-
.
第
1
章
两阶段最小二乘法
在模型的基本假定
中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当
这一假定被违背时，
称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解
释变量、变量的测
量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方
法。本章介绍工
具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等
问题。
1.1
变量的内生性
如果模型中的解释变量
与误差项出现相关，即
E
(
X
'
u
)
?
0
，称解释变量是内生的。导致
解释变量内生性的原
因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量
因果关系的双向性
、变量的测量误差等。
模型中出现内生解释变量时，
OLS
估计量是不一致的。根据
OLS
估计量：
?
?
(
X
'
X
)
?
1
(
X
'
y
)
?
β
?
(
X
'
X
)
?<
/p>
1
(
X
'
u
)
?
β
?
(
N
?
1
X
'
X
)
?
1
(
N
?
1
X
'<
/p>
u
)
(1.1)
β
由假定
Rank(
X)=
K
< br>和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：
Plim(
N
?
1
< br>X
'
X
)
?
E(
X
'
X
)
?
A
，<
/p>
Plim(
N
?
1
X
'
u
)
?
E(
X
'
u
)
?
0
。
(1.2)
又由
Slustky
定理，
可编辑
.
Plim(
N
?
1
X
'
X
)
?
1
?
A
?<
/p>
1
?
?
β
?
A
?
1
E(
X
'
u
)
?
β
(1.3)
Plim
β
1.2
工具变量估计
1.2.1
工具变量
在如下模型中，
y =
X
+ u
第
i
个解释变量
x
< br>i
为内生解释变量。如果存在变量
z
，
z
满足如下两个条件：
正交条件：与
u
不相关，即
< br>cor(z, u) = 0
相关条件：与
x
相关，即
cor(z,
x
i
)
那么
，
z
被称作
x
i
的工具变量。
0
，也称为识别约束条件。
1.2.2
工具变量估计
设回归模型为：
y
< br>=
X
β
+
u
(1.4)
其中，解释变量为
X
（1×
K
）工具变
量为
Z
（1×
K
）
。
Z
作为工具变量满足正交条件和
识
?
)
?
0<
/p>
中，用
Z
替换
X
，
别约束条件。在正规方程组
X
'(
y
?
X
β
?
)
?
0
(1.5)
Z
'(
y
?
X
β
可编辑
.
解此方程组，可得
IV
估计量为：
?
?
(
Z
'
X
)
?
1
Z
'
y
(1.6)
β
将
y
=
X
β
+
u
带入估计量中，可得
?
?
(
< br>Z
'
X
)
?
1
Z
'(
X
β
?
u
)<
/p>
?
β
?
(
Z
'
X
)
?
1
Z
'
u
β
可以证明，
?
)
?
β
?
(
Z
'
X
)
?
1
Z
'E(
u
)
?
β
E(
β
?
)
?
E[(
Z
'
X
)
?
1
Z
'
uu
'
Z
(
X
'
Z
)
?
1
]
Var(
β
?
?
(
Z<
/p>
'
X
)
Z
'
Z
(
X
'
Z
)
?
?
(
X
'
X
)
2
?
1
?
1
2
?<
/p>
1
即
IV
估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由
?
)
?
β
?
Plim[(
N
?
1
Z
'
X
)
?
1
(
N<
/p>
?
1
Z
'
u
)]
Plim(
β
n
??
n
??
Plim(
N
?
1
Z
'
X
)
?
1
?
A
n
??
n
??
Plim(
N
?
1
Z
'
u
)
?
E(
Z
i
u
i
)
?
0
可知，
IV
估计量是一致的。
1.3
两阶段最小二乘法
设模型中存在
K
个内生解释变量，存在
L=K
个工具变量。每个工具变量都必须满足正
交条件和相关条件。如果
L=K
，称为恰好识别；如果
L>K
，称为过度识别。即利用其中不同
的
K
个工具变量，都可以得到不同的估计量。当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是
一致的。
因此，
现在的问题是如何在这
L
个工具变量中找到
K
个工
具变量使其估计量最有效。
这即是两阶段最小二乘法。
可编辑
.
1.3.1
TSLS
估计
设模型为：
y
?
X
β
?
u
(1.7)
其中，解释变量为
X
（1×
K
）工具变
量为
Z
（1×
L
）
。用
Z
作为工具变量，
Z
满足正交条
件和识别约束条件。首先回归模型<
/p>
X
?
Z
Π
?
v
(1.8)
?
?
(
Z
'
Z
)
?
1
ZX
，并提取拟合值
X
?
?
Z
Π
?
?
Z
(
Z<
/p>
'
Z
)
?
1
ZX
。令
P
?
Z
(
Z
'
Z
)
?
1
Z
'
，
P
Z
为对称
可得
< br>Π
Z
?
?
P
X
。然后，利用
X
?
做为工具变量回归模型，可得
IV
< br>估计量为：
幂等矩阵，则
X<
/p>
Z
?
?
(
X
?
'
X
)
?
1
X
?
'
y
?
(
X
'
P
X
)
?
1
(<
/p>
X
'
P
y
)
(1.9)
β
Z
Z
而
?
'
X
?
X
'
P
X
?
X
'
P
'
P
X
?
(
< br>P
X
)'
P
X
?
X
?
'
X
?
。
<
/p>
X
Z
Z
Z
Z
Z
由此可得：
<
/p>
?
?
(
X
?
'
X
)
?
1
X
?
'
y
?
(
X
?
'
X
?
)
?
1
X<
/p>
?
'
y
(1.10)
β
?
'
X
?
)
?
1
X
?<
/p>
'
y
是
y
对
X
?
的
OLS
回归估计量。
?
作
为工具变量作
IV
回归与利用
X
?
而
(
X
因此，
利用
X
替换
X
作
LS
回归是等价
的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如
下。
< br>
?
。
Step1
：利用
X
对
Z
作
OLS
回归：
X
?
Z
Π
?
v
；提取拟合值
X
可编辑
.
?
替换
X
，直接作
O
LS
回归。
Step2
：用
X
1.3.2
2SLS
的渐进特征
假定
1
：令
X
表示解释变量（包括常数变量
1
）
。假定存在
L
个工具变量构成的（1×
L
）
向量
Z
，满足
E(
Z
'
u
)=
0
。
Z
包含模型中的外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则
Z
必
须包含模型以外的外生变量。
<
/p>
假定
2
：
（
A
）
Rank(
Z
'
Z
)=
L<
/p>
；
（
B
）
Rank(
Z
'
X<
/p>
)=
K
。
（
A
）条件是指
L
个
向量
Z
不存在完全
的线性关系；条件（
B
）是指
Z
与
X
充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条
件。条件（
B
）称为秩条件。秩条件成立的必
要条件是
L
≥
K
。即，工具变量的个数至少等于
解释变量的个数，称之为阶条件。
由
X
=
Z
+v
（其中，
为
< br>L
×
K
矩阵）
< br>，两侧同时乘
Z
并求期望可得：
Z
'
X
?
Z
'
Z
Π
?
Z
'
v
?
E(
Z
'
X
)
?
E(
< br>Z
'
Z
)
Π
?
Π
?
[
E(
Z
'
Z
)
]
?
1
E(
Z
'
X
)
令
X
*
=
Z
(1.11)
=
Z[
E(
Z
'
Z
)]
-1
E(
Z
'
X
)
。在
X
β<
/p>
+
u
=
y
两边同时乘以
X
*
可
得，
X
*
'
X
β
+
X
*
'
u
=
X
*
'
y
(1.12)
求期望可得：
E(
< br>X
*
'
X
)
β
=
E(
X
*
'
y
)
(1.13)
而
X
*
'
X
=
X
*
'
Z
+
X
*
'
v
，<
/p>
E(
X
*
'
X
) =
E(
X
*
'
Z
)
+
E(
X
*
'
v
) =
E(
X
*
'
Z
)
可编辑
.
E(
X
*
'
Z
)= E[(
X
-
v
)
'
Z
] =
E[
X
'
Z -
v
'
Z
] =
E(
X
'
Z
)
将
=
[
E(
Z
'
Z
)]
-1
E(
Z
'
X
)
带入上两个式子中，可得：
E(
X
*
'
X
) = E(
X
'<
/p>
Z
)
[
E(<
/p>
Z
'
Z
)]
-1
E(
Z
'<
/p>
X
)
= <
/p>
E(
X
'
Z
)
[
E(
Z
'
Z
)]
-1
E(
Z
'
X
)
(1.14)
E(
X
*
'
y
) = E(
X
'
Z
)
[<
/p>
E(
Z
'
Z
)]
-1
Z
'
y
注意，
上式中
Z
是
（1×
L
）
阶，
X
是
（1×
K
）
阶。
因此，
< br>
X
'
Z
是
（
K
×
L
）
阶，
Z
'
Z
是
（
L
×
L
）
阶，
Z
'
X
是（
L
×
K
）阶。如果要
估计出
β
，
E(
X
*
'
X
)
必须是非奇异的，当且仅当
E(
Z
'
X
)
的秩为
K
。将其带入
β
= [
E(
X
*
'
X
)]
-1
E(
X
*
'
y
)
，可得
β
= [
E(
X
*
'
X
)]
-1
E(
X
*
'
y
)
=
{E(
X
'
Z
)
<
/p>
[
E(
Z
'
Z
)]
-1
E(
Z
'
X
)}<
/p>
-1
{E(
X
'
Z
)
[
E(
Z
'
Z
)]
-1
Z
'y}
(1.15)
β
的
TSLS
估计量为：
-1
?
1
?
β
?
X
'
Z
(
Z
'
Z
)
(
Z
'
X
)
?
?<
/p>
?
X
'
Z
(
Z
'
Z
)
?
1
Z
'
y
?
(1.16)
2
SLS
1
．一致性
由
2SLS
估计量可得：
?
1
-1<
/p>
?
1
?
β
2
SLS
?
[
X
'
Z
(
Z
'
Z
)
(
Z
'
X
)]
[
X
'
Z
(
Z
'
Z
)
Z
'(
X<
/p>
β
?
u
)]
??????????
β
?
[
X
'
Z
(
Z
'
Z
)
?
1
(
Z<
/p>
'
X
)]
-1<
/p>
[
X
'
Z
(
Z
'
Z
)
?
1
Z
'
u
]
??????????
β
?
[(
N<
/p>
?
1
X
'
Z
)(
N
?
1
Z
'
Z
)
?
1
(
< br>N
?
1
Z
'
X
)]
-1
[(
N
?
1
X
'
Z
)(
N
?
1
Z
'
Z
)
?
1
(
N
?
1
Z
'
u
)]
(1.17)
?
由大数定律和
Slustky
定理，可得：
Plim
β
2
SLS
?
β
。即
2SLS
估计量具有一致性。
2
．渐进正态性
可编辑
.
根据
Plim(
N
?
1
Z
'
u
)
?
E(
Z
i
'
u
i
)
?
0
，并由中心
极限定理，
N
?
1/
< br>2
Z
'
u
~
Normal
(
0
,
B
)
。同方
差假定下，
B
?
E(
u
2
Z
i
'
Z
i
)
< br>?
?
2
E(
Z
i
'
Z
i
)
，
?
2<
/p>
=var(
u
i
)
。
根据
S
lutsky
定理，
?
1
?
1
?
< br>1
?
1
-1
?
1
?
1
?
1
?
1/
2
?
N
(
β
Z
'
u
)]
(1.18)
2
SLS
?
β
)
?
[(
N
X
'
Z
)(
N
Z
'
Z
)
(<
/p>
N
Z
'
X
)]
[(
N
X
'
Z
)(
N
Z
'
Z
)
(
N
?
定理
：在假定
1
、
2
以及同方差假定下，
N
(
β
2
SLS
?
β
)
渐进服从正态分布，均值为
0
，方差
矩阵为
?<
/p>
2
?
E(
X
'
Z
)E(
Z
'
Z
)
?
1
E(
Z
'
X
)
?
(1.19)
-1
< br>其中，
E(
X
'
Z
)E(
Z
'
Z
)
?
1
E(
Z
'
X
)
可以用样本进行估计，
?
2
的估计量公式为：
?
2
?
(
N
?
K
)
?
1
?
i
?
1
u
?
i
2
?
?
< br>?
i
?
y
i
?
x
i
β
其中，
u
2
S
LS
，而不是第二阶段的残差项。
?
β
2
SLS
的
渐进方差估计量为：
N
2
?
2
?
?
?
1
2
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
A
var(
β
)
?
?
(
x
'
x
)
(
X
'
X
)
?
?
(
< br>X
'
P
X
)
(1.20)
?
2
SLS
i
i
Z
?
i
?
1
?
?
1
N<
/p>
3
．渐进有效性
在假定
1
、
2
以及同方差假定下，利用工具变量
z
的所有
< br>IV
估计量中，
2SLS
估计量
是
最有效的。
（证明请参见
Woold
ridge
，
2000
，
p96
）
1.3.3
2SLS
中的假设检验
设模型为：
可编辑
.
y
=
X
1
β
1
+
X
2
β<
/p>
2
+
u
(1.21)
原假设和备择假设分别为：
H
0
：
β
2
=
0
；
H
1
：
β
2
≠
0
。
定义无约束模型和受约束模型分别为：
无约束模型：
y
=
X
1
β
1
+
X
2
β<
/p>
2
+
u
(1.22)
受约束模型为：
y
=
X
1
β
1
+
u
(1.23)
F
检验的具体检验步骤为如下。
设工具变量为
Z
。
（
X
1
和
X
2
都可以包括内生变量）
Step1
：用
Z
作为工具变量，利用
TSLS
估计模型（
9.32
）
，计其残差平方和为
SSR
U
；
?
表示得
到的拟合值（
N
×
K
< br>1
）
Step2
：利用
OLS
方法用
X
1
对
Z
回归，令
X<
/p>
；用
X
2
对
Z
回归，
1
?
表示得到的拟合值（
N
×
< br>K
2
）
令
X
；
2
·
U
表示其残差平方和；用
y
对
X
?
、
X
?
回归，令
SSR
?
回归，
Step3
：
利用
OLS
方法用
y
< br>对
X
1
2
1
·
R
表示其残差平方和。
令
SSR
Step4
：构建统计量：
·
< br>R
?
SSR
·
< br>U
N
SSR
?
< br>?
SSR
U
~
< br>?
2
(
K
2
)
·
S
SR
?
F
?
R
·
U
/
K
?
SSR
2
?
SSR
U
/(
N<
/p>
?
K
)
~
F
(
K
2
,
N
?
K
2
)
也可以通过类似
OLS
方法来构建
LM
统计量
可编辑
.
?
表示得到的拟合值（
N
×
K
1
）
Step1
：用
X
1
对
Z
进行
OLS
回归，令
X
；用<
/p>
X
2
对
Z
进行
1
OLS
回归，
令
X
?
2
表示
得到的拟合值（
N
×
K
2
）
。
Step2
：用
y
对
X
?
1
回归，令
u
%
表示其残差。
Step3
：用
u
%
对
X
?
1<
/p>
、
X
?
2
回归，记其未中心化的可决系数为
R
2
uc
。
Step4
：构建
LM
统计量
LM
?
NR
2
Asy
2
uc
< br>??
?
?
K
2
1.3.4
异方差稳健推断
如果只有假定
1
、
2
成立，模型中
存在异方差时，
β
?
2
SLS
的渐进方差估计量为：
A
var(
β
?
2
SLS
)
?
(
X
?
'
X
?
)
?
1<
/p>
?
?
?
N
i
?
1
(
u
?
2
i
x
?
i
'
x
?
i
)
?
?
(
X
?<
/p>
'
X
?
)
?
1
。
可以用作构建异方差稳健
t
统计量。
存在异方
差时，对参数约束的稳健
LM
检验。
Step1
：用
Z
作为工具变量，利用
TSLS
用
y
对
X
1
回归，
计残差项为
u
%
；
Step2
：用
X
2
中每一个变量对
X
1
中的所有变量进行
OLS
回归，提取残差项
r
?
；
Ste
p3
：利用
OLS
方法回归方程
1
?
α
?
u
%
r
?
?
?
v
，计其回归平方和为<
/p>
SSR
。
St
ep4
：稳健
LM
统计量为
(
N
?
SSR
)
~
?
2
(
K
2
)
，其中
K
2
表示
< br>X
2
中变量的个数。
可编辑
(1.24)
(1.25)
.
1.3.5
内生变量的显著性检验
1
．
单个内生变量的显著性检验
在
stata
中，单个内生解释变量的显著性检验可以通过
condivreg
实现。
Condivreg
利
用
2SLS
或<
/p>
LIML
方法回归线性模型，并利用条件似然比（
conditional likelihood
ratio
，简
写为
CLR)
方法（
Moreira
(2003)
，
Andrews, Moreira, and
Stock (2006)
）计算内生变量
参数估计量的置信区
间和概率值。
Andrews, Moreira, and Stock (2004
)
证明，
CLR
检验是
渐进最优的，明显地优于
Anderson
and
Rubin
(1949)
检验和由
Kleibergen
(2002)
及
Moreira (
2001)
提出的
LM
检验。
例：
. condivreg y1
x1 (y2 = z1 z2 z3), liml interval
.
condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3 z4), ar lm
test(0.1)
2
．
多个内生变量的显著性检验
结构方程中内生解释变量显著性检验的
Anderson-
Rubin
统计量（注意，不要与
Anderson-Rubi
n
过度识别检验混淆）
。原假设为：所有内生解释变量的参数都
等于
0
。对其
检验等价于对简化方程中
工具变量
Z
的联合显著性检验。
Anderson-Rubin
卡方统计量
~
卡方分布（自由度为
L
2
=
被排除的工具变量个数）
Anderson-
Rubin
对于弱工具变量是稳健的。
可编辑
.
例：
.
ivreg2 lwage exper expersq (educ=fatheduc
motheduc), ffirst
1.3.6
工具变量的冗余检验
其中，模型解释
变量的个数为
K
，其中外生解释变量的
X
1
个数为
K
1
，内生解释变量
X
2
的个数为
K
2
，
K= K
1
+
K
2
。设工具变量
Z
=
（
Z
1
,
Z
2A
,
Z
2B
）
，共有
L
个。其中
Z
1
=
X
1
，包
含
L
1
=
K
1
个工
具变量。
Z
2A
,
< br>Z
2B
分别包含
L
2A
、
L
2B
个工具变量，令
L
2
=
L
2A
+
L
22
，则
L
=
K
1
+
L
2A
+
L
2B
。检验部分被排除的工具变量
Z
2B
是否是多余的（
< br>）
。检验统计量是基
于解释变量
X
1
与工具变量（
Z
< br>1
,
Z
2A
,
Z
2B
）的典型相关系数。如果
X
1
与（
Z
1
,
Z
2A
,
Z
2B
）的典
型相关
系数比
X
1
与
（
Z
1
,
Z
2A
）
的典型相关系数有了显著提高，
则表明工具变量
Z
2B
不是多余
的。统计量渐进服从自由度为
K
2
×
L
2
< br>。参见
Hall and Peixe (2000)
。
1.4
内生性检验与过度识别约束检验
在工
具变量估计中，有三个问题是需要关注的。第一，解释变量是否具有内生性。如果
没有内
生性，则
LS
估计是一致有效估计量，而
TSLS
估计量则是一致非有效估计量。如果变
量具有内生性
，则
LS
估计没有一致性，而
TSLS
估计量则具有一致性。即是说，
IV
估
计在
保证参数估计计量的一致性特征是有代价的。
只有当模型中
存在内生解释变量时，
TSLS
才优
可
编辑
.
于
LS
。因此，在应用
TSLS
方法之前
，首先应该检验解释变量具有内生性，称之为内生性检
验。
<
/p>
第二，工具变量的正交约束条件是否得以满足。工具变量必须满足两个基本条件：相关
条件和正交条件。在过度识别的模型中，可以检验正交条件是否成立。因此，工具变量（被<
/p>
排除）的正交检验也叫做过度识别约束检验。过度识别约束检验常用的统计量包括
Sargan
(1958)
、
Basmann's
(1960)
、
Hansen J
统计
量以及
C
统计量。实际上，工具变量的正交性
< br>检验和解释变量的内生性检验是一个问题的两个方面。
第三，工具变量的有效性问题，即工具变量与内生解释变量必须相关。对于工具变量的
有
效问题，一般通过偏
R2
或
Shea
R2
来观察。实践中经常出现的问题是弱工具变量问题。
Cra
gg-Donald
和
Anderson-
Rubin
统计量则用于考查弱工具变量问题。
1.4.1
内生性检验
1
．
Durbin-Wu-
Hausman
检验
内生性的检验等
价于检验
plim(
X
’
u
)
=0
。但检验不能通
过
LS
估计的残差项进行。因
为
LS
估计的残差项与
X
总是不相关的。
Hausman
（
1
978
）提出了另外一种检验思路，即
Hausman
检验。其基本思路是，如果解释变量
x
具有外生
性，那么其对应参数
的
OLS
估
计量具有一致性和有效性，而
TSLS
估计量
具有一致性但没有有效性。所以，如果
x
是外生
?
与
TSLS
估计量
β
?
之间差异
d
?
β
?
?
β
?
的概率极限为
0
，即
Plim
的，那么
< br>OLS
估计量
β
LS
IV
LS
IV
可编辑
.
d
=
0
，否则
Plim
d≠0
。构建
Wald
统计量：
H
?
d
'[
AsyVar
(
d<
/p>
)]
?
1
d
(1.26)
?
?
β
?
)
?
AsyVar
(
β
< br>?
)
?
AsyVar
(
β
?
)
?
2
AsyCov
(
β
?
,
β
?
)
其中，
AsyVar
(
β
LS
IV
LS
IV
LS
IV
?
和
β<
/p>
?
，
β
?
是有效估计量而
β
?
Hausman
（
1978
）
证明，
对于参数
β
的两
个一致估计量
β
E
E
< br>I
I
?
与
(
β
?
?
β
?
)
的协方差为
0
，即
是无效估计量，则
β
E
E
I
?
,
β
?
< br>?
β
?
)
?
Var
(
β
?
)
?
Cov
(
β
?
,
β
?
)
?
0
C
ov(
β
E
E
I
E
E
I
(1.27)
?
?
?
Cov
(
β
,
β
)
?
Var
(
β
)
E
I
E
?<
/p>
?
β
?
，
β
?
?
β
?
。有
在内生变量的情
况下，
β
E
LS
I
IV
?
?
β
?
)
?
As
yVar
(
β
?
)
?
AsyVar
(
β
?
)
(1.28)
AsyVar
(
β
LS
IV
IV
LS
因此，
H
统计量可以表达为
H
?
d
'[
AsyVar
(
d
)]
?
1
d
< br>?
1
?
?
?
?
?
?
?
(
β
LS
?<
/p>
β
IV
)'[
V
ar
(
β
IV
)
?
Var
(
β
LS
)]
(
β
LS
?
β
I
V
)
?
)
?<
/p>
?
2
(
XX
)
?
1
，
AsyVar
(
β
?<
/p>
)
?
?
2
(
XX
?
?
)
?
1
。将其以及方差
估
前文已经推导出，
AsyVar
(<
/p>
β
LS
IV
?<
/p>
2
带入
H
统计量
可得
计量
?
?
?
)
?
1<
/p>
?
?
?
IV
2
(
XX
?
LS
(
XX
)
?
1
?
(1.29)
Var
(
d
)
?
?
?
?
?
H
统计量渐进服从
K
2
个自由度的卡方分布。
一般情况下，
2
的估计量分别利用
TSLS
和
LS
估计各自的残差项来计算。如
S
tata
中
的
Hausman
命令即是分别计算
TSLS
和
< br>LS
各自的标准差。但是，
Hausman
统计量虽然渐
进有效，在小样本情况下
Var(
d
)
却可能出现负值（或负定矩阵）
，从而
H
检验统计量为负值。
可编辑
.
因此在实践应用
中，
2
?
LS
2
或全部用
?
?
IV
2
。这样保证了
Var(
d
)
的广义逆的
的估
计量全部用
?
2
的估计量，则
?
LS
2
作为
存在，从而保证了检验统计量取正数。如果用
?
?
?
)
?<
/p>
1
?
(
XX
)
?
1
]
?
LS
2
[(
XX
Var
(
d
)
?
?
这种统计量由
Durbin
（
1954
）
、
< br>Wu
（
1973
）和
Hausman
（
1978
）分别提出。经常被
称作
Durbin-Wu-Hausma
n
统计量
（简写为
DWH
统计量）
。
在
Stata<
/p>
中，
可以利用
Hausman
命令中的
sigmamore
选项来实现。
?
IV
2
作为
如果用
?
2
的估计量，则
?
?
)
?
1
?
(
XX
)
?
1
]
。
?
IV
2
[(
XX
Var
(
d
)
?
?
这种统计量由<
/p>
Wu
（
1973
）和
Hausman
（
1978
）分别提出。在
Stata
中，可以利用
Hausman
命令中的
sigmales
s
选项来实现。
需要注意的是，
在
H
统计量中，
β
表示模型中的所有参数，
即
H
统计量是利用所有参数
的
LS
< br>估计量和
IV
估计量来构建的。事实上，
H
统计量可以仅利用内生变量的协方差矩阵来
构建。比
如，在如下模型中，
y
=
X
1
β
1
+
X
2
β<
/p>
2
+
u
?
?
β
?
，
H
统计量为：
X
1
是外生的，而
X
2
是内生的。定义
d
2
?
β
2
LS
2
< br>IV
H
2
?
d
2
'[
Var
< br>(
d
2
)]
?
1
d
2
其中，
Var(
d
2
)
为
Var(
< br>d
)
中右下角（
K
2
×
K
2
< br>）子矩阵。
H
2
与
H
是渐进等价的。
（
1
）
对单个变量内生性的检验
可编辑
.
以模型
y
=
X
1
β
1
+
x
2
2
+
u
(1.30)
为例，要检验
x
2
的内生性。
Hau
sman
检验的具体步骤为：
Ste
p1
：利用
OLS
和
< br>TSLS
方法分别估计方程，
2
的估计量分别表示为
?
，
?
%
，标准
?
2
2
?
)
，
se
(
?
%
< br>)
。
差分别表示为
se
(
?
2
2
Step2
：在原假设（
H
0
：
x
2<
/p>
是外生的）成立的条件下，
H
统计量
%
?
?
?
)[
Se
2
(
?
%
)
?
Se
2
(
?
?
)]
?
< br>1
(
?
%
?
?
?
)
?
H
?
(
?
2
2
2
2
2
2
这等价于
%
?
?
?
)
2
(
?
2
2
2
~
?
(1)
2
%
2
?
Se
(
?
2
)
?
Se
(
?
2<
/p>
)
H
?
%
?
?
?
?
2
2
%
)
?
Se
2
(
< br>?
?
)
Se
(
?
2
2
2
~
N
(0,1)
(1.31)
根据
< br>z
统计量与标准正态分布的临界值相比较（双端检验）
，
判断接受或拒绝原假设。
（
2
）
对多个变量内生性的检验
如果模型中可能存在多个内生解释变量
X
，将其
参数表示为
β
。以模型
y
=
X
1
β
1
+
X
2
β
2
+
u
(1.32)
为例，其中
X
2
包含
K
2
个变量。要检验
X
2
的内生性。
Hausman
检验的具体步骤
如下。
?
，
β
%
，方差矩
Step1
：利用
OLS
和
TSLS<
/p>
方法分别估计方程，
β
2
的估计量分别表示为
β
2
2<
/p>
?
)
，
var(
β
%
)
。
阵分别表示为
var(
< br>β
2
2
Step2
：在原假设（
H
0
：
X
2
是外生的）成立的条件下，
可编辑
-
-
-
-
-
-
-
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