-
第二讲
Ⅰ
授课题目（不定积分）
：
§
5.2
凑微分法
Ⅱ
教学目的与要求：
熟练掌握基本的不
定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法”
的一般原
则。
Ⅲ
教学重点与难点：
重点：凑微分法，变量代换法。
难点：凑微分法
,
变量代换法。
Ⅳ
讲授内容：
一、
凑微分法
利用基本性质和基本积分公
式，
可以解决一些较为简单的函数的积分问题。
但是，
很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。
例
1
求
?
cos
2
x
d
x
这个不定积分不直接在表
.5.1
中，因为
cos
2
x
不是
sin
2
< br>x
的导数。
解
因为
(
sin
2
x
)
?
?
2
cos
2
x
而
(<
/p>
sin
2
x
)<
/p>
?
?
cos
2<
/p>
x
，
2
1
所以
?
cos
2
xdx
?
解
1
2
sin
2
x
?
c
。
例
2
求
?
3
sin(
4
x
)
dx
[cos(
4
x
)
]
?
?
?
4
sin(
4
x
)
?
(
?
?
(
?
3
4
cos(
4
x
))
?
3
sin(
4
x
)
1
4
cos(
4
x
)
)
?
?
sin(
4
x
)
按照等价命题
?
3
sin(
4
x
)
dx
?
?
例
3
求
?
2
t
?
1
dt
这样想：
?
?
3
3
3
4
cos(
4<
/p>
x
)
?
c
?
?
3
2
3
2
t
?
1
，联想到
?
u
2
?
3
2<
/p>
u
?
(
2
3
u
)
?
?
3
?
?
u
?
u
，再想到
(
u
)
?
?
(<
/p>
u
2
)
?
?
如果
u
?
2
t
?
1
(
2
3
< br>(
2
t
?
1
)
)
?
?
1
3
3
3
2
t
?
1
?
(
2
t
?
1
)
?
< br>?
2
2
t
?
1
(
2
t
?
1
)
)
?
?
2
t
?
1
?
(
最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到
?
2
t
?
1
dt
?
1
3
(
2
t
?
1
)
?
c
。
3
在以上的例子中，基本想法是找
F
使
f
?
F
?
具体做法是利用链法则，按
f
的具
体情况凑出了
F
。
这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，
或叫换元法
（
integration
by
substitution
）
例
4
求
?
2
x
1
?
x
2
dx
如果我们能想到
2
x
?
(
1
?
x<
/p>
2
)
?
和
f
(
u
)
?
那么这个不定积分就可以看作
?
2
x
1
?
x
2
dx
?
如果
F
是
f
的反导数，根据链法则
d
dx
F
(
g
(
x
))
?
f
(
g
(
x
< br>))
g
?
(
x
)
2
2
u
,
u
?<
/p>
g
(
x
)
?
(
1
?
x
),
?
f
(
g
(
x
))
g
?
(
x
)
dx
所以，将
u
看作是
1
?
x
，
由于
?
f<
/p>
(
u
)
du
?
就可以得到
?
2
x
1
?
x
dx
?
2
?
u
du
?<
/p>
2
3
3
u
2
?
c
2
3
2
(
1
?
x
)
3
?
c
2
还可以通过求导数来验证结果是正确的。
把上面的思路理清楚：
如果<
/p>
F
是
f
的反导数，而
u
?
g
(
x
)
是某个
可导函数，那
么根据链法则
d
du
du
F
(
u
)
?
F
?
(
u
)
?
f
(
u
)
dx
dx
dx
或者
?
< br>f
(
u
)
例
5
求
?
2
x
3
?
x
2
du
dx
dx
?
F
(<
/p>
u
)
?
c
?
?
f
(
u
)
du
，
dx
?
解
2
x
3
?
x<
/p>
2
dx
?
?
1
3
?
x
3
2
2
xdx
3
?
x
2
?
u
?
1
< br>u
du
?
2
u
?
c
?
2
3
?
x<
/p>
?
c
注意运算中的一个细节：
2
xdx
?
d
(
x
2
)
,
知道这一点非常重要。在凑微分的过程
中，下面这些
微分等式至关重要。
dx
?
1
1
1
2
2
3
d
(
< br>ax
?
b
),
< br>a
?
0
；
xdx
?
d
（
（
a
?
x
）
）
;
x
dx
?
d
（
（
a<
/p>
?
x
））
；
a
2
3
1
x
dx
?
d
(ln
x
)
；
cos
xdx
?
d
(sin
x
)
；
1
x
x
dx
?
d
(
2
x
?
a
)
；
x
e
dx
?
d
(
e
)
；
1
1
?
x
2
dx
?
d
(arctan<
/p>
x
)
；
1
1
?
x
2
dx
?
d
(arcsin
x
)
；
它们就像建筑中的模块，
在凑微分过程中
起到重要作用。
可以总结一些常见的凑
微分公式如下（表
5.2
）
。
表
5.2
被积分表达式中含有
凑微分法
dx
?
1
a
d
(
ax
?
b
),
(
a
?
0
)
?
f
(
ax
?
b<
/p>
)
dx
?
1
2
?
a
1
1
f
(
ax
?
b
)
d
(
ax
?
b
< br>),
(
a
?
0
)
xdx
?
2
d
（
x
）
?
f
(
x
)
xdx
?
1
3
d
（
x
）
?
f
(
x
)
< br>x
dx
?
3
3
2
2
2
?
2
?
3
1<
/p>
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
3
3
2
2
x
dx
?
??
x
1
x
?
?
1
dx
?
1
?
d
(
x
)(
?
?<
/p>
0
)
?
f
(
x
)<
/p>
x
?
?
?
?
1
dx
?
?
?
1
f
(
x
)
dx
(
?
?
0
)
?
?
dx
?
d
(ln
x
)
?
f
(ln
x
)
1
x
dx
?
?
f
(ln
x
)
d
(ln
x
)
cos
x
dx
?
d
(sin
x
)
?<
/p>
f
(sin
x
)
cos
xdx
?
?
f
(sin
x
)
d
(sin
x
< br>)
sin
xdx
?
?
d
(cos
x
)
?
f
(cos
x
)
sin
xdx
?
?
?
f
(cos
x
)
d
(cos
x
)
sec
2
xdx
?
d
(tan
x
)
?
f
(tan
x
)
sec
2
2
xdx
?
dx
?
?
f
(tan
x
)
d
(tan
< br>x
)
f
(arctan
x
)
d
arctan
x
1
1
?
x
1
dx
?
d
(arctan
x
)
?
f
(arctan
x
< br>)
1
1
?
x
1
2
?
1
?
x
2
dx<
/p>
?
d
(arcsin
x
)
?
f
(arcsin
x
)
2
1
?
x
2
dx
?
?
f
(arcsin
x
)
d
arcsin
x
例
6
求
?
sin
解
因为
sin
x
dx
< br>
xdx
?
1
< br>?
cos(
2
x
)
2
2