-
因式分解得
16
种方
法
因式分解没有普遍得方法
,
初中数学教材中主要介绍了
提公因式法
、
公式法
。而在竞赛上
,
又有拆
项与添减项法
,
分组分解法
与十字相乘法
,
待定系数法，双十字相乘法
,
对称多项式轮换对称多项式法
,
余
数定理法
,
求根公式法
,
换元法，长除法
,
除法等
。
注意三原则
1
分解要彻底
2
最后结果只有小括号
3
最后结果中多项式首项系数为
正
(
例如：
)
分解因式技巧
1
、分解因式与整式乘法就就是互为
逆变形。
2
、分解因式技巧掌握
:
①等式左边必须就就是多项式
;<
/p>
②分解因式得结果必须就就是以乘积得形式表示
;
③每个因式必须就就是整式
,
且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数；
< br>
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注
:
分解因式前先要找到公因式
,
在确定公因式
前
,
应从系数与因式两个方面考虑。
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。
如果一个多项式得各项有公因式，
可以把这个公因式提出来
,
从而将多项式化成两个因式乘积得形
式
,
这种分解因式得方法叫做提公因式
法。
具
体方法
:
当各项系数都就就是整数时
,
公因式得系数应取各项系数得最大公约数
;
字母取各项得相
同得字母
,
而且各
字母得指数取次数最低得
;
取相同得多项式
,
多项式得次数取最低得。
如果
多项式得第一项就就是负得
,
一般要提出“
-
”号
,
使括号内得第一项得系数
成为正数。提出“
-
”
号时
,
多项式得各项都要变号。
提公因式法基本步骤
:
(1)
找出公因式；
(2)
提公因式并确定另一个因式
:
①第一步找公因式可按照确定公因式得方法先确定系数在确
定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式
,
注意要确定另一个因式
,
可
用原多项式除以公因式
,
所得得商
即就
就是提公因式后剩下得
一个因式
,<
/p>
也可用公因式分别除去原多项式得每一项
,
求得剩下得另一个因式；
③提完公因式后
,
另一因式得项数与原多项
式得项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净
;
全家都搬走
,
留
1
把家守
;
提负要变号
,
变形
瞧奇偶。
例如
:
-am+bm+
ｃ
m
＝－ｍ
(a
－ｂ
-
ｃ）
;
a(x-y
）
+b(y-
ｘ
)=
ａ
(x-y
）－
b(x
－
y
）
=(x
－
y)(a
－
b)
。<
/p>
注意
:
把
2
＋变成
2
（
+
)
不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来
,
就可以把某些
多项式分解因式
,
这种方法叫公式法。
平方差公式：
=
< br>（
a+b)(a-b)
;
完
全平方公式
:
±２
a
< br>ｂ＋
=
注意
:
能运
用完全平方公式分解因式得多项式必须就就是三项式
,
其中有两
项能写成两个数
(
或式
)
得平方与得形式
,
另一项就就是这两个数（或式
)
得积得２倍。
立方与公式
:
=(a+b)
（
-ab+);
立方差公式：
=(a--
b
）
( +ab+);
完全立方公式
:
±
3b+3a
±
=(
ａ±
b
）
、
公式
:
＋
+-3
ａ
bc=(
ａ
+b+
ｃ
)(
＋＋
-ab-bc-
ｃ
a)
例如：
＋
4a
ｂ
+4
=(a+2b)
。
⑶分组分解法
分组分解就就是解方程得一种简洁
得方法，我们来学习这个知识。
能分组分解得方程有四项或大于四项
,
一般得分组分解有两种形式
:
二二分法，三一分法。
比如：
ax+a
ｙ＋
bx+by
＝
a(
ｘ
+
ｙ
)
＋ｂ（
x+
ｙ
) =(a+
ｂ）
（ｘ<
/p>
+
ｙ
)
我们把
a
x
与
ay
分一组
,bx
与
by
分一组
,
利用乘法分配律
,
两两相配
,
立即解除了困难。
同样
,<
/p>
这道题也可以这样做。
ａ
x+a
ｙ
＋ｂ
x
＋
by =
ｘ
(a+b
）
+y(a+
ｂ
) =
（
a
＋
b
）
(x+y)
几道例题
:
1
、
５ａｘ
+5
ｂｘ
+
3ay+
３
by
解法：
=5x(a
＋ｂ）
+3
y(a+
ｂ
)
＝（
< br>5x+3
ｙ）
(a+b
）
说明：系数不
一样一样可以做分组分解
,
与上面一样
,
把
5ax
与
5b
ｘ瞧成整体
,
把３
ay
与
3
ｂ
< br>y
瞧成一
个整体
,
利用乘法分配律轻松解出。
2
、
ｘ
-+
ｘ
-
１
解法
:=
（
x
－
)+(
ｘ
-
１
)
＝
（
x-1)+
（
x-1)
=(
ｘ
-1)(
+1
）
利用二二分法
,
提公因式法提出
x2,
然后相合轻松解决。
3
、
－
x-y-y
解法
:=
（
-y)-(
ｘ＋
y)
< br>
=
（
x+y
）
(
ｘ
-y
）
-
（
x+y) =(x+y)(
ｘ
-y-1
）
利用二二分法
< br>,
再利用公式法
a
－
b=
（
a+b)
（ａ
-b
）
,
然后相合
解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①＋
(p+q)x+
ｐ
q
型得式子得因式分解
这类二次三项式得特点就就是
:
二次项得系数就就是
1;
常数项就就是两个数得积
;
一次项系数就就是
常数项得两个因数得与。因此，可以直接将某些二次项得系数就就是
1<
/p>
得二次三项式因式分解
:+(p+
ｑ
)x+pq
＝
(x
＋
p)
（
x+q)
、
②
k
＋
mx+n<
/p>
型得式子得因式分解
如果有ｋ
=ac,n=bd,
且有
ad+bc=m
时
,
那么
kx+mx+
ｎ
=(
ａ
x+b)(cx+d)
、
图示如下：
a
ｄ
例如：因为
1
-3
×
×
c d
７
2
－３×
7=-21,1
×
2=2,
且
2
－
21=-19,
所以
7-
１９
x
－６＝
(7x+
２
)(x-
３
)
、
十字相乘法口诀
:
首尾分解
,
交叉相乘，求与凑中
⑸裂项法
这种方法指把多项式得某一项拆开或填补上互为相反数得两项
(
或几项
)
，
使原式适合于提公因式法、
运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法得实质就就是分
组分解法。要注意
,
必须在与原多项式
相等得原则下进行变形。
例如：
bc(b+c)+
ｃ
a(
ｃ
-
ａ
)-a
ｂ
(a+b
）
=bc
（
c-
ａ＋
a+b)+
ｃ
a(c-a
）
-ab
（
a
＋
b
< br>）
=bc
< br>（ｃ
-
ａ
)
＋
ca(
ｃ－
a)+
ｂ
c(a+b)-ab
（
a
+b
）
＝
c(c-
ａ
)(b+
ａ）
+b(a
＋
b
）
（
c-a
）
=
（
c+b)(
ｃ－
a)(a+b)
< br>、
⑹配方法
对于某些不能利用公式法得多项式
,
可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式
,
就能
将其因式分解
,
这种方法叫配方法。属于拆项、补项法得一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式<
/p>
相等得原则下进行变形。
例如
:
＋
3x-40<
/p>
＝
+
３
x+2
、２
5-42
、
25
=
=(x
+8
）
(
ｘ
-
５
)
、
⑺应用因式定理
对于多项式
f
（ｘ
)=0,
如果ｆ
(a
）
=
０
,
那么
f
（ｘ
)
必含有因式ｘ
-
ａ、
例如
:f(x)=
< br>+5x
＋
6
，ｆ（
-2)=
０，则可确定
x+2
就就是
+
５ｘ
+6
< br>得一个因式。
(
事实上
,+5x
+6=(x+
２
)(x+3
）
、
)
注意：１、
对于系数全部就就是整数得多项式
,
若
X=q/p(p,q
为互质整数时
)
该
多项式值为零
,
则
q
< br>为常
数项约数
,p
最高次项系数
约数；
2
、对于多项式
f(a)=0,b
为最高次项系数
,c
为常数项
,
则有
a
为ｃ／ｂ约数
⑻换元法
有时在分解因式时
,
可以选择多项式中
得相同得部分换成另一个未知数
,
然后进行因式分解
,
最后再转
换回来，这种方法叫做换元法。
注意
:
换元后勿忘还元、
例如在分解
(
+x+1
）
（
+x+
２
)-12
时
,
可以令
ｙ
=+x
，则
原式
=(y+
１
)(y
＋２
)-
１
2
＝ｙ
+3y
＋
2-12
＝
y
＋
3y-10
＝
(y+5)(y-2)
=
（
+x+
５
)(
+x-2)
=(+
ｘ
+5
）
（ｘ
+2)(
ｘ－
1)
、
⑼求根法
令多项式
f(x)=
０
,
求出其根为ｘ
1
，
x,
ｘ
3,
……
xn,
则该多项式可分解为ｆ
(
ｘ
)=(x-
ｘ１
)(x-x2)(x
－
x3)
……（
x-xn)
、
例如在分解２ｘ
^
４
+7x^3-2x^
２－１
3
ｘ＋
6
时
,
令
2x^4
+
７
x
＾
3-
2
ｘ－
13x+6=0
，
则通过综合除法可知
,
该方程得根为
0
、５
，
-3,-2,
１、
所以
2x^4+7
ｘ
^3-
２－
13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)
（
x-1
）
、
⑽图象法
令
y=f
（
x
）
,
做出函
数
y=f(x)
得图象
,
找到函数图像与Ｘ轴得交点
x1
,x
２
,x
３
,
……ｘｎ
，则多项
式可因式分解为
f(x)
＝<
/p>
f(x)=(x
－ｘ
1)
（
x
－
x2
）
（
x-x3
）……
(
ｘ－
xn
）
、
与方法⑼相比
,
能避开解方程得繁琐
,
但就就是不够准确。
例如在分解ｘ
^3 +
２
-
５ｘ
-6
时，可以令ｙ
=
ｘ
^3;
+
２
-5x-6
、
作出其图像
,
与
x
轴交点为
-3
，
-1
，
2
则
x^3
＋
2
－
5x-6=(x+1)
（ｘ
< br>+3
）
（
x
－２
)
、
⑾主元法
先选定一个字母为主元
,
然后把各项按这个字母次数从高到低
排列
,
再进行因式分解。
⑿特殊值法
将２或
10
代入
x,
求出数
p,
将数
p
分解质因数
,
将质因数适当得组合
,
并将组合后得每一个因数写成
2
< br>或
1
０得与与差得形式
,
将
2
或
10
还原成
x
，即得因式分解式。
< br>
例如在分解ｘ＾
3+9+
２
3x+1
５
时
,
令ｘ＝
2
，则