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第二十二章量子力学基础作业分析
2008/12/26/
22.1
电子显微镜中电子从静止通过电势差为
U
0
的电场得到加速，
电子的德布罗意波
长
0.04
?
m
，
问
U
0
是
多少？
解：
根据
?
?
1
.
225
1
.
225
2
1
.
225
2
nm
，有
v
?
(
)
?
(
)
?
938
V
?
0
.
04
v
这样的电压不高，电子速度不会很大，可以用非相对论公式。
22.2
在电子显微镜中，以电子束代替光束，以电聚焦场和磁聚焦场代替
折射透镜。显微镜在最佳情况下，能分
辨的最小距离
(
显微镜的分辨本领
)
大致等于显微镜所用的电子
波长。一般的电子显微镜可采用电势差为
50kV
的电场加速电
子，试计算这种显微镜能够分辨的最小距离。
解：
由例题
22.1
可以看到，
当加速电压小于
1
0
5
V
时，
计
算电子波长时相对论效应是可以忽略不计的，
可以直
接应用（<
/p>
22-3
）式
?
?
1
.
22
5
U
?
1
.<
/p>
225
50
?
1
0
3
?
5
.<
/p>
5
?
10
?
3
nm
故这种电
子显微镜可以分辩的最小距离约为
5
.
5
?
10
?
3
nm
。
22.3
动能为
10
4
eV
的电子，其德布罗意波长是多少？如果电子通过直径
0.1mm
的圆孔，电子表现出粒子性还
是波动性？
解：
动能
E
k
?
10
4
eV
的电子，相当于电子经过
V
?
10
4
V
的电场加速后的情况，其德布
罗意波长为：
?
?
1
.
225
U
?
1
.
225
10<
/p>
4
?
1
.
225
?
10
?
2
nm
由于电子
的波长远小于圆孔直径（
0.1mm
）
，电子通过圆孔时将表现出粒子性。
22.4
为了探测质子的内部结构，曾在斯坦福直线加速器中用能量为
22GeV
的电子做探测粒子轰击质子。这样
的电子的德布罗意波长是多少？已知
质子的线度为
10
–
15
m
，这样的电子能用来探测质子内部的情况吗？
解：
电子动能已达到
22 GeV
，必须考
虑相对论效应，根据相对论动量与动能的关系
P
?
子的德布罗意波长为
1
2
?
2
E
E
，电
E
k
k
0
c
?
19
h
?
?
?
P
hc
2
E
k
?
2
E
k
E
0
?
6
.
626
?
10
?
34
?
3
?
10
8
22
2
?
2<
/p>
?
22
?
0
.
511
?
10<
/p>
?
3
?
1
10
?
1
.
6
?
10
9
?
5
.
17
?
10
?
17
m
这样的电子可以用来探测质子内部的情况。
< br>22.5
试证：在均匀磁场中运动的带电粒子，其波长与它在这磁场中轨迹的曲率
半径成反比。
< br>证：
设磁感应强度为
B
，带电粒
子电量为
q
，质量为
m
，在磁场中作圆周运动的半径为
R
，电子运动的向心力
由洛仑兹力提供
v
< br>2
qB
qvB
?
m
则
电子的动量
mv
?
R<
/p>
R
h
hR
?
?
R
即电子的德布罗意波长与曲率半径
R
成正比。<
/p>
mv
qB
电子
的德布罗意波长
?
?
22.6
室温
(300K)
下的中子称热中子，求热中子的德布罗意波长。
1
kT
1
.
38
?
10
?
23
?
300
解：
室温下的中心处于热平衡状态时，其平均速率
v
?
1
.
60
?
1
.
60
?
2
.
52
?
10
3
m
/s
?
2
7
m
n
1
.<
/p>
67
?
10
h<
/p>
6
.
626
?<
/p>
10
?
34
?<
/p>
?
1
.
6
?
10
?
10
m
?
0
.
16
nm
中子的德布罗意波长为
?
?
?
27
3
mv
1
.
67
?
10
?
2
.
52
?
< br>10
22.7
具有能量
15eV
的光子被氢原子中处于第一波尔轨
道的电子吸收而形成一光电子，
此光电子远离质子时的
速度为多
少？其德布罗意波长为多少？
解：
光
子被氢原子中的电子吸收，电子脱离氢原子核（质子）
，这实际上是一个光电效应过程，
电子的结合能
就是其电离能，根据光电效应方程，光电子的动能
E
k
?
h
?
?
E
b
?
15
?
13
.
6
?
1
.
4
eV
上式中
E
b
?
13
.
6
< br>eV
，
因为该电子是氢原子的基态电子。
脱离原子核后的电子其动能
E
k
?
1
.
4
e
V
是很小的，
故
2
E
k
2
?
1
.
4
?
1<
/p>
.
6
?
10
?
19
不必考虑相对论效应，电子的速度：
v
?
?
?
7
.
02
?
10
5
m
/s
?
31
m
9
.
1
?
10
h
6
.
626
?
10
?
34
?
9
?
?
1
.
04
?
10
m
?
1
.
04
nm
电子的德布罗意波长为：
<
/p>
?
?
mv
9
.
1
?
10
?
31
?
7
.
02
?
10
5
22.8
证明氢原子圆形玻尔轨道周长是电子德布罗意波长的整数倍。这是一种物质波驻波。
证：
根据玻尔角动量量子化假设，
mrv
?
n
?
,
n
?
1
< br>,
2
,
3
?
，
以及德布罗意关系式
?
?
h
，
则圆形玻尔轨道
的周长
mv
s
?
2
?
r
?
2
?
n
?
?
n
?
< br>
mv
–
15
< br>22.9
铀核的线度为
7.2
?
10
m<
/p>
，求其中一个质子的动量和速度的不确定量。
(
< br>不确定关系式为
?
x
?
p
x
?
?
)
。
质子在铀核中运动，
可以取铀核的线度为质子位置的不确定量，
?
x
?
7
.
2
?
10
?
15
m
，根据不确定关系
?
x
?
?
p
x
?
?
，质子动量的不确定量
h
1
.
05<
/p>
?
10
?
34<
/p>
?
?
1
.
47
?
10
?
20
kg
?
m
/s
解
：
?
P
x
?
?
15
?
x
7
.
2
?
10
?
P
x
1
.
47
?
10
?
20
?
?
8
.
8<
/p>
?
10
6
m/<
/p>
s
质子速度的不确定量
?
v
x
?
?
27
m
1
.
67
?
10
22.10
试证
：
在确定一个运动粒子位置时其不确定量若等于其德布罗意波长，
则同时确定该粒子的速度的不确定
量约等于此粒子的速度
(<
/p>
不确定关系式
?
x
?
p
x
?
h
)
。
解：<
/p>
根据题意，粒子位置的不确定量等于其波长，有
?
x
?
?
?
h
h
?
p
x
mv
x<
/p>
由不确定关系式
?
x
?
?
p
x
?
h
，有
?
p
x
?
m
?
v
x
?
h
?
mv
x
取等号，则
?
v
x
?
v
x
?
x
22.11
电视机
显象管中电子的加速电压为
9kV
，电子枪枪口直径取
0.50mm
，枪口离荧光屏距离为
0.30m
，求荧
光屏上一个电子形成的亮斑直径。这样大小的亮斑影响电
视图象的清晰度吗？
解：
电子在电子枪中经
U
?
9
kV
电场加速，获得动能
E
k
?
eU
?
9
KeV
，其纵向速度（取为
y
方向，且不需
2
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