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《自动控制理论
第
2
版》习题参考答案
第二章
2-1 (a)
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第三章
3-1
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n
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1
rad
/
s
,
?
?
0
.
5
)
?
15
s
,
(
?
n
?
0
.
4
rad
/
s
,
?
?
1
.
25
)
，过阻尼系统，无超调。
3-11
（
1
）当
a
= 0
时，
?
?
0
.
< br>354
,
?
n
< br>?
2
2
。
（
2
）
?
n
不变，要求
?
?
0
.
7
，
求得
a
= 0.25
3-12 1.
单位脉冲响应
(a)
无零点时
c
?
t
?
?
?
n
1
?<
/p>
?
2
e
?
??
n
t
sin
1
?
?
2
?
n
t
,
?
t
?
0
< br>?
（
b
）有零点
z
?
?
1
时
2
?
1
?
?
?<
/p>
n
?
2
?
?
,
?
t
?
0
?
c
?
t
?
?
e
sin
1
?
?
?
n
t
?
arctg
2
?
1
?
??
n
?
1
?
?
?
?
比较上述两种情况，可见有
z
?
?
1
零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为
1<
/p>
?
2
??
n
?
?
n
?
?
n
2
?
??
n
t
1
?
?
2
?
n
arctg
。
1
?
??
n
< br>2
．单位阶跃响应
(a)
无零点时
c
?
t
?
?
1<
/p>
?
1
1
?
?
2
e
?
??
n
t
2
?
1
?
?
< br>2
sin
?
1
< br>?
?
?
n
t
?
arctg
?
< br>?
?
?
?
,
?
t
?
0
?
?
?
（
b
）有零点
z<
/p>
?
?
1
时
c
?
t
?
?
1
?
1
?
2
??
< br>n
?
?
n
1
?
?
2
2
e
?
??
n<
/p>
t
2
?
1
?
?
2
sin
?
1
?
?
?
n
t
?
arctg
?
?
n
?
?
?
?
?
,
?
t
?
0
?
?
?
加了
z
?
?
1
的零点之后，超调量
M
p
和超调时间
t
p
都小于没有零点的情况。
3-13
系统中存在比例
-
积分环节
K
1
?
?
1
s
?
1
?
，当误差信号
e<
/p>
?
t
?
?
0
时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故
s
系统输出继续增长，知道出
现
e
?
t
?<
/p>
?
0
时，比例
-
积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调
现象。
3-14
在
r
?
t
?
为常量的情况下，考虑扰动
n
?
t
?
对系统的影响，可将框图重画如下
N(s)
+
_
K
K
2
2
s
?
?
s
?
1
?
s
?
?
2
2
s<
/p>
?
1
?
C(s)
?
?
?
?
K
K
?
?
1
1
1
?
1
?
1
s
< br>1
s
s
s
图
A-3-2
题
3-14
系统框图等效变换
C
?
s
?
?
K
2
s
N
?
s
?
s
2
?
?
2
s
?
1
< br>?
?
K
1
K
2
?
?
1
s
?
1
?
n
?
t
?
为单位斜坡函数时，
根据终值定理，
可求得
n
?
t
?
为单位阶跃函数时，
系统的稳态误差为
0
，
系统的稳态误差为
1
。
K
1
从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动
稳态误差为零。在反馈
回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时
间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数
的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时
间无关。
3-15
（
1
）系统稳定。
（
2
）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点
具有正实部，系统不稳定。
（
3
）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统不稳定。
<
/p>
（
4
）
系
统
处
于
稳
定
的
临
界
状
态
，
由
辅
助
方
程
A
?
s
?
?<
/p>
2
s
?
6
s
?
4
可
求
得
系
统
的
两
对
共
轭
虚
数
极
点
4
2
s
1<
/p>
,
2
?
?
j
;
s
3
,
4
?
?
j
2
。须指出，临界稳定的系统在实际中是无法使用的
。
3-16
（
< br>1
）
K>0
时
< br>,
系统稳定。
（
2
）
K>0
时，系统
不稳定。
（
3
）
<
br>s <
br>? ?
0
时，系统稳定。
3-17
系统的特征方程为
2
?
s
?
(
?
?
2
)
s
?
(
K
?
1
)
?
K
?
0
3
2
列
写劳斯表，得出系统稳定应满足的条件
由此得到<
/p>
?
和
K
应满足的
不等式和条件
(
?
2
)(
K
1
)
?
2
?
K
?
0<
/p>
?
?
2
0
?
?
?
2
(
K
?
1
)
,
K
?
1
,
?
?
2
K
?<
/p>
1
9
2.5
15
2.28
30
2.13
100
2.04
K
2
6
3
4
4
3.3
5
3
?
根据列表数据可绘制
K
为横坐标、
?
为纵坐标的
曲线，闭环系统稳定的参数区域为图
A-3-3
中的阴影部分。
图
A-3-3
闭环系统稳定的参数区域
3-18
根据单位反馈系统的开环传递函数
G
?
s
?
?
3
2
K
(
s
?
3
)
2
s
(
< br>s
?
2
s
?
2
)
得到特征方程
s
?
2
s
?
(
K
?
2
)
s
?
3<
/p>
K
?
0
，列写劳
斯表
s
3
s
2
s
1
1
2
4
?
K
K
2
?
K
3
K
s
< br>0
根据劳斯判据可得系统稳定的
K
值范围
0
?
K
?
4
当
K
?
4
时系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益
K
c
?
4
。
2
根据劳斯表列写
K
c
?
4
时的辅助方程
2
s
?
12
?
0
解得系统的一对共轭虚数极点为
s
1
,
2
?
?<
/p>
j
6
，系统的无阻尼振荡频率即为
6
rad
/
s
。
第四章
4
-2
（
1
）
G
?
s
?
?
K
1
s
?
s
?
1
??
s
?
3
?
分离点
(
?
0
.
45
,
< br>j
0
)
，与虚轴交点
?
j
3
?
K
1
?
12
< br>?
。常规根轨迹如图
A-4-2
所示。
图
A-4-2
题
< br>4-2
系统（
1
）常规根轨迹<
/p>
（
2
）
G
?
s
?
?
K
1
2
s
?
s
?
4
?
s
?
4
s
?
20
?
?
分离点
?
?
2
,
j
0
?
,
?
?
2
?
j
2
.
5
?
< br>，与虚轴交点
?
10
?
K
1
?
260
?
。常规根轨迹如图
A-4-3
所示。
图
A-4-3
题
< br>4-2
系统（
2
）常规根轨迹<
/p>
4-3
（
1<
/p>
）
G
?
s
?
?
K
1
s
2
?
s
?
2
?
分离点为
?
0
,
< br>j
0
?
；
常规根轨迹如图
A-4-4
（
a
）
所示。
从根轨迹图可见，
当
K
1
?
0
便有二个闭环极点位于右半
s
平
面。所以无论
K
取何值，系统都不稳定
。
图
A-4-4
题
< br>4-3
系统常规根轨迹
（
2
）
G
?
s
?
?
K
1
?
s
?
1
?
< br>2
s
?
s
?
2
?
分离点为
?
0
,
< br>j
0
?
；常规根轨迹如图
A-4-4
（
b
）所
示。从根轨迹图看，加了零点
z
?
?<
/p>
1
后，无论
K
取
何值，系统
都是稳定的。
4-7
系统特征方程为
s
2
?
?
1
?
?
?
< br>s
?
1
?
0
以
?
为可变参数，可将特征方程改写为
1
?
从而得到等效开环传递函数
<
/p>
?
s
s
?
s
?
1
2
?
0
G
eq
(
s
)
< br>?
?
s
s
2
?
s
?
1
?
根据绘制常规根轨迹的方法，可求得分离点为
?
?
1
,
j
0
< br>?
，出射角为
?
P
?
?
150
。参数根轨迹如
图
A-4-8
所示。
图
A-4-8
< br>题
4-7
系统参数根轨迹
（
1
）
无局部反馈时
?
?
?
0
?
，单位速度输入信号作用下的稳
态误差为
e
sr
?
1
；阻尼比为
?
?
0
.
5
；调节时间为
t
s
?
6
s
?
5
%
< br>?
（
2
）
?
?
0
.
2
时，
e
sr
?
1
.
2
，
?
?
0
< br>.
6
，
t
s
?
5
s
(
5
%)
比较
可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。
（
3
）
当
?
?
1
时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点
s
1
,
2
?
?
1
。
4-9
主根轨迹如图
A-4-9<
/p>
所示。系统稳定的
K
值范围是
0
?
K
?
14
.
38
。
图
A-4-9
题
< br>4-9
系统主根轨迹
Ke
?
?
s
4-10
G
?
s
?
H
?
s
?
?
s
主根轨迹分离点
?
?
?
?
?
1
?
,
j
0
?
；与虚轴交点<
/p>
?
j
，临界
K<
/p>
值
。主根轨迹如图
A-4-10
所示。
2
?
2
?
?
?
?
图
A-4-10 <
/p>
题
4-10
系统主根轨迹
4-11
（
1
）
G
?
s
< br>?
H
?
s
?
?
K
?
1
?
?
s
?
的根轨迹如图
A-4-11
所示。
s
图
A-4-11
G
?
s
?
H
?
s
?
?
K
?
1
?
?<
/p>
s
?
根轨迹
s
?
?
?
K
?
1
?
s
?
?
2
?
< br>（
2
）
G
?
s
?
H
?
s
?
?
?
?
?
s
?
1
?
s
?
?
2
?
分离点
?
?
?
2
?
1
?
2
?
?
2
< br>1
?
2
?
2
?
；会合点
?
?
；与虚轴交点
?
j
,
j
0
,
< br>j
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
；临界稳定
K
值为
2<
/p>
。根轨迹
?
如图
A-4-12
所示。
图
A-4-12
G
< br>?
s
?
H
?
s
?
?
K
?
1
?
(
?
/
2
)
s
?
根轨迹
s
?
1
?
(
?
/
2
< br>)
s
?
（
3
）
G
?
s
?
H
?
s
?
?
K
s
?
?
s
?
1
?
分离点
?
?
?
?
< br>1
?
?
，根轨迹如图
A-4-13
所示。
?
?
2
?
,
j
0
?
图
A-4-13
G
< br>?
s
?
H
?
s
?
?
K
根轨迹
s
?
?
s
?
1
?
讨论：当
?
较小
时，且
K
在某一范围内时，可取近似式
K
。若
?
较大，取上述近似式误差就大
，此时应取近似
s
?
?
s
?
1
?
?
?
?
K
?
1
?<
/p>
s
?
?
2
?
。
式
?
?
?
s
?
1
?
s
?
?
2
?
4-12
系统的根轨迹如图
A-4-14
< br>所示。
图
A-4-14
题
4-12
系统的根轨迹
4-13
当
0
?
a
?
图
A-4-15
所示。
1
1
1
时，有两个分离点，当
a
?
时，有一个分离点，当
a
?
时，没有分离点。系统的根轨迹族如
9
9
9
图
A-4-15
题
4-13
系统的根轨迹族
第五章
5-1 (1)
G
?
s
?
?
1
s
?
s
?
1
?
<
/p>
G
?
j
?
?
?
1
?
1
?
?
2
5.0
?
G
?
j
?
?
?
?
90
0
?
arctg
?
< br>?
G
?
j
?
?
?
G
?
j
?
?
0.5
1.79
-116.6
?
1.0
0.707
-135
?
1.5
0.37
-146.3
?
2.0
0.224
-153.4
?
10.0
0.0095
?
0.039
-168.7
-174.2
?
系统的极坐标图如图
A-5-1
所示。
图
A-5-1
题
5-1
系统（
1
）极坐标图
(2)
G
?
s
?
?
1
?
1<
/p>
?
s
??
1
?
2
s
?
1
?
?
2
1
?
4
< br>?
2
?
G
?
j
?
?
?
?
arctg
?
?
arctg
2
?
< br>G
?
j
?
?
?
1
?
G
?
j
?
?
?
G
?
j
?
?
0
1
0
?
0.2
0.91
-15.6
?
0.5
0.63
-71.6
?
0.8
0.414
-96.7
?
1.0
0.317
-108.4
?
2.0
0.172
-139.4
?
5.0
0.0195
-162.96
?
< br>系统的极坐标图如图
A-5-2
所示。
< br>
图
A-5-2
题
5-1
系统（
2
）极坐标图<
/p>
(3)
G
?
s
?
?
1
s
?
s
?
1
??
2
s
?
1
?
?
1
?
?
2
1
?
4
?
2
?
G<
/p>
?
j
?
?
?
?
90
0
?
arctg
?
?
arctg
2
?
G
?
j
?
?
?
1
?
G
?
j
?
?
?
G
< br>?
j
?
?
0.2
4.55
-105.6
?
0.3
2.74
-137.6
?
0.5
1.27
-161
?
1
0.317
-198.4
?
2
0.054
-229.4
?
5
0.0039
-253
?
系统的极坐标图如图
A-5-3
所示。
图
A-5-3
题
5-1
系统（
3
）极坐标图
(4)
G
?
s
?
?
1
s
2
?
1
?
s
??
1
?
2
s
?
?
2
1
?
?
2
1
?
4
?<
/p>
2
?
G
?
j
?
?
?
?
180
0
?
arctg
?
?
arct
g
2
?
G
?<
/p>
j
?
?
?
1
?
G
?
j
?
?
?
G
?
j
?
?
0.2
22.75
-195.6
?
0.25
13.8
?
0.3
7.86
?
0.5
2.52
?
0.6
0.53
?
0.8
0.65
-276.7
?
1
0.317
-288.4
?
系统的极坐标图如图
A-5-4
所示。
-220.6
-227.6
-251.6
-261.6
图
A-5-4
题
5-1
系统（
4
）极坐标图<
/p>
5-2 (1)
G
?
s
?
?
1
?
j
?
??
1
?
j
?
?
系统的伯德图如图
A-5-5
所示。
图
A-5-5
题
5-2
系统（
1
）伯德图
(2)
G
?<
/p>
s
?
?
1
?
1
?
j
?
??
1
?
j
2
?
< br>?
系统的伯德图如图
A-5-6
所示。
图
A-5-6
题
5-2
系统（
2
）伯德图
(3)
G
?<
/p>
s
?
?
1
j
?
?
1
?
j
?
??
1
?
j
2
< br>?
?
系统的伯德图如图
A-5-7
所示。
图
A-5-7
题
5-2
系统（
3
）伯德图
(4)
G
?<
/p>
s
?
?
1
2
?
j
?
?
?
1
?
j
?
??
< br>1
?
j
2
?
?
系统的伯德图如图
A-5-8<
/p>
所示。
图
A-5-8
题
5-2
系统（
4
）伯德图
5-3
G
?
s
?
?
1
s
?
0
.
1
s
?
1
??
0
.
5
s
?
1
?
G
?
j
?
?
?
1<
/p>
?
1
?
(
0
.
1
?
)
2
1
?
(
0
.
5
?
)
2
2.0
3.5
3.0
1.77
?
?
?
G
?
j
?
?
?
?
90
0
?
arctg
0
.
1
?
?
arctg
0
.
5
?
?
G
?
j
?
?
?
G
?
j
?
?
0.5
17.3
-106.89
?
1.0
8.9
-122.3
?
1.5
5.3
?
5.0
0.67
-184.76
?
10.0
0.24
-213.7
?
系统的
极坐标图如图
A-5-9
所示。
-135.4
-146.3
-163
图
A-5-9
题
5-3
系统极坐标图
系统的
伯德图如图
A-5-10
所示。
图
A-5-10
题
5-3
系统伯德图
相角裕
度
?
?
0
.<
/p>
7
?
,
增益裕量
GM
?
3
.<
/p>
55
dB
5-4
（
1
）
G
?
j
?
?
?
1
，此为
非最小相位环节，其幅频、相频特性表达式为
j
?
?
1
< br>1
?
?
2
?
G
?
j
?
?
?
?
180
0
?
arctg
?
该环节的伯德图如图
A-5-11
所示。
G
?
j
?
?
?
1<
/p>
图
A-5-11
题
5-4
伯德图
（
2
）惯性环节
G
?
j
?
?
?
1
是最小相位的，其幅频、相频特性表达式为<
/p>
j
?
?
1
1
?
?
2
?
G
?
j
?
?
?
?
arctg
?
该环节的伯德图如图
A-5-11
点划线所示。由图可
见，两个环节具有相同的幅频特性，相频特性有根本区别。
G
?
j
?
?
?
1
5-7 (a)
G
?
s
?
?
10
，系统的相频特性曲线如图
A-5-12
所示。
0
.
5
s
?
1
图
A-5-12
题
5-7
G
?
s
?
?
10
相频特性曲线
0
.
5
s
?
1
(b)
G
?
s
?
?
3
.
92
，系统的相频特性曲线如图
A-5-13
所示。
s
?
0
.
5
s
?
1
?
图
A-5-13
题
5-7
G
?
s
?
?
3
.
< br>92
相频特性曲线
s
?
0
.
5
s
?
1
?
< br>(c)
G
?
s
?
?
0
.
5
?
2
s
?
1
?
，系统的相频特性曲线如图
A-5-14
所示。
s
2
?
0
.
5
s
?
1<
/p>
?
图
A-5-14
题
5-7
G
?
s
?
?
0
.
5
?
2
s
?
1
?
相频特性曲线
< br>
2
s
?
0
.
5
s
?
1
?
5-8 (a)
闭环系统不稳定。
(b)
闭环系统稳定。
(c)
闭环系统稳定。
(d)
闭环系统稳定。
2
< br>e
?
?
s
5-9
G
?
s
< br>?
?
s
?
1
?
s
?
?
1
?
0
.<
/p>
5
s
?
?
?
0
时，经误差修正后的伯德图如图
A-5-15
所示。从伯德图可见系统的剪切频率
?
c
?
1
.
15
rad
/
s
，在剪切频
率处系统的相角为
?
(
?
c
)
?
?
90
?
?
arctg
?
c
?
arctg
0<
/p>
.
5
?
c
?
?
168
.
9
?
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