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高中数学解题基本方法
一、
配
方法
配方
法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已
知和未
知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与
“添
项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未
知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺
xy
项的二
次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式
(a
＋
b)
＝
a<
/p>
＋
2ab
＋
b<
/p>
，将这个
公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a
＋
b
＝
(a
＋
b)
－
2ab
＝
(a
－
b)
＋
2ab
；
2
2
2
2
2
2
< br>2
a
＋
ab
＋
b
＝
(a
＋
b)
－
ab
＝
(a
－
b)
＋
3ab
＝
(a
＋
2
2
2
2
2
2
2
b<
/p>
2
3
2
)
＋（
b
）
；
2
2
1
2
2
2
a
< br>＋
b
＋
c
＋
ab
＋
bc
＋
ca
＝
[(a
＋
b)
＋
(b
＋
c)
＋
(c
＋
a)
]
2
a
＋
b
＋
c
＝
(a
＋
b
＋
c)
－
2(
ab
＋
bc
＋
ca)
＝
(a
＋
b
－
c)
－
2(ab
－
bc
－
ca)
＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1
＋
sin2
α＝
1
＋
2sin
α
cos
α＝（
sin
α＋
cos
α）
；
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
x
＋
2
＝
(x
＋
)
－
2
＝
(x
－
)<
/p>
＋
2
；……
等等。
x
x
x
2
Ⅰ、再现性题组：
1.
在正项等比数列
{a
n
}
中，
a<
/p>
1
?
a
5
+2a
3
?
a
5
+a
3
?
a
7
=25
，则
a
3
＋
a
5
＝
_______
。
2.
方程
x
＋
y
－
4k
x
－
2y
＋
5
k
＝
0
表示圆的充要条件是
_____
。
1
1
A.
1
4
4
或
k>1 C.
k
∈
R D. k
＝
4
或
k
＝
1
4
4
2
2
3.
已知
sin
α＋
cos
α＝
1
，则
sin
α＋
cos
α的值为
______
。
A. 1 B.
－
1 C.
1
或－
1 D. 0
4.
函数
y
＝
lo
g
1
(
－
2
x
＋
5x
＋
3
)
的单调递增区间是
_____
。
2
2
5
1
5
5
A.
（－≦
,
5
4
] B.
[
4
,+
≦
)
C. (
－
2
,
4
] D. [
4
,3)
2
2
2
5.
已知方程
x
+(a-2)x+a-1=
0
的两根
x
1
、
x
2
，则点
P(x
1
,x
2
)
在圆
x
+y
=4
上，则
实数
a
< br>＝
_____
。
【简解】
1
小题：
< br>利用等比数列性质
a
m
?
p
a
m
?
p
＝
a
m
，将已知等式左边后配方
（
a
3
＋
a
5
）<
/p>
易求。答案是：
5
。
2
小题：配方成圆的标准方程形式
< br>(x
－
a)
＋
< br>(y
－
b)
＝
< br>r
，解
r
>0
< br>即可，选
B
。
3
小题：已知等式经配方成
(sin
α＋
cos
α
)
－
2sin
α
cos
α＝
1
，求出
sin
α
cos
α，然后求出所求式的平方值
，再开方求解。选
C
。
4
小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解
。选
D
。
5
小题：答案
3
－
11
。
Ⅱ、示范性题组：
例
1.
已知长方体的全面积为
11
，其
12
条棱的
长度之和为
24
，则这个长方体的一条对
角线长为
_____
。
A. 2
3
B.
14
C. 5
D. 6
【分析】
先转换为数学
表达式：设长方体长宽高分别为
x,y,z
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
2<
/p>
(
xy
?
yz<
/p>
?
xz
)
?
11
,
而欲求对角线长
< br>?
4
(
x
?
y
?
z
)
?
24
?
将其
配凑成两已知式的组合形式
x
2
?
y
2
?
z
2
，
可得。
【解】设长方体长宽高分别为
x,y,z
，由已
知“长方体的全面积为
11
，其
12<
/p>
条棱的长
度之和为
24
< br>”而得：
?
?
2
(
xy
?
yz
?
xz
)
?
< br>11
。
4
(
x
?
y
?
z
)
?
24
?
2
2
2
2
长方体所求对角线长为：
x
?
y
?
z
< br>＝
(
x
?
y
?
z
)
?
2
(
xy
?<
/p>
yz
?
xz
)<
/p>
＝
6
2
?
11
＝
5
所以选
B
。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析<
/p>
三个数学式，
容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，
即联系了已知和未知，
从而求解。
这也是我们
使用配方法的一种解题模式。
例
2.
设方程
x
＋
k
x
＋
2=0
的两实根为
p
、
q
，若
< br>(
取值范围。
【解】方程
x
＋
kx
＋
2=0
的两实根为
p
、
q
，由韦达定理得：
p
＋
q
＝－
k
，
pq
＝
2 ,
2
2
p
2
q
2
)
+(
< br>)
≤
7
成立，求实数
k
的
q
p
p
2
q
2
p
4
?
q
4
(
p
2
?<
/p>
q
2
)
2
?
2
p
2
q
2
[(
p
?
q
)
2
< br>?
2
pq
]
2
?
2
p
2
q
2
(
)<
/p>
+(
)
＝
＝
＝
＝
q
p
(
pq
)
2
(
pq
)
2
(
pq
)
2
(
k
2
?
4
)
2
?
8
≤
7
，
<
/p>
解得
k
≤－
10
或
k
≥
10<
/p>
。
4