-
配凑法
(
高中版
)
（第课时）
神经网络
准确记忆！
D
重点难点
好好把握！
重点
：
1<
/p>
．
；
2
．
；
3
．
。
难点
：
1
．
；
2
．
< br>；
3
．
；
。
考纲要求
注意紧扣！
1
．
；
2
．
；
3
．
。
命题预测
仅供参考！
1
．
；
2
．
；
3
．
。
考点热点
一定掌握！
所谓
“配凑”
指的是利用恒等变形的方法，
< br>把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式，
用得最多的是配成完全平方式。
它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明
等式和不等式、求函数的
解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它。
常用的基本配凑形式如下：
a
＋
b
＝
(a
＋
b)
－
2ab
＝
(a
－
b)
＋
2ab
；
a
＋
ab
＋
b
＝
(a
＋
b)
－
ab
＝
(a
－
b)
＋
3ab
＝
(a
＋
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
b
2
3
2
)
＋（
b<
/p>
）
；
2
2
1
2
2
2
a
＋
b
＋
c
＋
ab
< br>＋
bc
＋
ca
< br>＝
[(a
＋
b)
＋
(b
＋
c)
＋
(c
＋
a)
]
2
a
＋
< br>b
＋
c
＝
(a
＋
b
＋
c)
－
2(ab
＋
bc
＋
ca)
＝
< br>(a
＋
b
－
c)
－
2(ab
－
bc
－
ca)
＝…
1
＋
sin2
α
＝
1
＋
2sin
α
cos
α
＝（
sin
α
＋
cos
α
）
；
x
＋
2
2
2
2
1
1
2
1
2
< br>＝
(x
＋
)
－
2
＝
(x
－
)
＋
2
；……
等等。
x
2
x
x
常用的基本配凑策略如下：
把结论（或等式左边）变形，凑出题设（或等式右边）形式，以方便
利用已知条件。
把题设（或等式左边）变形，凑出结论（或等
式右边）形式，以从中推出结论。
把题设（或等式左边）先变
形，再把结论（或等式右边）变形，凑出变形后的题设（或等式
左边）形式。
1
．配凑法在化简求值中的应用
x
?
x
?
2
的值。
?
1
x
?
x
?
3
1
< br>1
解：设
x
< br>2
?
y
，则由已知可得
y
?
?
2
，
< br>y
例
.
（高一）设
x
?
x
< br>1
2
1
?
2
?
2
，求
3
2<
/p>
?
3
2
-------------
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--------------
1
1
3
3
?
2
(
y
?
)
?
3
y
?
?
< br>2
x
?
x
?
2
4
y
3
y
y
?
?
?
而
。
?
1
1
1
5
x
?
x
?
3
y
2
?
2
< br>?
3
(
y
?
)
2
?
2
?
3
y
y
3
2
?
3
2
y
3
?
点评：本题是把把题设（或等式左边）先变形，再把结论（或等式左边）变形，凑出变形后
的题设（或等式右边）形式。
2
．配凑法在恒等式和不等式证明中的应用
3
．配凑法在方程中的应用
例
.
（高二）设方程
x
＋
kx
＋
2=
0
的两实根为
p
、
q
，若
(
的取值范围。
解：方程
x
＋
kx
＋
2=0
的两
实根为
p
、
q
，由韦达定理得：
p
＋
q
＝－
k
，
pq
＝
2 ,
2
2
p
2
q
2
)
+(
)
≤
< br>7
成立，求实数
k
q
p
p
(
)
q
2
q
+(
< br>)
p
2
[(
p
?
q
)
2
?
2
pq
]
2
?
2
p
2
q
2
(
p
2
?
q
2
)
2
?
< br>2
p
2
q
2
p
4
?
q
4
＝
＝
＝
＝
(
pq
)
2
(
pq
)
2
(
pq
)
2
(
k
2
?
4
)
2
?
8
≤
7
，
解之得
k
≤－
10
或
k
≥
10
。
4
又因为
p
、
q
为方程
x
＋
kx
＋
2=0
的两实根，
∴
△＝
k
－
8
≥
0
即
k
≥
2
2
或
k
≤－
2
2
，
综上所述，
k
的取值范围是：－
10
≤
k
≤－
2
2
或
2
2
≤
k
≤
10
。
点评：关于实系数一元二
次方程问题，总是先考虑根的判别式“
Δ
”
；已知方程有两根时，
可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到
p
＋
q
、
pq
后，观察已知不等式，从其结构特征联
想到先通分后配
方，表示成
p
＋
q
与
pq
的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，
即使
有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点
我们要尤为
注意和重视。
4
．配凑法在二次函数中的应用
例
.
（高一）函数
y
＝
log
1
(
－
2x
＋
5
x
＋
3)
的单调递增区间是
_____
。
2
2
2
2
5
1
5
5
A.
（－∞
,
5
4
] B.
[
4
,+
∞
)
C. (
－
2
,
4
] D. [
4
,3) <
/p>
解：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选
D
。
5
．配凑法在数列中的应用
1
2
4
2
n
例
.
（高三）求和
。
?
?
?
?
?
2
4
2
n
1
?
x
1
?
x
1
?<
/p>
x
1
?
x
分析：通分、拆项等技巧对本题均不适用，我们在进行分式运算时曾用过“逐项累加”的技
巧，受此启发，如果把原题再配上一项
1
，
就可以进行累加了。
1
?
x
1
1
2
4
2
n
1
解：原式
?
?
< br>?
?
?
?
?
?
2
4
2
n
1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x
< br>1
?
x
2
2
4
2
n
1
?
?
?
?
?
?
?
n
2
2
4
2
1
?
x
< br>1
?
x
1
?
x
1
?
x
1
?
x
---
--------------------------------------------------
----
精品
文档
-----------------------------------
----------------------------------
?
?
?
2
n
?
1
1
?
x
2
n
?
1
< br>?
1
1
?
x
点评：本题通过添项凑出能逐项累加的形式。
6
．配凑法在复数中的应用
b
a
1998
1998
)
＋
(
)
。
a
?
b
a
?
b
a
2
a
< br>a
2
分析
:
< br>把已知式两边同时除以
b
变形为
(
)
＋
(
)<
/p>
＋
1
＝
0
，则
＝
ω
（
ω
为
1
的立
b
b
b
例
.
（高三）设非零复数
a
、
b
满足
a
＋
ab
＋
b
=
0
，求
(
2
2
方虚根）
，再把已知式配方为
(a<
/p>
＋
b)
＝
ab
，把二者代入所求式即可得解。
解法一
:
把
a
＋
ab
＋
b
=0
变形为
(
设
ω
＝
2
2
2
a
2
a<
/p>
)
＋
(
)
＋
1
＝
0
，
b
b
a
1
b
2
3
3
，则
ω
＋
ω
＋
1
＝
0
，可知
ω
为
1
的立方虚根，所以
＝
，
ω
＝
?
＝
1
，
b
?
a
2
2
2
999
又由
a
＋
ab
＋
b
=0 <
/p>
变形得：
(a
＋
b)
＝
ab
，
b
a
a
999
b
999
a
2
999
b
2
999
1998
1998
所以
(
)
＋
(
)
＝
< br>(
)
＋
(
)
＝
(
)
＋
(
)
＝
ω
a
?
b
b
a
a
?
b
ab
ab
＋
＝
2
。
点评：本题通过配
方，简化了所求的表达式；巧用
1
的立方虚根，活用
ω
的性质，计算表达
式中的高次幂。一系列的变换
过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。如果未联想到
?
999
?
?
?
1
?
3
i
，可以用下面的解法：
2
解法二：把
a
＋
ab
＋
b
＝
0
变形为
(
2
2
a
2
a
b
?
1
?
3
i
)
＋
(
)
＋
1
＝
0
，解出
＝
后，化成
b
b
a
2
a
999
b
999
三角形式，代入所求表达式的变形式
(
)
＋
(
)
< br>
，再完成后面的运算。
b<
/p>
a
解法三：假如本题没有想到以上一系列变换过程，还可由
a
＋
ab
＋
b
＝
0
解出
a
＝
2
2
?
1
?
3
< br>i
b
，代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的
三角形式，利用棣莫佛定理完成
2
最后的计算。
7
．配凑法在三角中的应用
x
x
x
sin
x
cos
cos
?
。
x
2
4
8
8
sin
8
x
x
x
x
x
x
< br>x
8
sin
cos
cos
cos
4
sin
cos
cos
8
8
4
2
?
4
4
2
解：左边<
/p>
?
x
x
8
sin
8
sin
8<
/p>
8
例
.
（高一）
求证：
cos
-
-
-
-
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-
-
-
-
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