5
已知<
/p>
x
?
?
1
，求函数
y
?
24<
/p>
?
x
?
1
?
?
x
?
3
?
2
的最大值。
解：
?
x
?
?
1,
?
x
?
1
?
0
，
?
y
?
24
?
x
?
1
?
?
x
?
1
?
2
?
4
?
x
?
1
?
?
4
?
24
?
x
?
1
?
?
4
?
4
x
?
1
?
24
?
3
。
2
?
2
?
4
当且仅当
x
?
1
时，上式取“
=
”
。故
y
max
?
3
。
评注
：
有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为
常数，再设
法将分母“拼凑定积”
。
例
6
已知<
/p>
0
?
x
?
?
，求函数
y
?
2
?
cos
x
的最小值。
sin
x
x
?
x
解
：
因为
0
?
x
?
?
，所以
0
?
?
，令
ta
n
?
t
，则
t
?
0
。
2
2
2
1
1
?
cos
x
1
?
t
2
1
3
t
1
< br>3
t
所以
y
?
?
?
?
t
?
?
?
2<
/p>
?
?
3
。
sin
x
sin<
/p>
x
2
t
2
t
2
2
t
2
当且仅当
1
3
t
3
?
?
，即
t
?
,
x
?
时，上式取“
=
”
。故
y
min
?
3
。
2
t
2
3
3
评注：
通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数
，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式
的环境。
2
三、
拼凑常数降幂
例
7
若
a
3
?
b
3
?
2,
a
,
b
?
R
?
，求证：
a
?
b
?
2
。
< br>
分析：
基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能
，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥
梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知
与要求证的条件是
a
?
b
?
1
，为解题提供了信息，发现
应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
< br>证明：
?
a
3
< br>?
1
3
?
1
3
?
3
3
a
3
?
1
3
?
1
3
?
3
a
,
b
3
?
1
< br>3
?
1
3
?
3
3
b
3
?
1
3
?
1
3
?
3
b
。
，
?
a
3
?
b
3
?
4
?
6
?
3
?
a
< br>?
b
?
,
?
a
?
b
?
2.
当且仅当
a
?
b
?
1
时
，上述各式取“
=
”
故原不等式得证。
评注：
本题借助取等号的条件，创造
性地使用基本不等式，简洁明了。
例
8
若
x
3
?
y
3
?
2,
x
,
y
?
R
?
，求
x
2
< br>?
y
2
?
5
xy
的最大值。
解：
?
3
?
< br>1
?
x
?
x
?
1
?
x
3
?
x
3
,3
?
1
?
y
?
y
?
1
?
y
3
?
y
3
,3
< br>?
1
?
x
?
y
?
1
?
x
3
?
y
3
,
?
x
2
?
y
2
?
5
xy
?
1
?
x
3
?
x
3
?
1
?
y
3<
/p>
?
y
3
?
5
?
1
?
x
3
?
y
3
?
3
?
7
?
7
?
x
3
?
y
3<
/p>
?
3
?
7
。
当且仅当
a
?
b
?
1
时，上述各式取“
=
”
，故
x
2
?
y
2
?
5
xy<
/p>
的最大值为
7
。
例
9
已知<
/p>
a
,
b
,
c
?
0,
abc
?
1
，求证：
a<
/p>
3
?
b
3
?
c
3
?
ab
?
bc
?
ca
。
证明：
?
1
?
a
3
?
b
3
< br>?
3
?
1
?
a
?
b
,
1
?
b
3
?<
/p>
c
3
?
3
?
1
?
b
?
c
,1
?
c
3
?
a
< br>3
?
3
?
1
?
c
?
a
，
?
3
?
2
?
a
3
?
b
3
?
c
3
?
< br>?
3
?
ab
?
bc
?
ca
?
，又
?
ab
?
bc
?
ca
?
3
3
a
2
b
2
c
2<
/p>
?
3
，
?
3
?
2
?
a
3
?
b
3
?
c
3
?
?
2
?
ab
?
bc
?
ca
?
?
3
,
?
a
3
?<
/p>
b
3
?
c
3
?
ab
?
bc
?
ca
。
当且仅当
a
?
b
?
c
?
1
时，上述各式取“
=
”
，故原不等式得证。
四、
拼凑常数升幂
例
10
若<
/p>
a
,
b
,
c
?
R
?
，且
a
?
b
?
c
?
1
< br>，求证
a
?
5
< br>?
b
?
5
?
c
?
5
?
4
3
。
分析：
已
知
与
要
求
证
的
不
等
式
都
是
关
于
a
< br>,
b
,
c
的
轮
换
对
称
式
，
容
易
发
现
等
号
成
立
的
条
件
是
1
16
a
?
b
?
c
?
，故应拼凑
，巧妙升次，迅速
促成“等”与“不等”的辩证转化。
3
3
证明：
?
2
?
16
16
16
16
16
16
?
< br>a
?
5
?
?
?
a
?
5
?
,2
?
?<
/p>
b
?
5
?
?
?
b
?
5
?
,2
?
?
c
?
5
< br>?
?
?
c
?
5
?
，
3
3
3
3
3
3
16
3
?
2
?
。
?
a
?
5
?
b
?
5
?
c
?
5
?
31
?
?
a
?
b
?
c
?
?
32.
?
a
?
5
?
b
?
5
?
c
?
5
< br>?
4
3
?
3
-
-
-
-
-
-
-
-
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