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安庆师范学院数学与计算科学学院
2010
届毕
业论文
浅谈可测集的结构
摘要
实变函数论是普通微积分的继续
,
其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立微积分学所存在的
缺点
,
使得微积分的运算更对称更完美
.
可测集是实变函数中基本而重要的概念之一
.
内外测度相等
的有界点集
E
称为勒贝格可测集（简称可测集）
.
本论文就
是通过介绍可测集的定义
,
性质以及可
测集与开集
,
闭集
,
< br>博雷尔集的关系
,
用他们刻画出开集可以从外部逼近可测
集
,
闭集可以从内部逼
近可测集
,
博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集等于可测集
.
关键词
可测集
开集
闭集
博雷尔集
1
引言
可测集是实变函数中基本而重要的概念之一
,
本论文就是通过介
绍可测集的定义
,
性质以及
可测集与开
集
,
闭集
,
博
雷尔集的关系
,
用他们刻画出任何可测集可以由开集从外部逼近
,
闭集从
内部逼近
,
博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集
.
2
可测集的有关定义、性质以及实例
2.1
可测集的有关定义
定
义
1
(<
/p>
点集
?
的
L
外测度
)
设
E<
/p>
为
R
n
中任一<
/p>
点集
,
对于每一
列覆盖
E
的开区间
?
< br>?
I
i
?
1
i
?
E
,
作出它的体积总和
?
?
?
i
?
1
I
i
,(
?
可以是
??
.
今后把
??
、
??
看成广义实数<
/p>
).
所
有一切的
?
组个下方有界的数集
,
它的下确界称
为
E
的
L
外测
度
,
并记为
m
*
E
,
有<
/p>
?
?
m
E
?
inf
?
?
I
i
:
I
i
为
开
集
，
E
?
?
i
?
1
*
?
?
i
?<
/p>
1
?
I
i
?
?
*
c
定义
2
（可测集）
若
?
T
?
R
n
有
m
T
?
m
< br>(
T
?
E
)
?
m
(
T
?
E
)
（
Caratheodory
条
?
?
件）
,
则称
E
为
Lebesgue
可
测集
,
此时
E
的外测度称为
E
的测度
,
记作
m
E
.
Lebesgue
开始
也是利用外测度与内测度相等
定义可测集
,
但此方法对处理问题很不方便
,
故我们采用上述方
法
.
定义
3
（
G
?
型集）设集合
G
可以
表示为一列开集
?
G
i
?
的交集：
G
?
?
G
i
,
则称
G
是
G
< br>?
型集
.
定义
4
(
F
?
型集
)
集合
F
可以表示为一列闭集
?
F
i
?
的并集
:
F
?
?
F
i
,
则称
F
是
F
?
< br>型集
.
定义
5
(
B
orol
集
)
从开集出发
,
经过至多可数次交
、
并或补运算得到的集合称为
B
orol
集
.
2.2
可测集的性质
第
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/p>
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安庆师
范学院数学与计算科学学院
2010
届毕业论文
?
?
定理
1
若
A
B
A
i
可测
,
则下述集合也可测即
A
,
A
?
B
,
A
?
B
,
A<
/p>
?
B
,
?
A
i
,
?
A
i
可
i
?
1
i
?
1
c
测集类关于差
,
余
,
有限交和可数交
,
有限并和可数并
,
以及极限运算封闭；
若
A
?
B
?
?
则
?
T
?
R
< br>n
,
有
m
(
T
?
(
A
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B
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A
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m
(
T
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B
)
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?
*
注
上式由前面可测集的等价刻画立刻可得
.
证明
1
）由
于
A
可测
,
则
?
T
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I
R
有
m
(
T
)
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m
(
T
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（
）
A
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c
c
所
以
A
可
测
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2
）只要证
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R
n
有
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B
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A
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B
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由于
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可测
,B
可测
,
则
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所以
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(
A
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B
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即
A
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B
可测
.
c
c
c
3
）
A
?
B
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(A
?
B
)
则
A
?
B
可测
.
4
）
A
?
B
?
A
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B
则
A
?
B
可测
.
n
c
定理
2
A
i
可测
,<
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i
?
1,
2,
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n
,
且
A
i
?
A
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=
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（
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1
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i
2
）
,S
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1
2
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有
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m
(
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A
i
)
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1
*
*
证明
用数学归纳法
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）当
n
?
1
时显然成立
;
k
2
）假设
n
?
k
时命题成立则当
n
?
k
?
1
时令
S
k
?
?
A
(
k
i
i
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1
?
1,
2,
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n
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则
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k
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1
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于是
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所以结论成立
.
定理
3
A
i
可测
,
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1,
2,
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n
,
且
A
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A
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i
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）
则
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2
n
n
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A
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(
A
)
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1
证明
在上性质的证明中令
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IR
即得
.
定理
4
若
A
,
B
可测<
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,
A
?
B
,
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?
??
,
则有可减性
m<
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(
B
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A
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mA
证
明
B
?
A
?
(
B
?
A
)
且
A
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(
< br>B
?
A
)
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?
,
则
有
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（
B
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=
m
（
A
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+
m
(
B
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A
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< br>又
m
A
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??
所以
m
(
B
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A
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m
（
B
）
?
m
（
A
）
?
?
定理
5
设
A
i
可测<
/p>
,
则
?
A
i
可测
,
?
A
i
可测
.
i
?
1
i
?
1
证明
只要证
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T
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R
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设
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T
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则结论得证
.
定理
7
设
A
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可测（
i
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1,
2,
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）
且
A
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1
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可测
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并用
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1
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代入（
*
）式<
/p>
,
即得结论
.
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例
1
设<
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中可测集
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A
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A
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满足条件
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m
A
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1
,
则
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A
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必有正测度
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1
证明
n
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c
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