-
江苏省扬州中学
2019
届高三
数学理
I
试题
注意事项：
1
．本试卷共
160
分，考试时间
12
0
分钟；
2
．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；
3
．答题时必须使用
0.5
毫米黑色签字笔书写，作图可用
2B
铅笔．
一、填空题
（本大题共
14
小题，每小题
5
分，共
70
分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．
）
1.
设集合
A
?
x
?
Z
|
x
2
?
2
x
?
3
?
0
，
B
?
?
?
1,0,1,
< br>2
?
，则
A
I
B
?
.
?
?
1
对应的点位于第
象限
.
1
?
i
3.
“
a
?
b
”是“
ln
a
?<
/p>
ln
b
”的
条件
.
(
填
:
充分不
必要，必要不充分
,
充分必要
,
既不充分也不必要
)
2.
在复平面内，复数
4
．将某选手的
7
个得分去掉
1
个最高分，去掉<
/p>
1
个最低分，现场作
< br>的
7
个分数的茎叶图如图，则
5
个剩余分数的方差为
.
4
5<
/p>
．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作
4
个
社团中随机选择
2
个，则数学建模社团被选中的概率为
_________.
6.
执行如图所示的程序框图，输出
的
s
值为
.
<
/p>
7.
已知焦点在
x
轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为
标准方程为
.
8
．已知
圆柱的上、下底面的中心分别为
O
1
，
O
2
，过直线
O
1
O
2
的平
面截该圆柱所得的截面是面积为
16
的
正方形，则该圆柱的表面积为
.
p
，且其
焦点到渐近线的距离为
2
，则该双曲线的
6
u
u
u
r
u
u
u
r
9.
设四边形
A
BCD
为平行四边形，
AB
?
6
，
AD
?
4
．若点
M
,
N
满足
u
u
u
u
r
< br>u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
BM
?
3
MC
，
DN
?
2
NC
，则
AM
?
NM
?
．
10.
若
f
(
x
)
?
cos
x
?
sin
x
在
[
?
a
,
a
]
是减函数，则
a<
/p>
的最大值是
．
?
e
x
，
x
?
0
，
g
(
x
)
?
f
< br>(
x
)
?
x
?
a
．若
g
（
x
）存在
2
个零点，则
a
的取值范围
11.
已知函数
f
(<
/p>
x
)
?
?
?
ln
x
，
x
?
0
，
是
．
12<
/p>
．已知公差为
d
的等差数列
{
a
n
}
< br>满足
d
?
0
，且
a
2
是
a
1
、
a
4
的等比中项；记
b
n
< br>?
a
2
(
n
?
N
*)
，则对任意的
n
正整数
n
均有
1
1
1
?
?
???
?
?
2
，则公差
d
的取值范围是
．
b
1
b
2
b
n
13.
已
知
点
Q(0,5)
，若
P,R
分
别
是
e
O:
x
2
?
y
2
?
4
和
直
线
y
?
为
．
u
u
u
r
u
u
u
r
3
x
上
的
动
点
< br>，
则
QP
?
QR
的
最
小
值
4
14.
用
max
{
a
,
b
,
c
}
表示
a
,
b<
/p>
,
c
中的最大值
,
已知实数
x
,
y
满足
0
?
x
?
y
?
1
，
设
M=<
/p>
max
{
xy
,
xy
?
x
?<
/p>
y
?
1
,
x
?
y
?
2
xy
}
,
则
M
的最小值为
．
二、解
答题
（本大题共
6
小题，共计
90
分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过<
/p>
程或演算步骤．
）
15.
已知角
α
的顶点与原点
O
重合，始边与
x<
/p>
轴的非负半轴重合，它的终边过
3
4
点
P
（
?
，
-
）．
5
5
（
1
）求
tan
2
?
的值；
（
2
）若角
β
满足
sin
（
α
+
β
）
=
16.
如图，在斜三棱柱
ABC
?
A
1
B
1
C
1
中，侧面
AAC
1
1
C
是菱形，
AC
1
与
A
1
C
交于点
O
，
E
是棱
AB
上一
点，且<
/p>
OE
//
平面
B
CC
1
B
1
.
（
1
）求证：
E
是
AB
的中点；
（
2
）若
AC
1
?
A
1
B
，求证
:
AC
1
?
CB
.
5
，求
cos
β<
/p>
的值．
13
x
2
y
2
6
17.
已知椭圆
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)<
/p>
的离心率为
，
以椭圆的
< br>2
个焦点与
1
个短轴端点为顶点
的三角形的
3
a
b
面积为
2
2
。
（
1
）求椭圆的方程；
（
2
）如图，斜率为
k
的直线
l
过
椭圆的右焦点
F
，且与椭圆交与
A
，
B
两点，以线段
AB
为直径的圆截直
线
x
?
1
所得的弦的长度为
5<
/p>
，求直线
l
的方程。
18
、
如图
（
1
）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和
安全方面的原因，初步设计方案如
下：如图（
2
）
，自直立于水面的空中平台
CP
的上端点
P
处分别向水池内的三个不同方向建水滑道
0
水滑道的下端点
B
,
M
,
A
在同
一条直线上，
CM
?
10
m
,
?
BCA
?
120
，
CM
平分
?
BCA
，
PA
,
PM
,
PB
，
假设水滑梯的滑道可以看成线段，
B
,
M
,
A
均在过
C
且与
PC
垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要
求
S
?
PCB
?
S
?
PCA
?
2
S
?
AC
B
.
（
1
）
求滑梯的高
PC
的最大值；
（
2
）
现在开发商考虑
把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，
且为保证该项目的趣味性，
设计
?
PBC
?
30
，
求该滑梯装置（即图（
2<
/p>
）中的几何体）的体积最小值
.
图（
1
）
<
/p>
0
图（
2
）
19.
已知函数
f
(
x
)
?<
/p>
ax
3
?
bx<
/p>
2
?
cx
?
d
(
a
、
b
、
c
、
d
?
R
)
< br>，设直线
l
1
、
l
2
分别是曲线
y
?
f
(
x
)
的
两条不同的切线；
（
1
）若函数
f
(
x
)
为奇函数，且当
x
?
1
时，
f
(
x
)
有极小值为<
/p>
?
4
；
(
i
)
求
a
、
b
、
c
、
d
的值；
(
ii
)
< br>若直线
l
3
亦与曲线
y
?
f
(
x
)
相切，且三条不同的直线
l
1
、
l
2<
/p>
、
l
3
交于点<
/p>
G
(
m
,
4)
，求实数
m
的取值范围；
（
2
）若直线
l
1
< br>/
/
l
2
，直线
l
1
与曲线
< br>y
?
f
(
x
)
切于点
B
且交曲线
y
?
f
(
x
)
于点
D
，直线
l
2
与曲线
y
?
f
(
x
)
切于点
记点
A
、
B
、
C
、
D
的横
坐标分别为
x
A
、
x
B
、
x
C
、
x
D
，<
/p>
求
(
x
A
?
x
B
)
:
(
x
B
?
x
C
)
:
(
x
C
?
x
D
)
的<
/p>
C
且交曲线
y
?
f
(
x
)
于点
A
，
值．
20.
如果数列
?
a
n
?
满足“对任意正整数
i
,
j
,
i
?
j
，都存在正整数
k
，使得
a<
/p>
k
?
a
i
a
j
”
，则称数列<
/p>
?
a
n
?
具有
“性质
P
”
.
已知数列
?
a<
/p>
n
?
是无穷项的等差数列，公差为
d
（
1
）若
a
1
=2
，公差
d
=3
，判断数列
?
a
n
?
是否具有“性质
P
”
，并说明理由；
（
2
）若数列
?
a
n
?
具有“性质
P
”
，求证：
a
1
?<
/p>
0
且
d
?
0
；
（
3
）若数列
?
a
n
?
具有“性质
P
”
，且存在正整数
k
，使得
a
k
?
2018
，这样的数列共有多少个？并说明理
由
.
数学
II
试
题（附加题）
1.
已知矩阵
A
?
?
2.
在平面直角坐标系
xOy
中
,
直线
l
的参数方程为
(t
为参数
),
圆
C
的参数方程是
(θ
为
?
2
1
?
?
10
?
2
a
，向量
．求向量
，使得
A
a
?
b
．
b
?
?
?
?
?
0
1
?
?
2
?
参数
),
直线
l
与圆
C
交于两个不同的点
A
、<
/p>
B,
点
P
在圆<
/p>
C
上运动
,
求<
/p>
△
PAB
面积
的最大值
.
3.
如图，
在四棱锥
P
?
ABCD
中，
PA
?
平面
ABCD
，<
/p>
?
ABC
?
?<
/p>
BAD
?
90
?
，
AD
?<
/p>
AP
?
4
，
AB
?
BC
?
2
，
M
为
PC
的中点．
（
1
）求异面直线
AP
，
BM
所成角的余弦值；
（
2
）点
N
在线段
AD
上，且
AN<
/p>
?
?
，若直线
M
N
与平面
PBC
所成角的正弦值为
B
A
N
D
M
P
4
，求
?
的值．
5
C
（第
3
题）
4.
如图，将一个正三角形
ABC
的每一边都
n
(
n
?
2)
等分后，过各分点作其它两边的
平行线
形成一个三角形
网
.
记
f
(
n
)
为
n
等分后图中所有梯形的个数
.
（
1
）求
f
(2),
f
(3)
的值；
（
2
）求
f
< br>(
n
)
(
n
?
4)
的表达式
< br>.
答案
5
x<
/p>
2
y
2
1.
?
0,1,2
?
2
．
一
3.
必要不充分条件
4.
6.
5.
0.5
6.
7.
-
=
1
6
12<
/p>
4
8.
24
p
9
．
9
10.
1
π
4
11.
?
?
1,
??
?
12.
d
?
[
,
?
?<
/p>
)
．
13.
6
14.
2
9
4
15
解答：
（
1
）
tan
?
?
4
2
tan
?
24
.
?
?
，
tan
2
?
?
2
3
1
?
t
an
?
7
（
2
）∵
?
?
(<
/p>
?
?
?
)
?
?
，∴
cos
?
?
cos[(
?
?
?
)
?
?
]
，
5
12
∵
sin(
?
?
?
)
?
，∴
cos(
?
?
?
)
?
?
，
13
13
4
3
又∵
sin
?
?
?
，且
?
终边在第三象限，∴
cos
?
?
?
.
5
5
12
①当
cos(
?
?
< br>?
)
?
时，
13
cos
?
< br>?
cos(
?
?
?
)cos
?
?
sin(
?
?
?
)sin
?
12
3
5
4
?
36
?
20
56
?
?
(
?
)
?
?
(
< br>?
)
?
?
?
.
13
5
13
5
65
65
12
②当
cos(
?
?
?
)
?
< br>?
时，
13
< br>cos
?
?
cos(
?
?
?
)cos
?
?
sin(
?
?
?
)sin
?
12
3
5
4
16
.
?
(
?
)
?
(
?
)
?
?
(
?
)
?
13
5
13
5
65
16.
x
2
y
2
6
18
（
1
）由椭圆
2
?
2
?
1
?
a
?
b
?
0
?
< br>的离心率为
，
3
a
b
6
3
< br>a
，
b
?
a
….…
….….….….….….….….…2
分
< br>得
c
?
3
3
1
2
2
a
?
2
2
得
a
?
6
，
….….….….….….…4
分
<
/p>
由
S
?
?
2
c
?
b
?
2
3
b
?
2
，
….….….….….….…5
分
<
/p>
x
2
y
2
?
?
1
．
….….….….….….…6
分
<
/p>
所以椭圆方程为
6
2
（
2
）解：设直线
l
AB
:
y
?
k
?
x
?
2
?
，
A
?
x
1
,<
/p>
y
1
?
，
B
?
x
2
,
y
2
?
，
AB
中点
M
?
x
0
,
y
0
?
．
?
?
y
?
k
?
x
?
2
?
2
2
2
2
联立方程
?
得
1
?
3
k
x
?
12
< br>k
x
?
12
k
?
6
?
0
，
2
2<
/p>
?
?
x
?
3
y
?
6
?
0
12
k
2
12
k
2
?
6
x
1
?
x
2
?
,
x
1
x
2<
/p>
?
.
….….….….…8
分
2
2
1
?
3
k
1
?
3
k
?
?
AB
?
1
?<
/p>
k
2
?
x
1
?
x
2
?
2
6
?
?
1
?
k
2
?
1
?
3
k
2
．
….….….….…10
分
6
k
2
所以
x
0
?
，
1
?
3
k
2
3
k
2
?
1
6
k<
/p>
2
?
1
?
点
M
到直线
x
?
1
的距离为
d
?
x
0
?
1
?
．
.….….…1
2
分
2
2<
/p>
1
?
3
k
1
?
3
k
由以线段
AB
为直径的圆截直线
< br>x
?
1
所得的弦的长度为
5
得
2
2
?
5
?
?
AB
?
2
< br>?
?
?
d
?
?
?
2
?
?
2
?
?
?
?
解得
k
?
?
1
，
?
6
?
?
1
?
k
2
?
?
?
3
k
< br>2
?
1
?
2
?
5
?
2
?
?
?
?
?
，所以
?
，
?
2
2
?
?
?
1
?
3
k
1
< br>?
3
k
2
?
?
?
?
?
?
?
?
2
所以直线
l
的方
程为
y
?
x
?
2
或
y
?
?
x
?
2
．
….….….….….….….….….…1
4
分
18.
19.
解析
：
（<
/p>
1
）
(
i
)
本小题：紧扣定义，用好条件，注意检验．
∵
f
(
x
)
是奇函数，且
x
?
R
；∴
f
(
0)
?
d
?
0
，且
?
a
3<
/p>
?
bx
2
?
cx
?
?
a
3
?
bx
2
?
cx
即
b
?
0
；
∴
f
(
x
)
?
ax
3
?
cx
；∴
f
'(
x
)
?
3
ax
2
?
c
，而当
x
?
1
时有极小值
?
4
；
…………………
2
分
?
f
'(1)
?
0<
/p>
?
3
a
?
c
?
0
?
a
?
2
?
?
?
?
?
f
(
x
)
?
2
x
3
?<
/p>
6
x
；
……………………
4
分
∴
?
?
f
(1)
?
?
4
?
a
?
c
?
?
4
?
c
< br>?
?
6
经检验
< br>f
(
x
)
?
2
x
3
?
6
x
满足题意，则
a
?
2
、
b
?
0
、
c<
/p>
?
?
6
、
d
?
0
．……………
………
5
分
(
ii
)
本小
题：三次函数的切线处理方法要洞明．
3
2
?
6
x
0
，
f
'(
x
0
)
?
6
x
0
?
6
；
设
P
(
x
0
,
< br>y
0
)
是曲线
< br>y
?
f
(
x
)
上的一点，由
(
i
)
知：
y
< br>0
?
2
x
0
2
2
3
?
6)(
x
?
x
0
)
，消去
y
0
即得：
y
?
(6
x
0
?<
/p>
6)
x
?
4
x
0
∴过
P
点的切线方程为：
y
?
y
0
?
(6
x
0
；
由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；
又由奇函数性质可知：点
P
,
4)
是极大值点；从而
l
3
:
y
?
4
是一条切线且过点
(
m
,
4)
；
3
(
?
1
再设另两条切线的切点为
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，其中
x
1
?
x
2
?
?
1
；
1
(
x
1
,
y<
/p>
1
)
、
P
2
3
?
6)
x
?
4
x
2
则可令切线
l
1
:
y
?
(6
x
1
2
?
6)
x
?
4
< br>x
1
3
，
l
2
:
y
?
(6
x
2
；<
/p>
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：上海市2017学年七年级上学期期末英语试题
下一篇：沪教版八年级英语上册知识点整理