-
因式分解的
16
种方法
因式分解没有普遍的方法
,
初中数学教
材中主要介绍了
提公因式法
、
公式法<
/p>
。而在竞赛上
,
又有拆
< br>项与添减项法
,
分组分解法与十字相乘法
,
待定系数法
,
双十字相乘法
,
对称多项式轮换对称多项式法
,
余
数定理法
,
求根
公式法
,
换元法
,
长除法
,
除法等。
注意三原则
1
分解要彻底
2
最后结果只有小括号
3
最后结果中多项式首项系数为正
(
例如
:
?<
/p>
3
x
2
?
x
?
?
x
?
3
x
?
1
?
)
分解因式技巧
1
、分解因式与整式乘法就是互为逆
变形。
2
、分解因式技巧掌握
:
①等式左边必须就是多项式
;
②分解因式的结果必须就是以乘积的形式表示
;
③每个因式必须就是整式<
/p>
,
且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
;
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注
:
分解因式前先要找到公因式
,
在确定公因式
前
,
应从系数与因式两个方面考虑。
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式<
/p>
,
可以把这个公因式提出来
,
从而将多项式化成两个因式乘积的形
式
,
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法
:
当各项系数都就是整数时
,
公因式的系数应取各项系数的最大公
约数
;
字母取各项的相同
的字母
,
而且各字母的指数取次数最低的
;
取相同的多项式
,
多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项就是负的
,
一般要提出“
-
”号
,
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“
-
< br>”
号时
,
多项式的各项都要变号
。
提公因式法基本步骤
:
(1)
找出公因式
;
(2)
提公因式并确定另一个因式
:
①第一步找公因式可按照确定公因
式的方法先确定系数在确定字母
;
②第二步提公因式并确定另
一个因式
,
注意要确定另一个因式
,<
/p>
可用原多项式除以公因式
,
所得的商
即就是提公因式后剩下的
一个因式
,
也可用公因式分别除去原多项式的每一项
,
求的剩下的另一个因式
;
③提完公因式后
,
< br>另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀
:
找准
公因式
,
一次要提净
;
全家都搬走
,
留
1
把家守
;
提负要变号
,<
/p>
变形瞧奇偶。
例如
:
-a
m+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
< br>。
注意
:
把
2
a
2
+
1
1
变成
2(
a
2
+
)
不叫提公因式
2
4
⑵公式法
如果把乘法公式反过来
,
就可以把某些
多项式分解因式
,
这种方法叫公式法。
平方差公式
:
a
2
?
b
2
=(a+b)(a-b)
;
完全平方公式
:
a
2
±
2ab
＋
b
2
＝
?
a<
/p>
?
b
?
2
注意<
/p>
:
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须就是三项式
,
其中有两项能写成两个数
(
< br>或式
)
的
平方与的形式
,
另一项就是这两个数
(
或式
)
的积的
2
倍。
立方与公式
:
a
3
?
b
3
=(a+b)(
a
2
-ab+
b
2
);
立方差公式
:
a
3
?
b
3
=(a--b)(
a
2
+ab+
b
2
);
完全立方公
式
:
a
3
±<
/p>
3
a
2
b
＋
3a
b
2
±
b
3
=(a
±
b)
2
.
公式
:
a
3
+
b
3
+
c
3
-3abc=(a+b+c)(
a
2
+
b
2
+
c
2
-ab-bc-ca)
例如
:<
/p>
a
2
+4ab+4
b
2
=(a+2b)
2
。
⑶分组分解法
分组分解就是解方程的一种简洁的方法
,
我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项
,
一般的分组分解有两种形式
:
二二分
法
,
三一分法。
比如
:
ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把
ax
与
ay<
/p>
分一组
,bx
与
by
分一组
,
利用乘法分配律
,
两两相配
,
立即解除
了困难。
同样
,
这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题
:
1
、
5ax+5bx+3ay+3by
解法
:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明
:
系数
不一样一样可以做分组分解
,
与上面一样
,
把
5ax
与
5bx
瞧成整体
,
把
3ay
与
3by
瞧成一个
整体
,
利用乘法分配律轻松解出。
2
、
x
3<
/p>
-
x
2
+x-1
解法
:=( x
3
-
x
2
)+(x-1)
=
x
2
(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(
x
2
+1)
利用二二分法
,
提公因式法提出
x2,
然后相合轻松解决。
3
、
x
2
-x-y
2
-y
解法
:=
(
x
2
-y
2
)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用
二二分法
,
再利用公式法
a
2
-b
2
=(a+b)(
a-b),
然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①
x
2
+(p+q)x+pq
型的式子的因式分
解
这
类二次三项式的特点就是
:
二次项的系数就是
< br>1;
常数项就是两个数的积
;
一
次项系数就是常数项
的
两
个
因
数
的
与
。
因
此
,
可
以
直
接
将
某
些
二
次<
/p>
项
的
系
数
就
是
1
的
二
次
三
项
式
因
式
分
解
:
x
2
+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②
k
x
2
+mx+n
型的式子的因式分解
如果有
k
=ac,n=bd,
且有
ad+bc=m
时
,
那么
kx
2
+mx+n=(ax+b)(cx+d).
图示如下
:
a d
例如
:
因为
1
-3
×
×
c d 7
2 -3
×
7=-21,1
×
2=2,
且
2-21=-19,
所以
7<
/p>
x
2
-19x-6=(7x+2)(x-
3).
十字相乘法口诀
:
首尾分解
,
交叉相乘
,
求与凑中
⑸裂项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项
(
或几项
),
使原式适合于提公因式
法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质就是分组分解法。要注意
,
必须在与原多项
式相等的原则下进行变形。
例如
:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式
,
可
以将其配成一个完全平方式
,
然后再利用平方差公式
,
就能将
其因式分解
,<
/p>
这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相
等的原则下进行变形。
例如
:
x<
/p>
2
+3x-40
=
x
2
+3x+2
< br>、
25-42
、
25
=
?
x
?
1
.
5
?
?
?
6
.
5
?
=(x+8)(x-5).
2
2
⑺应用因式定理
对于多项式
f(x)=0,
如果
f(a)=0,
那么
f(x)
必含有因式
x-a.
例
如
:f(x)=
x
2
+5x+6,f(-2)=0,
则
可
确
定
x+2
就
是
x
2
+5x+6
的
一
个
因
式
。
(
事
实
上
,
x
2
+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意
:1
、对于系数全部就是整数的多
项式
,
若
X=q/p(p,q
为互质整数时
)
该多项式值为零
,
则
q
为常
< br>数项约数
,p
最高次项系数约数
;
2
、
对于多项式
f(a)=0,b
为最高次项系数
< br>,c
为常数项
,
则有
a
为
c/b
约数
⑻换元法
有时在分解因式时
,
可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数
,
然
后进行因式分解
,
最后再
转换回来
,
这种方法叫做换元法。
注意
:<
/p>
换元后勿忘还元、
例如在分解
(
x
2
+x+1)(
x
2
+x+2)-12
时
,<
/p>
可以令
y=
x
2
+x
,
则
原式
=(y+1)(y+2)-12
=y
2
+3y+2-12=y
2
+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(
x
2
+x+5)(
x
2
+x-2)
=(
x
< br>2
+x+5)(x+2)(x-1).
⑼求根法
令多项式
f(x)=0,
求出其根为
x
1,x,x3,
……
xn,
则该多项
式可分解为
f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
……
(x-xn) .
例如在分解
2x^4+7x^3-2x^2-13x+6
时
,
令
2x^4
+7x^3-2x
2
-13x+6=0,
则通过综合除法可知
,
该方程的根为
0
、
5 ,-3,-2,1.
所以
2x^4+7x^3-2
x
2
-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
⑽图象法
令
y=f(x),
做出函数
y=f(x)
的图象
,
找
到函数图像与
X
轴的交点
x1
,x2
,x3
,
……
xn
,
则多项式可因式
分解为
f(x)=
f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
……
(x-
xn).
与方法⑼相比
,
能避开解方程的繁琐
,
但就是不够准确。
例如在分解
x^3 +2
x
2
-5x-6
时
,
可以令
y=x^3;
+2
x
2
-5x-6
、
作出其图像
,
与
x
轴交点为
-3,-1,2
则
x^3+2
x
2
-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
⑾主元法
先选定一个字母为主元
,
然后把各项按
这个字母次数从高到低排列
,
再进行因式分解。
⑿特殊值法
将
2
或
10
代入
x,
求出
数
p,
将数
p
分解质因数
,
将质因数适当的组合
,<
/p>
并将组合后的每一个因数写成
2
或
10
的与与差的形式
,
将
2
或
10
还原成
x,
即得因式分解式。
例如在分解
x^3+9
x
2
+23x+15
时
,
令
x=2,<
/p>
则
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