-
2.3.2
空间两点间的距离
明目标、
知重点
1.
了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；
2.
会应用空间两
点间的距离公式求空间中的两点间的距离．<
/p>
1
．空间两点间的距离公式
(1)
平面直角坐标系中，两点
P
1
(
x
1
< br>，
y
1
)
，
P
2
(
x
2
，
y
2
)
间距离
P
1
P
2
＝
?
x
2
－
x
1
?
2
＋
< br>?
y
2
－
y
1
?
2
，
特别
地，点
A
(
x
，
y
)
到
原点距离为
OA
＝
x
< br>2
＋
y
2
.
(2)
空间两点
A
(
x
1
，
< br>y
1
，
z
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)
的距离公式是
AB
＝
?
x
2
－
x
1
?
2
＋
?
y
2
－
y
1
?
< br>2
＋
?
z
2
－
z
1
?
2
.
特别地，点
A
(
x
，
y
，
z
)
到原点
的距离公式为
OA
＝
x
2
＋
y
2
＋
z
2
.
2
．空间两点的中点坐标公式
连
结
空
间
两
点
P
1
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)
、
P
2<
/p>
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)
的
线
段
P
1
P
2
的
中
点
M
的
坐
标
为<
/p>
?
x
1
＋
x
2
，
y
1
＋
y
2
，
z
1
＋
z
2
?
.
2
2
?
?
2
[
情境导学
]
我们已经学习了平面上任意两点
A
(<
/p>
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
之间的距离公式
AB
＝
?
x
1
－
x
2
?
2
＋
?
< br>y
1
－
y
2
?
2
.
那
么空间中任意两点
A
(
x
1
，
y
1
< br>，
z
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)
之间距离的
公式是怎
样的？本节我们就来探讨这个问题．
探究点一
空间中点
< br>P
与坐标原点的距离
公式
思考
1
根据
平面上两点间的距离公式，你能猜想出空间中任意两点
A
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)
，
B
(
< br>x
2
，
y
2
，
z
2
)
之间的距离公式吗？
答
AB
＝<
/p>
?
x
1
－
x
2
?
2
＋
?
y
1
－
y
2
?
2
＋
?
z
1
－
z
2
?<
/p>
2
.
思考
2
在空
间直角坐标系中，坐标轴上的点
A
(
x
,
0,0)
，
B
(0
，
y,
0)
，
C
(0,0
，
< br>z
)
，与坐标原点
O
的距离分别是什么？
答
OA
＝
|
x<
/p>
|
，
OB
＝
|
y
|
，
OC
＝
|
z
|.
思考
3
在空间直角坐标系中，坐标平面上的点
A
(
x
，
y,
0)
，
B
(0
，
y
，
z
)
，
C
(
x,
0
，
z
)
< br>，与坐标
原点
O
的距离分别是什
么？
答
O
A
＝
x
2
＋<
/p>
y
2
，
OB
＝
y
2
＋
z
2
，
OC
＝
x
2
＋
z
2
.
思考
4
如图
，在空间直角坐标系中，设点
P
(
x<
/p>
，
y
，
z
)
在
xOy
平面上的
射影为
M
，则点
M
的
坐标是什么？
PM
，
OM
的值分别是什么？
答
M
(
x
，
y,
0)
，
PM
＝
|
z
|
，
OM
＝
x
2
＋
y
2
.
思考
5
基于
上述分析，你能求出点
P
(
x
，
y
，
z
)
与坐标原点
O
的距离公式
吗？
答
如
图，在
Rt
△
OMP
< br>中，根据勾股定理
OP
＝
OM
2
＋
PM
2
＝
x
2
＋
y
2
＋
z
2
.
探究点二
空间两点间的距离
问题
在空
间中，设点
P
1
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)<
/p>
，
P
2
(
x
2
，
y
2
，
z
2
)
，在
xOy
平面上的射影分
别为
M
、
N
.
思考
1
<
/p>
M
，
N
的坐标是
什么？点
M
、
N
之间的距离如何？
答
M
(
x
1
，
y
1,
0)
，
N
(
x
2
，
y
2,
0)
；
MN
＝
?
x
1
－
x
2
?
2
＋
?
y
1
－
y
2
?
2
.
思考
2
若直
线
P
1
P
2<
/p>
垂直于
xOy
平面，则点
P
1
、
P
2
之间的距离如何？
答
P
1
P
2
＝
|
z
1
－
z
2
|.
思考
3
若直
线
P
1
P
2<
/p>
平行于
xOy
平面，则点
P
1
、
P
2
之间的距离如何？
答
P
1
P
2
＝
MN
＝
?
x
1
－
x
2
?
2
＋
?
y
1
－
y
2
?
2
.
思考
4
若直
线
P
1
P
2<
/p>
是
xOy
平面的一条斜线，则点
P
1
、
P
2
的距离如何计算？
答
在
Rt<
/p>
△
P
1
HP
2
中，根据勾股定理，
< br>得
P
1
P
2
＝
P
1
H
2
＋
HP
2<
/p>
2
＝
?
x
1
－
x
2
?
2
＋
?
y
1
－
y
2
?
2
＋
?
z
1
－<
/p>
z
2
?
2
.
小结
空间中点
P
1
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)
，
P
2
(
< br>x
2
，
y
2
，
z
2
)
之间的距离
P
1
P
2
＝
?
x
1
－
x
2
?
2
＋
?
y
1
－
y
2
?
2
＋
< br>?
z
1
－
z
2
?
2
.
x
1
＋
x
2
y
1
＋
y
2
?
?
2
，
2
?
< br>，
思考
5
连结平面上两点
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
的线段
AB
的中点
M
的坐标为
?
那么，已知空间中两点
A
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
< br>，
z
2
)
，线段
AB
的中点
M
的坐标是什么呢？
答
坐标为
?
x
1
＋
x
2
y
1
＋
y
2
z
1
＋
z
< br>2
?
?
2
，
2
，
2
?
例
1
求空间两点
P
1
(
3
，－
2,5)
，
P
2
(6,0
，－
1)
间的距离
P
1
P
2
.
解
利用两点间距离公式，
得
P
1
P
2
＝
＝
?
6
－
3
?
2
＋
[0
－
?
－
2
?
]
2
＋
?
－
1
－
5
?
2
9
＋
4
< br>＋
36
＝
7.
反思与感悟
空间两点间的距离公式与
平面解析几何中求平面上两点间的距离类似，
只是多
了一个
z
坐标的差的平方．公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根
．
跟踪训练
1
求证：以
A
(10
，－
1,6)
，
B
(4,1,9)
，
C
(2,4,3)
< br>三点为顶点的三角形是等腰直角三
角形．
证明
根据空间两点间距离公式，
得
AB
＝
BC
＝
AC
＝
?
10
－
4
?
2
＋
?
－
1
－
1
?
2
＋
?
6
－
9
?
2
＝
7<
/p>
，
?
4
－
2
?
2
＋
?
1
－
4
?
2
＋
?
9
－
3
?
2
＝
7
，<
/p>
?
10
－
2
?
2
＋
?
－
1
－
4
?
2
＋
< br>?
6
－
3
?
2
＝
98.
因为
AB
2
＋
BC
2
＝
AC
2
，且
AB
＝
BC
，
所以
△
ABC
是等腰直角三角形．
例
2
平面上
到坐标原点的距离为
1
的点的轨迹是单位圆，其方程为
x
2
＋
y
2
＝
1.
在空间中，
到坐标原点的距离为
1
的点的轨迹是什么？试
写出它的方程．
解
与坐标原点的距离为
1
的点
P
(
x
，
y
，
z
)
的轨迹是一
个球面，
满足
OP
＝
< br>1
，
即
＝
1.
因此
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＝
1
，就
是所求的球面方程．
反思与感悟
<
/p>
求空间点的轨迹方程和求平面内的点的轨迹方程类似，
关键是寻找
动点满足的
等量关系，然后用坐标表示等量关系，化简等式即为所求的轨迹方程．
跟踪训练
2
若点
P
(
x
，
y
，
z
)
到平面
xOz
与到
y
轴距离相等，则
P
点坐标满足的关系式为
____________
．
答案
x
2
＋
z
2
－
y
2
＝
0
解析
由题意得
|
y
|
＝
< br>x
2
＋
z
2
，即
x
2
＋
z
2
－
y<
/p>
2
＝
0.
x<
/p>
2
＋
y
2
＋
z
2
探究点三
空间两点间距离公式的应用
例
3
已知
正方形
ABCD
、
ABEF
的边长都是
1
，且平面
A
BCD
⊥平面
ABEF
，点
M
在
AC
上
移动，点
N
在
BF
上移动，若
CM
＝
BN
＝
a
(0
＜<
/p>
a
＜
2)
．
(1
)
求
MN
的长；
(2)
当
a
为何值时，
MN
的长最小．
解
∵
平面<
/p>
ABCD
⊥
平面
ABEF
，
平面
ABCD
∩
平面
ABEF
＝
AB
，
AB
⊥
BE
，
∴
BE
⊥
平面
ABCD
，
∴
AB
、
BC
、
BE
两两垂直．
过点
M
作
MG
⊥<
/p>
AB
，
MH
⊥<
/p>
BC
，
垂足分
别为
G
、
H
，
连结
NG
，易证
NG
< br>⊥
AB
.
∵
< br>CM
＝
BN
＝
< br>a
，
∴
CH
＝
MH
＝
BG
＝
GN
＝
2
a
，
2
∴
以
B
为原点
，以
BA
、
BE
、
BC
所在的直线为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立如图所示的空间直角
坐标系
B
－
xyz
，
则
M
?
2
2
?
?
2
a
，
2
a
，
0
?
< br>.
a
，
0
，
1
－
a
，
N
2
?
2<
/p>
?
2
?
2
?
(1)
MN
＝
?
2
a
－
2
a
?
2
＋
?
0
－
< br>2
a
?
2
＋
?
1
－
2
a
－
0
?
2
2
?
?
2
?
?
2
?
2
?
< br>?
a
－
2
?
2
＋
1
，
2
?
2
?
2
时，
MN
最短，
2
＝
a
2
－
2
a
＋
1
＝
(2)
由
(1)
得，当
a
＝
最短为
2
，这时
M
、
N
恰好为
AC
、
BF
的中点．
2
反思与感悟
距离是几何中的基本度量问题，
无论是在几何问题中，
还是在
实际问题中，
都
会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：
(1)
求空间任意两点间的距离；
(2
)
判断几何
图形的形状；
(3)
利用距离公式求最值．
跟踪训练
3
在空间直角坐标系中，已知
A
(3,0,1)
，
B
(1,0
，－
3)
．在
y
轴上是否存在
点
M
，
使△
M
AB
为等边三角形？若存在，求出点
M
的坐标；若不存在，说明理由．
解
假设在
y
轴上存在点
< br>M
(0
，
y,
< br>0)
，使
△
MAB
为等边三角形．
设坐标原点为
O
，
A
、
B
都在平面
xOz
上，
而
y
轴垂直于平面
xOz
，
所以
OA
⊥
OM
，
OB
⊥
OM
.
MA
＝
OA
2
＋
OM
2
，
MB
＝
OB
2
＋
OM
2
，
又因
OA
＝
OB
＝
10
，
所以
y
轴上的所有
点都能使
MA
＝
MB
< br>成立，所以只要再满足
MA
＝
A
B
，就可以使
△
MAB
为等边三角形．
因为
MA<
/p>
＝
于是
3
2
＋
?
－
y
?
2
＋
1
2
＝
10
＋
y
2
，
AB
< br>＝
2
5.
10
＋
y
2
＝
2
5
，解得
y
＝
±
10.
故
< br>y
轴上存在点
M
，使
△
MAB
为等边三角形，此时点
< br>M
的坐标为
(0
，
10
，
0)
或
(0
，－
10
，
0)
．
1
．点
P<
/p>
(1
，
2
，
3)
到原点
O
的距
离是
________
．
答案
6
解析
d
＝<
/p>
1
＋
?
2
?
2
＋
?
3
?
2
＝
6.
2
．点
P
(1,2,2)
是空间直角坐标系中的一点，设它关于
y
轴的对称点为
Q
，则
PQ
的长为
________
．
答案
2
5
解
析
点
P
(1,2,2)
关
于
y
轴
的
对
称
点
Q
的
坐
标
为
(
－
1,2
，
－
2)
，
所
以
PQ
＝
?
1
＋
1
?
2
< br>＋
?
2
－
2
?
2
＋
?
2
＋
2
?
2
＝
4
＋
16
＝
2
5.
3
．若
A
(4
，－
7,1)
，
B<
/p>
(6,2
，
z
)
，
AB
＝
11
，则
z
＝
__
______.
答案
－
5
或
7
解析
∵
AB
＝
11
，
∴<
/p>
(6
－
4)
2<
/p>
＋
(2
＋
7)<
/p>
2
＋
(
z
－
1)
2
＝
11
2
，化简得
(
z
－
1)
2
＝
36
，即
|
z
－
1|
＝
6
，
∴
z
＝－
5
或
z
＝
7.
4
．已知三点
A
(1,3,2)
、
B
(
－
2,
0,4)
、
C
(
－
8
，－
6,8)
< br>，证明：
A
，
B
，
C
三点在同一直线上．
解
利用两点间距离公式，