-
数学试题
第Ⅰ卷
（选择题
共
60
分）
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
．若复数
z
满足
，则
|
z
|
＝（
）
A
．
B
．
3
C
．
5
D
．
25
<
/p>
2
．设集合
，
N
＝
{
x
|
≥
4}
，则
M
∩
N
（
）
A
．
B
．
C
．
[2
，
3]
D
．
[2,3<
/p>
）
3
．在等比
数列
{
a
n
}
中，
，
，则
（
）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
15
<
/p>
4
．已知角
的始边与
轴非负半轴重合，终边过点
，则
的值为（
< br>A
．
B.
C.
D
．
5.
某三棱锥的三视图如图所示，
已知它的体积为，则图中
的值为（
）
A
．
2
B.
C.
1
D
．
）
6
．我国著名数学家华罗庚曾说：
“数缺形
时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔
裂分家万事休．
”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函
数的解析式来
琢磨函数图象的特征
.
如函数
的图像大
致是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．在梯形
中，
，若
，
u
u
u<
/p>
r
u
u
u
r
则
AE
g
BC
的值为（
）
A
．
B.
C.
D
．
0
8
．设
，则（
）
A
．
B.
C.
D
．
9
．关于函数
有下述四个结论：
①
的图象关于<
/p>
轴对称；
②
在
有
3
个零点；
③<
/p>
的最小值为
；
④
在区间
单
调递减
.
其中所有正确结论的编号是
(
)
A
．①②
B
．①③
C
．①④
D
．③④
x
2
y
2
10<
/p>
．
已知双曲线
2
?
2
?
1
?<
/p>
a
?
0
，
b
?
0
?
的左、
右焦点分别为
，
，
过
作圆
a
b<
/p>
的切线，交双曲线右支于点
，若
，则双曲
线的渐近线斜率为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
11
．
2019
年
11
月
18
日
国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际
射联步手枪世界杯总决
赛时隔
10
年再度走进中国。
为了增强
趣味性，
并实时播报现场赛况，
我校现场小记者李明和播报小记
者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加
密）
，
接受方由密文→明文（解密）
，已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字<
/p>
母分解，其中英文的
a
，
b
，
c
，…，
z
的
26
个字母（不论大小写
）依次对应
1
，
2
，
3
，…，
26
< br>这
26
个自然数
,
通过变换公式：
，将明文转换成密文，
如
，
即
f
变换成
p
；
，
即
y
变换成
m
．
若按上述规定，
若王华收到的密文是
ukweat
，
那么原来的明文是（
< br>
）
A
．
fujian
B
．
puxian
C
．
putian
D
．
fuxian
12<
/p>
．函数
e
x
1<
/p>
,
x
?
[
,
??
)
，
满足
f
?
?
x
?
?
f
?
x
?
?
x
2
,
若
恒成立
,
则
的取值范围为（
）
1
?
A
．
?
，
?
2
?
?
3
?
B
．
[
< br>,
??
)
2
3
C
．
D
．
?
,
?
2
3
?
1
2
?
?
?
二．填空题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
13
．若向量
和
垂直，则
_______
．
14
．已知
满足
，则
的取值范围为
_________.
15
．已知直线
l
：
与抛物线
相交于不同的两点
A
，
B
，
M
为
AB
的中
点，线段
AB
的垂直平分线线交
轴于点
N
，则
MN
的长为
< br>
.
16<
/p>
．正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
长为
2
，动点
P
在对角线
BD
1
上，过点
P
作垂直于
BD
1
的平面
α
，记平面
α
截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为
y
＝
f
（
x
）
，设
BP
＝
x
，
x
∈
（
0
，
）
.
（Ⅰ）下列说法中，正确的编号为
．
①
截面多边形可能为四边形；
②
；
③函数
的图象关于
对称
.
（Ⅱ）当
时
,
三棱锥
的外接球的表面积为
．
三
.
解答题：本大题共
6
小题，共
70
分
.
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
<
/p>
骤
.17
21
题
为必考题，每个试题考生都必须作答
.
第
22
，
23
题为选考题，考生根据要
求作
答
.
（一）必考题：共
60
分
17
．
（本小题
12
分）
在
中，
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
.
（
1
）求
A
；
（
2
）已知
，点
D<
/p>
在
AB
上，且
，
若
的面积为
，求线段
的长．
18
．
（本小题
12
分）
在正项数列
{
a
n<
/p>
}
中，已知
，
且
.
（
1
）证明：数列
{
b
n
}
是等差数列；
< br>（
2
）设
{
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，证明：
1
1
1
1
3
?
?
?
L
?
?
．<
/p>
S
1
S
2
S
3
S
n
4
19
．
（本小题
12
分）
如图：已知正方形
ABCD
的边长为
且
．
，沿着对角线
将△
ACD
折起
,
使
D<
/p>
到达
P
的位置，
（
1
）证明
：平面
⊥平面
；
（
2
）若
M
是
的中点，点
N
在线段
P
A
上，且满足直线
MN<
/p>
与平面
P
AB
所
成角的正
B
A
6
|
PN
|
弦值为
，求
的值．
5
< br>|
NA
|
P
C
C
D
A
B
图（
1
）
图（
2
）
20
．
（本小题
1
2
分）
x
2
y
2
已知：
椭
圆
2
?
2
?<
/p>
1
?
a
?
b
?
0
?
的右焦点为
F
，
M
为上顶点，
若
?
OM
F
O
为坐标原点，
a
< br>b
的面积为
2
，且椭圆的离心率
为
2
.
2
（
1
）
求椭圆的方程；
（
2
）
直线
l
交椭圆于
P
,
Q
两点，当
F
为
?
PQM
的垂心时，求
?
PQM
的面积
.
21
．
（本小题
12
分）
已知函数
，
.
（
1
）
讨论
的单调性；
（
2
）
当
时，记
的最小值为
，证明：
M
?
5
.
e
< br>（二）
选考题：
共
10
分
.
请考生从第
22<
/p>
，
23
两题中任选一题作答
.
如果多做，
则按所做的第
一个题目计分
.
22.[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
](
本小题
10
分
)
已知曲线
的参数方程为
，在同一平面直角坐标
系中，将曲线
上的
点按坐标变换
得到曲
线
，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系
.
设
点的极坐标为
?<
/p>
，
?
?
.
?
3
?
2
?
?
（
1
）求曲线
的极坐标方程；
（
2
）若过点
且倾斜角为
?
的直线与曲线
交于
6
|
AN
|
的值
.
两点，求
|
A
M
|
g
23.[
选修
4
—
5
：不等式选讲
]
（本小题
10
分）
已知函数
，
，且
的解集为
.
（
1
）求
的值；
（
2
）若
都为正数，且
，证明：
.
数学
第Ⅰ卷
（选择题
共
60
分）
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只有一
< br>项是符合题目要求的．
1
C
二．填空题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
；
15
．
；
16
．<
/p>
（Ⅰ）②
③
；
（Ⅱ）
2
D
3
B
4
B
5
C
6
A
7
D
8
D
9
C
10
A
11
C
12
A
13
．
5
；
14
．
<
/p>
三
.
解答题：本大题共
< br>6
小题，共
70
分
.
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.17
21
题为必考题，每个试题考生都必须作答
.
第
22
，
23
题为选考题，考生根据
要求作
答
.
（一）必考题：共
60
分
17
．
（
12
分）
在
中，
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
.
（
1
）求
A
；
（
2
）
已知
求线段
的长．
，
点
D
在
AB
上，
且
，
若
的面积为
，
.
分
………………….
………………….
1
,
…………………. ……………
…….
2
分
………………….
………………….3
分
………………….
……………4
分
又
,
,
,<
/p>
且
A
（
0
，
,
…………………………….……..5
分
，
……………………………..……..6
分
,
,
且
…………………. ………………
7
分
bcsinA=
,
即
………
…………..….………
8
分
………
……………..…………
9
分
………
………………………
10
分
………………………..……
12
分
18
．
（
12
分）
在正项数列
{
a
n
}
中，已知
，
且
.<
/p>
（
1
）证明：
数列
{
b
n
}
是等差数列；
（
2
）设
{
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，证明：
< br>1
1
1
1
3
?
?
?
L
?
?
．
S
1
S
2
S
3
S
n
4
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