-
西
北
#
’’<
/p>
B
年
*
月
工
业
大
学
学
报
?LS%
第
#)
卷第
)
期
#
’’
B
KEL4H01E3ME4NP2GN4H>E1N/OHF018HF24GFQ
O Q2 R N
TE1#)ME%)
%
复杂网络的度分布研究
摘
要
,
复杂网络的度分布与其拓扑结构紧密相关
-
绝大多数复杂网络具有无标度性
$$./0123422+
其幂律
度分布完全由度分布指数所确定
-
文中全面研究了复杂网络的度
分布指数与其拓扑结构
5
形
成原因以及传播动力学之间的关系
获得了下列结
论
,
实际网络的度分布指数不会低于
!(
度分布
指数介于
!6#
之间的复杂网络中存在数量较多的
789
节点
其边数与节点数之间的关系是非线
性的
节点数的增加将导致
边数的大幅度增加
(
度分布指数介于
#6:
之间的复杂网络中存在一定
数量的
789
节点
< br>
其边数与节点数之间的关系是线性的
大多数受成本制约的网络属于这种类
型
< br>(
度分布指数大于
:
的复杂网
络近似于均质网络
(
度分布指数
:
构成了复杂网络中病毒防治方式
的临界点
-
王
林
!
戴冠中
!
$$!%
西北工业大学
自动化学院
陕西
西安
&!
’
’
&#(#%
西安理工大学
自动化学院
陕西
西安
&!
’’
)*+
文献标识码
,?
文章编号
,!
’’’
@#&A*$$#
’’
B+
’
)@)
< br>’
A@
’
A
关
键
词
,
复杂网络
无标度
度分布
度分布指数
中图分类号
,;<)=;>!
复杂网络是复杂系统的高度抽象
它充满着自
然界
5
工程
界和社会界
如细胞中的新陈代谢网络
5
大脑中的神经网络
5
组成生态系统的食
物链网络
5
社
会关系网络
5
科研合作网络
5
经贸网络
5
互联网
5
万维
网以及电力网等等
C!6AD
-
由于各种复杂网络的规模庞大
$$
其节点数从
几
千到几亿不等
+
< br>过去研究人员将其抽象成随机网络
进行研究
并形成了一套完整的随机图理论
-
根据随
机图理论
复杂网络的度分布服从
>EFGEH
分布
G
其
特征是网络中绝大多数节点的度值分布在均值附
近
在此意义下
复杂网络是均质网络
CBD
人员从不同视角对复杂网络进行了深入研究
< br>-
研究
内容涉及复杂网络的拓
扑结构
5
复杂网络中无标度
特性的形成机理
5
复杂网络的演化模型
5
复杂网络上
的动力
学行为等
-
研究方法包括
#
个方面
,I
分析现
<
/p>
有实际网络的结构资料
进一步揭示隐含在
网络背
后的组成原则
(J
建立各种分析模型
进行理论研究
< br>
以及仿真分析
CB6!!D
-
近
A5B
年来
由于研究人员的努
力
复杂网络已经成为一个横跨多门学科的边缘研
究方向
-
研究表明
< br>
复杂网络的拓扑结构性质以及复杂
网络上的动力学行为等均紧密依赖于复杂网络的度
分布
-
进一步说
由于复杂网络的无标度特性
复杂
网络的度分布服从幂律分布
因而度分布完全由其
幂指数
$$
度分布指数
+
所确定
-
统计结果表明
绝大多
数
人
造
网
络
的
度
分
布
指
数
均
在
#6
:
之
间
(
另
一
方
面
网络动力学
$$<
/p>
如传染病传播
5
病毒传播等
+
的一些
关键性质
$$
如传播阈值
+
也直
接与度分布指数相关
-
但是就作者所知
专门针对复杂网络的度分布以及
度
分布指数的研究尚未见诸于文献
因而上述统计
< br>
结果的理论根由尚未揭示
-
本文将对度分布指数的取值范围
5
度分布指数
< br>
-
近年来
< br>由于网络技术
5
计算机技术以及信息处
< br>
理技术的迅速发展
研究人员获
得了许多大型实际
网络的数据并对其进行了一系列统计分析<
/p>
-
统计结
果表
明
复杂网络不是均质网络
而是异质的
(
复杂
网络的度分布不
是
服
从
>EFGEH
G
分
布
而
是
服
从
幂
律分布
-
研究人员把度分布服从幂律分布的
网络称
为无标度网络
CBD
-
无标度复杂网络的发现将人们对于复杂网络的
认识推向了新的高度
来自若干研究领域
$$
包括统计
物理
5<
/p>
数学
5
控制
5<
/p>
计算机网络及社会科学等
+
的研究
U
收稿日期
,#<
/p>
’’
A@#@)
万方数据
作者简介
,
王
林
<
br>&
<
br>#
$$!
西北工业大学博士生
主要从事复杂系统及复杂性科学的研究
-
^C7F^
西
北
工
业
大
学
学
报
第
4C
卷
与网络拓扑结构之间的关系以及度分布指数对于网
络动力学行为的影响等几个问题进行深入探讨
!
情形
/2. /2.
由于
3
,
25
% N&/
.25
)#
3
,
.25
%
N&/
425
)#
,%.
,%.
度分布指数与网络拓扑结构的理论
分析
可以
将复杂网络看成一个图
#
图中的节点就是
个体
#
节点之间的边表示个体之间
的关系
!
设
$$%
’
#()
为一个复杂网络所对
应的图
#
’是所有节点
有
+
G
% N&/)
+
D
4
%
N&/
4
) 0 %
/+
G
%
N&/
4
)
&O)
可以看出
#
当网络的规模趋于无穷时
一阶矩
1
二阶矩均发散
#
另外
#
可以证明
#
方差亦发散
!
同时
#
网络中的总边数
0
与完全网络中的总边数
的集合
#(
是所有边的集合
#
节点的度是指连接到该
节点的边数
!
本
文中将假定复杂网络中不存在孤立
节点
#
不
存在自
环
#
节
点
之
间
最
多
只
有
一
条
边
!
定
义
度
分
布
*
+
&,)
为
*
度
等
于
,
的
节
点
数
+
&,)%
节点总数
&-
正整数
,)
&.)
设节点总数为
/#
边总数为
0#
则由于每个节
点的度最少为
.1
最多为
/ 2
.#
易知度分布存在下
列关系
/2.
3
+
&
完备性
)
&4)
,%.
* &,)% .
对于无标度复杂网络
#*
+
&,)
是一个幂函数
#
即
存在
56
7
及
8
/
6 7#
使得
*
25
+
&,)%
8
/
,
&9)
式中
#5
称为度分布指数
&:;<
=;;;>?@A;AB)!
下面分
析
5
的取值范围与网络拓扑结构之间的关系
!
< br>根据完备性
#
可得幂律中的系数如下
8 %
.
/
/2.
&C)
3
,
25
,%.
设度的一阶矩和二阶矩分别为
+
D
和
+
D
4
#
则
/2.
/2.
+
.25
D
%
3
&E)
,%. ,%.
,* &,)%
8
+
/
3
,
+
D
4
%
3
&F)
,* &,)% 8
+ /
3
,
再设度的均值和方差分别为
+
G
和
+
H
#
则
+
G
% +
D
+
H
%
+
D
4
2
+
4D
&I)
显然
#
随着
5
的增加
#
上述一阶矩和二阶矩均在<
/p>
减小
#5J K
时
#+
G
J
.#+
H
J
7!
反映在网络的拓扑
结构上
#
这意味着随着
5
的增加
#
网络由异质向均质
过渡
!
下面
针对
万方数据
5
的
不同取值对一阶矩和二阶矩进行
估计
#
并说明其物理意义
!
P
/&/ 2 .)
处于同一个数量级
Q
由于实际的大型
4
!
复杂网络都是稀疏网络
#
因此
#
可以断言
#7L
5M .
在实际网络中是不存在的
!
情形
R 5% .
/2.
/2.
由于
3
,
25
%
N&S/)#
3
A
,%. ,%.
,
.25
%
N&/)#
有
+ % N +
D D
4
% N
P Q
/ /
4
S/ S/
A A
P Q
4
0 % /+ % N
&T)
P
/
D
SA/
Q
类似于情形
.
中的讨论
#5%
.
在实际网络中
也是不存在的
!
情形
U .M 5M 4
/2.
此时
#
当
/
充分大时
#
由于
3
,
25
收敛
#
有
,%.
+ % N&/
D D
425
) +
4
% N&/
925
)
0 % /+ % N&/
G
925
) &.7)
可以看出
#
当网络的规模趋于无穷时
#
一阶矩
1
二阶矩均发散
#
另外
#
可以证明
< br>#
方差亦发散
!
与情形
.
和
情
形
4
的
区
别
是
V
网
络
中
总
边
数
0
的
数
量
级
N&/
9
25
)
已
显
著
低
于
完
全
网
络
中
的
总
边
数
的
数
量
级
!
这类网络属于稀疏网络
#
但是由于均值和方差都
发散
#
说明网络中度值很高的节点
&
称为<
/p>
WXY
节点
)
偏多
!
对于技术类网络来说
#
这意味着建设成本显著
提高
!
因此
#
技术类网络
&
如
ZB=A;B)
A;
的度分布指数
不应位于这个范围
!
情形
[ 5% 4
该情形的结论与情形
9
类似
!
情形
4M 5L 9
利用上述类
似的讨论
#
可以发现此时当
/
充分
大
<
/p>
时
#
度值的均值
+
G
收敛而方差
+
< br>H
发散
!
方差发散
说明度值的分布严重不均匀
]
均值收敛则说明平均
度值不会因为网络规模的增大而大幅
增加
!
因此
#
这
类网络存在大量度值很小的节点
#
也存在数量较少
的度值很高的节点<
/p>
&WXY
节点
)#
并且随着网络规模