-
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
孙季华
（莆田学院数学系
指导老师：杨忠鹏）
摘要：
本文主要从胡付高
[1]
的一个定理出发，把定理的条件加以弱化，推导出更一般的关于多项式矩阵
秩恒等式
的结论，利用矩阵的秩和线性变换的秩关系简单的证明了线性变换在互素多项式下直和分解的结
< br>论，同时对
[5]
的一个猜想给出了证明。
关键词
：
互素
线性变换
直和
核
二次矩阵
Abstract
：
This
paper deduces a more general conclusion about rank
identities of the polynomial matrix, which
is based on a theorem of hu the
condition of the theorem has been ing to the
relations
between
the
rank
ot
the
matrix
and
the
rank
of
the
linear
transformation,the
conclusions
of
the
direct
sum
decomposition
of
the
linear
transformation
under
the
relatively
prime
polynomials
has
been
proved
me the conjecture of the literature[5]
has been proved.
Keywords:
relatively prime
linear transformation
direct sum
nucleus
quadratic matrix
0
符号说明及引言
矩阵的秩的研究是高等代数的一个重要内容，本文在参考
文献
[1]
的一个定理出发对多
项式矩
阵的秩做进一步的讨论，
结合矩阵的知识，
分块的初等变换法得
到一个更为精确的结
论，
本文更重要的是利用矩阵和线性变换的
秩关系，
从而更加简单的证明了线性变换在互素
多项式下直分解
的结论，并加以推广得到相关的结果，本文进一步对文献
[5]
的一个尚未解
决的猜想给以提出来并加以证明。
用
P
表示数域
P
?
x
?
、
P
n
?
n
分别表示数域
P
上一元多项式和
n
阶矩阵的集合，
r
?
A
?
表<
/p>
示矩阵
A
的秩，
E
表示单位矩阵，
约定
d
?
x
?
?
< br>f
?
x
?
,
g
?
x
?
与
m
?
x
?
?
?
?
f
?
x
?
,
g
?
x
< br>?
?
?
分别
表示首项系数为
1
的最大公因式和最小公倍式。
M
n
表示复数域
C
上所有
n
阶矩阵的集合，
?
?
?
表示线性变换，
ker
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
< br>?
0
?
，
im
?
表示线性变换
?
的值域，
dim
?
表示
?
的维数。
一．
预
备定理
我们首先引入本论文用到的基本定理
引理
1.1
（
见
[10]
，第
16
页
）
P
?
x
?
中的两个多项式互素的充分必要条件是存在
P
?
x
?
中的
多项式
u
?
x
?
,
v
?
< br>x
?
使
u
?
x
?
f
?
x
?
?
v
?
x
?
g
?
x
?
?
1
。
引理
1.2
（见
[10]
，第
48
页）设
A
?
P
n
?
n
，
< br>f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
P
?
x
?
首项系数都为
1
则
1
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
f
?
x
?
g
?
x
?
?
d
?
x
?
m
?
x
< br>?
引
理
1.3
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,
h
?
x
?
?
< br>P
?
x
?
，
?
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
?
1
，
?
f
?
x
?
,
< br>h
?
x
?
?
?
1
则
?
f
?
x
?
,
g
?
x
?
h
?
x
?
?
?
1
< br>
证
明
：
由
引
理
1
.1
可
知
，
存
在
多
项
式
u
1
?
x
x
,
u
?
,
v
?
1
< br>?
?
2
使
x
得
,
?
2
v
?
?
x
?
?
P
?
x
u
1
?
x
?
f
?
< br>?
x
?
1
?
v
?
x
?
g
?
?
x
1,
?
?
?
x
?
2
u
f
?
?
x
2
将上面两式相乘得
v
?
x
?
1
h
x
?
?
?
?
u
1
< br>?
x
?
u
2
?
x
?
f
?
x
?
?
v
1
?
x
?
u
2
?
x
?
g
?
< br>x
?
?
u
1
?
x
?
v
2
?
x
?
h
?
x
?
,
u
2
?
x
?
f
?
< br>x
?
?
v
2
?
x
?
h
?
x
?
?
?
f
?
x
?
?
?
?
v
1
?
x
< br>?
v
2
?
x
?
?
?
g
?
x
?
h
?
x
?
?
1
再由引理
1.1
得<
/p>
f
?
x
?
,
g
?
x
?
h
?
x
?
?
1
?
?
引
理
1.4
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
P
?
x
?
，
则
?
f
?
< br>x
?
,
g
?
x
?
?
?
1
?
?
m
,
n
?
Z
?
f
?
x
?
,
g
< br>?
x
?
?
?
1
其
中
m
n
2
证明：
?
由引理
1.3
，
，
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
1
，
f
?
x
?
,
g
?
x
< br>?
?
1
?
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
1
反复
n
引用引理
1.3
可得
f
?
x
?
,<
/p>
g
?
x
?
?
1
。在反复引用引理
1.3
可得
f
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
x
?
,
g
?
x
?
?
?
1
m
n
?
因
为
?
f
?
x
?
,<
/p>
g
?
x
?
?
?
1
，
由
引
理
m
n
1.1
存
在
u
?
x
?
,
v
?
?
x
?
，
使
得<
/p>
?
P
?
x
m
?
1
n
u
?
x
?
f
m
?
x
?
?
v
?
x
?
g
n
?<
/p>
x
?
?
1
，即
?
?
u
?
x
?
f
?
x
?
?
< br>?
f
?
x
?
?
?
?
v
?
x
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
1
再由引
理
1.1
得
f
?
x
?
,
< br>g
?
x
?
?
1
?
?
引
理
1.5
知
f
1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,...,
f
t
?
x
?
?
P
?
x
?
，
f
< br>1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,...
f
t
?
x
?
两<
/p>
两
互
素
且
f
?
x
?
?
f
1
?
x
?
f
2
?
x
?
...
f
t
?
x
?
，
令
g
i<
/p>
?
x
?
?
f
1
?
x
?
f
?
2
x
?
?
f
i
?
?
x
?
f
t
?
x<
/p>
?
，
1
f
i
?
?
x
?
..
1
i
?
1,
2,
?
t
，则
?
g
1
?
x
?
,
g
2
?
x
?
,...
g
t
?
x
?
?
?
1
证
明
：
设
?
g
?
x
?
,
g
?
x
< br>?
,...
g
?
x
?
?
?
d
?
x
?
1
2
t
~
，<
/p>
只
需
证
明
d
?
x
?
?
1
即
可
，
则
g
i
?
x
?
?
d
i
?
x
?<
/p>
g
i
?
x
?
,
i
?
1,2...
t
因
为
f
1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,...
f
t
?
x
?
两
两
互
素
根
据
引
理
1.3
得
~
?
?
f
1
?<
/p>
x
?
,
f
2
?
x
?
f
3
?
x
?
...
f
t
?
x
?
?
=
?
f
1
?
x
?
,
g<
/p>
1
?
x
?
?
?
1
，
即
?
f
1
?
x
?
,
d
?
x
?
g
1
?
x
?<
/p>
?
?
?
1
，
所
以
?
?
~
?
?
f
x
,
g
x
?
?
?
?
1
?
1
?<
/p>
?
1
?
?
?
f
?
x
?
,
d
?
x
?
?
?
1
i
?
f
?
x
?
,
d<
/p>
?
x
?
?
?
1
i
且
同
理
2
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
~
?
?
f
i
?
x
?
,
g
i
?
x
?
?
?
< br>1
?
f
i
?
x
?
,
d
?
x
?
?
?
1
，
?
f
i
?
x
?
,
g
i
< br>?
x
?
?
?
?
1
i
?
1,
2...
t
，
又
引
里
1
.3
得
?
?
?
d
?
x
?
,
f
?
x
?
f
?
x
?
...
f
?
x
?
?
?
< br>1
1
2
t
i
i
，
因
为
f
i
?
x
?
g
i
?
x
?
?
f
?
x
?
i
< br>i
，
，
所
以
?
d
?
x
?
,
f
?
x
?
g
?
x
?
?
?
1
，
i
?
< br>1,
2...
t
，
?
?
d
?
< br>x
?
,
f
?
x
?
?
?
1
,
?
d
?
x
?
,
g
?
x
?
?
?
1
,
< br>i
?
1
,2...
t
~
?
< br>?
~
~
?
?
n
?
?
d
?
x
?
,
g
1
?
x
?
g
2
?
x
?
...
g
t
?
x
?
< br>?
?
1
?
?
d
?
x
?
,
d
?
x
?
g
1
?
x
?
g
2
?
x
?
....
g
t
?
x
?
?
?
1
显
然
?
?
?
?
?
?
~<
/p>
?
?
~
~
?
?
n
d
x
,
d
x
g
x
g
x
....
g
x
?
< br>?
1
?
?
2
?
?
t
?
?
?
?
d
?
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>故
d
?
x
?
?
1
所
以
?
g
?
x
?
,
g
?
x
?
,...
g
?
x
?
?
?
1
。
1
2
t
引
理
1.6
V
1
,
V
2
,..,
< br>V
t
是
V
的
一
些
子
空
间
，
W
?
?
V
,
i
?
1
,2,...
t<
/p>
i
，
dim
?<
/p>
W
?
?
?
dim
?
V
i
?
,
i
?
1
,2...
t
，则
W
?
?
V
i
,
i
?
1
,2..
t
是直和。
证明：
?
i
,1
?
i
?
t
，都有
dim(
V
i
?
(
V
1
?
?
?
V
i
?
1
?
V
i
?
< br>1
?
?
V
t
))
?
dim(
V
i
)
?
dim(
V
1
?
?
?
V
i
?
1
?
V<
/p>
i
?
1
?
?
V
t
)
?
dim(
V
1
?
V
2
?
?
?
V
t
< br>)
?
0
于是
V
i
?
(
V
1
?
?<
/p>
?
V
i
?
1
?
V
i
?
1
?
?
V
t
)
?
{0},
?
i
?
< br>1,2,
?
,
t
。
?
零向量表示法唯一，若零向
量表示法不唯一则有
0
?
?
1
?
?
?
?
i
?
?
< br>?
?
t
?
j
?
V
j
(
j
?
1
,2,
?
,
t
)
?
?
i
?
0
。于是
?
?
i
?
?
1
?
?
< br>?
?
i
?
1
?
?
i
?
1
?
?
?
t
?
V
i
?
(
V
1
?
?
?
V
< br>i
?
1
?
V
i
?
1
?
?
V
t
)
V
i
?
(
1
?
?
?
V
?
?
?
< br>这
与
?
i
?
1
?
V
?
)
1
?
i
矛盾
V
?
{
0
V
}
,
i
t
所以零向量的表示
法是唯一的，
1
t
,
< br>由直和的定义推出
W
?
V
1
?
V
2
?
?
?
V
t
引理
1.7
设
?
是
n
< br>维线性空间
V
的线性变换，则
?
?
V
?
的一组
基的原像及
?
?
1
?
0
?
的一组
?
1
基合起来就是
V
的一组基，且有
dim
?
?
V
?
?
dim
?
?
0
?
?
n
?
?
?
?
二．主要结果<
/p>
定理
2.1
设
f
1
?
x
?
,
f
2
(
x
),
f
3
(
x
),
f
4
(
x
< br>)
?
P
?
x
?
,
A
?
P
n
?
n
,
且
?
f
1
?
x
?
,
f
4
?
< br>x
?
?
?
1
，则
3
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
r
?
f
1
?<
/p>
A
?
f
2
?
A
?
?
?
r
?
f
3
?
A
?
f
4
?
A
?
?
?
r
f<
/p>
1
?
A
?
f
4
?
A
?
m
?
f
2
?
A
?
,
f
3
?
A
?
?
?
r<
/p>
d
?
f
2
?
A
?
,
f
3
?
A
?
?
证明
:
设
f
2
?
A
?
?
d
?
A
?
g
?
A
?
,
f
< br>3
?
A
?
?
d
?
A
?
h
?
A
?
,
g
?
x
?
,
h
?
x
?
?
P
< br>?
x
?
因为
f
1<
/p>
?
x
?
,
f
4
?
x
?
?
1
，
f
2
?
x
?
,
f
3
?
x
?
?
d<
/p>
?
x
?
所以
f
1
?
x
?
f
2
?
x
?
,
< br>f
3
?
x
?
f
4
?
x
?
?
d
?
x
?
（
1.1
）
（
1.2
）
（
1.3
）
（
1.4
）
（
1.5
）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
?
x
?
?
u
< br>?
x
?
f
2
?
x
?
f
1
?
x
?
?
v
?
x
?
f
3
?
x
?
f
4
< br>?
x
?
，
u
?
x
?
,
v
?
x
?
?
P
?
x
?
d
?
A
?
?
u
< br>?
A
?
f
2
?
A
?
f
1
?
A
?
?
v
?
A
?
f
3
?
A
?
f
4
< br>?
A
?
0
?
?
做分块的初等变换
f
3
?
A
?
f
4
?
A
?
?
?
f
1
?
A<
/p>
?
f
2
?
A
?
由试（
1.1<
/p>
）
~
（
1.5<
/p>
）对矩阵
?
0
?
E
0
?
?
E
v
?
A
?
?
?
f
1
?
A
?
< br>f
2
?
A
?
?
?
?
f
A
h
A
0
?
?
?
?
0
E
?
?
?
4
?
?
< br>?
?
?
?
0
E
0
?
?
0
0
?
?
E
u
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>f
3
?
A
?
f
4
?
A
?
?
?
E
?
?
?
f
1
?
A
?
g
?
A
?
< br>E
?
?
?
E
?
0
E
?
0
?
?
=
E
0
?
?
f
1
?
A
?
f
2
?
< br>A
?
v
?
A
?
f
3
?
A
?
f
4
?
A
?
?
u
?
A
?
f
1
?
A
< br>?
f
2
?
A
?
?
?
E
0
?
?
0
?
?
?
?
?
f
A
h
A
0
?
?
< br>?
?
0
f
3
?
A
?
f
4
?
A
?
?
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f
< br>1
?
A
?
g
?
A
?
E
?
?
?
E
E
?
0
?
?
=
?
?
E
?
?
< br>f
4
?
A
?
h
?
A
?
0
?
?
f
1
?
A
?
f
2
?
A
?
?
0
?
< br>0
?
?
E
0
?
?
0
d
?
A
?
?
?
?
?
?
f
3
?
A
?
f
4
?
< br>A
?
?
?
?
f
1
?
A
?
g
?
A
?
E
?
?
?
?
E
E
?
=
0
?
?
E
?
?
0
?
f
1
?
A
?
f<
/p>
2
?
A
?
?
?
?
?
f
1
?
A
?
f
2
?
A
?
f
4
?
A
?
h
?<
/p>
A
?
=
?
E
0
?
?
0
d
?
A
?
?
?
?
?
?
f
3
?
A
?
f
4<
/p>
?
A
?
?
f
4
?
A
?
h
?
A
?
d
?
A
?
?
?
?
f
1
?
A
?<
/p>
g
?
A
?
E
?
?
?
?
E
E
0
?
?
0
f
1
?
A
?
f
2
?
A
?<
/p>
d
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
f
A
g
A
E
?
f
A
f
A
f
A
h
A<
/p>
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
4
?
?
?
E
?
1
?
?
?<
/p>
E
?
0
?
?
E
?
?
0
?
?
f
1
?
A
?
f
2
?
A
?
?
f<
/p>
1
?
A
?
g
?
A
?
d
?
A
?
d
?
A
?
?
?
0
=
?
?
?
?
f<
/p>
A
f
A
f
A
h
A
0
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
4
?
?
?
?
E
=<
/p>
?
0
d
?
A
?
?
?
0
?
?
?
f
A
f
A
f
A
h
A
0
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
2
4
?
1
?
?
?
E
?
?
?
f
1
?
A
?
f
2
?
A<
/p>
?
f
4
?
A
?
h
?
A
?
?
0
E
?
?
0
?
?
d
?
A
?
=
?<
/p>
?
0
则
r
f
1
?
A
?
f
2
?
A
?
?
r
f
3
?
A
?
f
4
?
A<
/p>
?
?
r
f
1
?
A
?
f
2
?
A
?
f
4
?
A
?
h
?
A
?
?
r
d<
/p>
?
A
?
又引理
1.2
知
f<
/p>
1
?
A
?
f
2
?
A
?
f
4
?
A
?
h
?
A
?
=
f
1
?
A
?
f<
/p>
2
?
A
?
m
f
2
?
A
?
,
f
3
?
A
?
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
4
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
r
?
f
1
?<
/p>
A
?
f
2
?
A
?
?
?
r
?
f
3
?
A
?
f
4
?
A
?
?
?
r
f<
/p>
1
?
A
?
f
4
?
A
?
m
?
f
2
?
A
?
,
f
3
?
A
?
?
?
r<
/p>
d
?
f
2
?
A
?
,
f
3
?
A
?
?
推
论
2.1.1
设
f
1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,
f
3<
/p>
?
x
?
,
f
4
?
x
?
?
P
?
x
?
A
?
P
?
1
?
n
?
n
?
?<
/p>
?
?
，
若
f
2
?
A
?
?
f
3
?
A
?
，
令
则
f
2
?
A
?
?
f<
/p>
3
?
A
?
?
g
?
A
?
,
r
?
f
1
?
A
?
g
?
A
?
?
?
r
?<
/p>
g
?
A
?
f
4
?
A
?
?
?
r
?
f
1
?
A
?
f
4
?
A
?
g
?<
/p>
A
?
?
?
r
?
g
?
A
?
?
定
理
2.2
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,
h
?
x
?
?
< br>P
?
x
?
，
则
r
?
f
?
A
?
g
?
A
?
?
?
r
?
g
?
A
?
h
< br>?
A
?
?
?
r
g
?
A
?
m
?
f
?
A
?
,
h
?
A
?
?
?
r
g
< br>?
A
?
d
?
f
?
A
?
,
h
?
A
?
?
证明：
f
?
x
?
?
d
?
x
?
f
1
?
< br>x
?
,
h
?
x
?
?
d
?
x
?
h
1
?
x
?
f
1
?
x
?
,
h
1
?
x
?
< br>?
P
?
x
?
因为
f
?
x
?
,
h<
/p>
?
x
?
?
d
?
x
?
所以
u
?
x
?
f
?
< br>x
?
?
v
?
x
?
h
?
x
?
?
d
?
x
?
u
?
x
?
,
v
?
x
?
?
P
?
< br>x
?
所以
u
?
A
?
f
?
A
?
?<
/p>
v
?
A
?
h
?
A
?
?
d
?
A
?
?
?
?
?
(1.6)
?
?
(1.7)
（
1.8
）
由（
1.6
）
~
（
1.8
）对矩阵
< br>?
0
?
f
?
A
?
g
?
A
?
?
?
做分块的初等变换
0
g
?
A
?
h
?
A
?
?<
/p>
?
E
?
0
?
?
0
?
?
E
v
?
A
?
?
?
f
?
A
?
g
?
A
?
0<
/p>
?
?
0
0
?
?
E
u
?
A
?
?
?
E
?
E
?
?
?
h
A
E
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
0
g
?
A
?
h
?
A
?
?
?
E
?
?
E
?
?
?
f
1<
/p>
?
A
?
E
?
?
?
E
?
0
?
1
?
?
?
?
0
=
0
?
?
f
?
A
?<
/p>
g
?
A
?
v
?
A
?
g
?
A
?
h
?
A
?
?
u
?
A
?
f
?
A
?<
/p>
g
?
A
?
?
?
E
0
?
?
0
?
E
?
?
?
?
h
A
E
?
?
?
?
?<
/p>
f
A
E
0
g
A
h
A
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
?
?
?
?
?
?
E<
/p>
?
?
E
?
0
?
?
0
?
?
f
?
A
?
g
?
A
?
g
?
A
?
d
?<
/p>
A
?
?
?
E
0
?
?
0
?
E
=
?
?
?
?
?
?
0
g
?
A
?
h
?<
/p>
A
?
?
?
?
f
1
?
A
?
E
?
?
?
?
E
?
?
h
1
?
A
?
E
?<
/p>
?
=
?
E
?
0
?
?
0
?
?
0
f
?
A
?
g
?
A
?
g
?
A
?<
/p>
d
?
A
?
?
?
E
?
?
?
?
?
f
A
E
?
f
A
g
A
h
A
0
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
E
?
?
?
1
?
E
?
?
0
?
E
?
<
/p>
0
?
?
0
?
?
0
f
?
A
?
g
?
A
?
g
?
A
?
d
?
A
?
?
?<
/p>
E
?
=
?
?
?
?
?
?
f
A
E
?
f
A
g
A
h
A
0
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
1
1
?
?
?
?
E
?
?
=
?
?
g
?
A
?
d
?
A
?
0
?<
/p>
0
?
?
则
f
?
A
?
g
?
A
?
h
1
?
A
?
?
r
?
f
?
A
?<
/p>
g
?
A
?
?
?
r
?
g
?
A
?
h
?
A
?
?
?
r
?
f
?
A
?
g<
/p>
?
A
?
h
1
?
A
?
?
?
r
?
g
?
A
?
d
?
A
?
?
5
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
由引理
1.2
知
f
?
A
?
g
?
A
?
h
1
?
A
?
?
g
?
A
?
m
f
?
< br>A
?
,
h
?
A
?
所以
?
?
r
?
f
?
A
?
g
?
A
?
?
?
r
?
< br>g
?
A
?
h
?
A
?
?
?
r
g
?
A
?
m
?
f
?
A
?
,
h
?
A
< br>?
?
?
r
g
?
A
?
d
?
f
?
A
?
,
h
?
A
?
?
推论
2.2.1
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?
,
h
?
x
?
?
P
?
x
?
，
A
?<
/p>
P
?
1
?
n
?
n
?
?
?
?
且
f
?
x
?
,
h
?
x
?
?
1
，则
?
?
r
?
f
?
A
?
g
?
A
?
?
?
r
?
< br>g
?
A
?
f
?
A
?
?
?
r
?
f
?
A
?
h
?
A
?
g
?
A
?
?
< br>?
r
?
g
?
A
?
?
推论
2.2.2
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?<
/p>
?
P
?
x
?
，而
d
?
x
?
,
m
?
x
?
分别是
f
?
x
?
< br>与
g
?
x
?
的最大公因式和
最
小
公
倍
式
又
< br>设
A
?
P
（
1.9
）
证
明
由
d
?
x
?
?
f
?
x
?
,
g
?
< br>x
?
n
?
n
?
2
?
，
则
r
?
?
?
r
?
?
g
?
A
m
r
d
A
?
< br>f
?
?
?
A
?
?
?
?
r
?
?
?
A
?
?
f
1
?
x
?
,
g
1
?
x
?
?
P
?
x
?
< br>，
使
得
1
?
?
知
，
存
在
1
f
?
x
?
?
d
?
x
?
f
1
?
x
?
< br>,
g
?
x
?
?
d
?
x
?
g
1
?
x
?
且
?
f
?
x
?
,
g
?
x
< br>?
?
?
1
，
又
有
公
式
2
d
?
x
?
m
?
x
?
?
f
?
x
?
g
?
< br>x
?
，得
m
?
x
?
?
f
1
?
x
?<
/p>
d
?
x
?
g
1
?
x
?
。故有推论
2.2.2
?
?
得
r<
/p>
?
f
1
?
A
?
d
?
A
?
?
?
r
?
d
?
A
?
g
1
?
A
?
?
?<
/p>
r
?
d
?
A
?
?
?
r
?
f
1
?
A
?
d
?
A
?
g
1
?
A
?
?<
/p>
由此既得（
1.9
）成
< br>立
推论
2.2.3
设
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
P
?
x
?
，
A<
/p>
?
P
n
?
n
，且
f
?
x
?
,
g
?
x
?
?
< br>1
，则
?
?
r
?
f
?
A
?
g
?<
/p>
A
?
?
?
r
?
f
?
A
?
?
?
r
?
g
?
A
?
?
?
n
证明：由推论
2.2.2
既得推论
2.2.3
成立
推
论
2.2.4
< br>设
f
i
?
x
?
?
P
?
x
?
,
i
?
1
,2,...,
t
，
且
f
1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,...,
f
t
?
x
?
两
两
互
素
。
?
2
?
l
< br>1
,
l
2
,....,
l
t
?
Z
?
r
f
证
l
1
l
2
l
t
，
t<
/p>
又
l
i
设
A
?
P
n
?
n
.
则
。
?
?
x
?
f
?
x
?
...
f
?
x
?
?
?
?<
/p>
r
?
f
?
x
?
?
?
?
t
?
1
?
n
1
2
t
i
i
?
1
明
:
因
为
f
1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,...,
f
t
?
x
?
由
引
理
t
两
1.4
两
得
互
素
< br>，
l
所
以
?
f
?
x
?
,
f
?
x
?
?
?
1
?
i
?
j
,
i
,
j
< br>?
1
,2,...,
t
?
i
j
1
2
?
f
i
< br>l
i
?
x
?
,
f
j
j
?
x
?
?
1
，
?
?
i
?
j
,
i
,
j
?
< br>1
,2,...,
t
?
即
f
1
l
?
x
?
,
< br>f
2
l
?
x
?
,...,
f
< br>t
l
?
x
?
也两两互素，下面用数学归纳法来证明
< br>t
?
1
时显然成立
.
当
t
?
2
时由推论
2.2.3
显然成
立
.
6
孙季华
关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广
s
假设
t
?<
/p>
s
时成立
r
f<
/p>
?
?
x
?
f
?
x
?
...
f
?
x
?
?
?
?
r
?
f
?
x
?
?
?
?
s
?
1
?<
/p>
n
l
1
1
l
2
ls
2
s
l
i
i
i
?
1
< br>?
2.1
?
< br>l
l
l
当
t
?
s
?
1
时
由
于
f
1
1
?
x
?
,
f
2
2
?
x
?
< br>,...,
f
s
?
1
s
?
1
< br>?
x
?
两
两
互
素
所
以
有
推
论
2.2
.3
得
s
r
?
f
l
1
1
?
x
?
f
2
?
x
?
...
f
l
2
ls
?
1
s
?
1
?
x
?
?
?
?
r
?
f
l
i<
/p>
?
x
?
?
?
r
?
f
s
?
1
s
?
1
?
x
?
?
?
n
?
2.2
?
i
i
?
1
?
2.1
?
?
?
2.2
?
得
r
?
f
?
x
?
f
2
?
x
?
...
f
l
1
1
< br>l
2
ls
?
1
s
?
1
?
x
?
?
?<
/p>
?
r
?
f
l
i
?
x
?
?
?
sn
i
s
?
< br>1
i
?
1
可见当
t
?
s
?
1
时等式成立，所以上述定理成
立。
推论
2.2.5
设
A
?
P
n
?
n
，
f
1
?
x
?<
/p>
,
f
2
?
x
?
,...,
f<
/p>
t
?
x
?
?
P
?
x
?
，若
f
1
?
x
?
,
< br>f
2
?
x
?
,...,
f
t
< br>?
x
?
两两
?
互素，
l
1
,
l
2
,....,
l
t
?
Z
< br>，
k
?
Z
则
r
f
1
?
x
?
f
2
?
x
?
...
f
t
?
x
?
?
?
?
?
?
r
?
< br>f
?
x
?
?
?
?
t
?
1
?
n
i
i
?
1
t
证明：只要令
l
1<
/p>
?
l
2
?
?
?
l
t
?
1
，即可。
在文献
[3]
中的定理
1
线性变换在互素多项式下核的直和分解结论给出的证明很繁杂，运用
< br>上述定理的推论
2.2.5
可以简单的证明出来，下面给
出新的证明。
定
理
< br>2.3
?
?
3
< br>
f
1
?
x
?
,
f
2
?
x
?
,..
.,
f
t
?
x
?
?
P
?
x
?
，
且
两
两
互
素
，
?
t
?
< br>2
?
f
?
x
?
?
f
1
?
x
?
f
2
?
x
?
...
f
t
?
x
?
；
?
是数域
P
上的
n
维线性空间
V
的一个线性变换，
< br>则
ker
f
< br>?
?
?
?
ker
f
1
?
?
?
?
ker
f
2
?
?
?
?
...
?
k
er
f
t
?
?
?
，
2
）
若
f
?
?
?
?
0
，
有
k
e
r
< br>f
?
?
?
?
V
证明：先证
< br>ker
f
?
?
< br>?
?
ker
f
< br>1
?
?
?
?
ker
f
2
?
?
?
?
.
..
?
ker
f
t
?
?
?
，
?
1
?
i
j
ker
f
?
?
?
?
ker
f
1
?
?
?
?
ker
f
2
?
?
?
?
...
?
ker
f
t
?
?
?
，
事
< br>实
上
：
因
为
，
设
?
f
?
x
?
,
f
?
x
?
?
?
1
?
i
?
j
.
< br>i
,
j
?
1,
2,...
t
?
g
i
?
x
?
?
f
?
x
?
?
f
1<
/p>
?
x
?
f
?
x
?
.
f
?
?
x
?
f
?
?
x
?
2
f
?
x
?
.
?<
/p>
i
i
?
f
i
?
x
?
2
t
t
?
，
由
引
理
.
1
1.5
i
< br>知
使
得
即
，
则
知
?
g
?
x
?
,
g
?
x
?
,....
g
?
x
?
?
?
1
1
所
以
存
在
u
i
?
< br>x
?
?
P
?
x
?
,
i
?
1
,2,...
t
（
，
（
2.3
）
u
1
?
x
?
g
?<
/p>
x
1
?
?
u
?
x
?
g
2
?
x
?
?
?
2
?
u
t
?
x
?
g
t
?<
/p>
x
?
?
1
u
1
?
?
?
g
1
?
?
?
?
u
2
?
?
?
g
2
?
?
?<
/p>
?
?
?
u
t
?
?
?
g
t
?
?
?
?
?
f
?
?
?
?
?
f
1
?
?<
/p>
?
f
2
?
?
?
...
f
t
?
?
?
?
?
0
由
???
ker
f
?
?
?
2.3
）
7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：世界机场ICAO名称代码
下一篇：1高碘酸钠催化微晶纤维素的氧化讲解