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高中数学
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圆知识点
复习
一、圆的概念
集合形式的概念：
1
、
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2
、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3
、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1
、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充
）
2
、
垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）
；
3
、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4
、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两
条直线；
5
、到两
条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条
直
线。
二、点与圆的位置关系
1
、点在圆内
?
d
?
r
?
点
C
在圆内；
A
2
、点在圆上
?
d
?
r
?
点
B
在圆上；
d
r
3
、点在
圆外
?
d
?
r
?
点
A
在圆外；
O
B
三、直线与圆的位置关系
d
1
、直线与圆相离
?
d
?
r
?
无交点
；
C
2
、直线与圆相切
?
d
?
r
?
有一个交点；
3
、直线与圆相交
?
d
?
r
?
有两个交点；
r
d
d=r
r
d
四、圆与圆的位置关系
外离（
图
1
）
?
无交点
?
d
?
R
?
r
；
外切（图
2
）
?
有一个交点
?
d
?
R
?
r
；
相交（图
3
）
?
有两个交点
?
R
?
r
?
d
?
R
?
r
；
内切（图
4
）
?
有一个交点
?
d
?
R
?
r
；
内含（图
5
）
?
无交点
?
d
?
R
?
r
；
d
R
图
1
r
R
d
< br>r
图
2
d
R
图
3
r
d
R
r
d
r
R
图
4
图
5
- 1 -
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论
1
：
（
1
）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；<
/p>
（
2
）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（
3
< br>）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共
4
个定理，简称
2
推（出）
3
定理：此定理中共
5
个结论中，只要知
道其中
2
个即可推出其
它
3
个结论，即：
①
AB
是直径
②
AB
?
CD
③
CE
?
DE
④
弧
BC
?
弧<
/p>
BD
⑤
<
/p>
弧
AC
?
弧
AD
中任意
2<
/p>
个条件推出其他
3
个结论。
A
推论
2
：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙
O
中，∵
AB
∥
CD
D
C
<
/p>
∴弧
AC
?
弧<
/p>
BD
O
B
A
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或
等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧
相等，弦心距相等。
此定理也称
1
推
3
定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的
1
个相等，则可以推出其它的
3
个结论，
即：①
?
AOB
?
?
DOE
；②
AB
?<
/p>
DE
；
③
OC
?
OF
；
④
弧
BA
?
弧
B
D
A
七、圆周角定理
< br>1
、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵
?
AOB
和
?
ACB
是弧
AB
所对的圆心角和圆周角
∴
?
AOB
?
2
?
ACB
2
、圆周角定理的推论：
D
推论
1
：同弧或等弧所
对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆
周角所对的弧是等弧；
即：在⊙
O
中，∵
?
C
、
?
D
都是所对的圆周角
O
B
∴
?
C
?
?
D
推论
2
：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
是半圆，所对的弦是直径。
O
E
C
B
D
E
F
O
D
C<
/p>
B
C
B
O
A
C
C
A
B
O
A
即：在⊙
O
中，∵
AB
是直径<
/p>
∴
?
C
?
90
?<
/p>
或∵
?
C
?
9
0
?
∴
AB
是直径
推论
3
：若三角形一边上的中线等于这
边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△
ABC
中，∵
OC
?<
/p>
OA
?
OB
∴△
ABC
是直角三角形或
?
C
?
90
?
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角
三角形中斜边上的中线等
C
于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆
的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
B
即：在⊙
O
中，
∵四边形
ABCD
是内接四边形
∴
?
C
?
?
BAD
?
180
?
?
B
?
?
D
?
180
?
O
?
DAE
?
?
C
九、切线的性质与判定定理
（
1
）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半
径的直线是切线；
M
A
C
B
O
A
< br>D
A
E
N
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