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2010
年高考大纲全国卷
II
第
22
题
< br>设函数
f
?
x
< br>?
?
1
?
e
．
?
x
（Ⅰ）证明
：当
x
＞
-1
时，
f
?
x
?
?
（Ⅱ）设当
x
?
0
时，
f
?
x
?
?
x
；
x
?
1
x
，求
a
的取值范围．
ax
?
1
解析：
(1)
采用综合与分析相结合的办法：
x
1
x
即证：
1
-
x
?
1<
/p>
?
x
1
?
x
e
x
1
1
1
?
x
即：
?
x
只需证
1
?
1
?
x
e
1
?
x
e
当
x
?
?
1
时，要证
f
(
x
)
?
?
x
< br>?
1
?
0
e
x
?
0
?
只需证
e
x
?
x
?
1<
/p>
即证：
e
x
?
x
?<
/p>
1
?
0
(
x
?
?
1
)
令
g
(
x
)
< br>?
e
x
?
x
?
1
(
x
?
?
1<
/p>
)
则
g
'
(
x
)
?
e
x
?
1
(
x
?
?
1
< br>)
令
g
'
(
x
)
?
0
则<
/p>
x
?
0
令
g
'
(
x
)
?
0
则
?
1
?
x
?
0
?
g
(
x
)
在
(
?
1
,
0<
/p>
)
上为减函数，在
(
0
,
??
)
上为增函数
?
当
x
< br>?
?
1
时，
g
(
x
)
?
g
(
0
)<
/p>
?
0
命题得证
(2)
1
< br>当
a
?
0
时：易知
f
(
x
)
?
0
(
x
?
0
)
恒成
立，而
不满足
2
当
a
?
0
时，
f
(
x
)
?
x
即：
e
.
?
x
。
x
?
0
(
x
?
0
)
有解
ax
?
1
?
x
?
< br>1
?
0
(
x
?
0
)
令
h
(
x
)
?
e
?
x
?
x
?
1
(
x
< br>?
0
)
则
h
'
(
x
)
?
1
?<
/p>
e
?
x
?
f
(
x
)
?
0
?
h
(
x
)
在
[
0
,
??
)
上为增函数
?
当
x
?
0
时，
h
(
x
)
?
h
(
0
)
?
0
显然成立
x
?<
/p>
0
在
[
0
,
??
)
上恒成立<
/p>
1
?
ax
x
x
令
t
(
x
)
?
f
(
x
)
< br>?
?
1
?
e
?
x
?
?
0
ax
?<
/p>
1
ax
?
1
3
。
当
a
?
0
时：
f
(
x
)
?
（
我们的思路是这样的：注意到
t(0)=0
这就意味着
如果
t(x)
在区间内为减函数，
则一定有上式在
[
0
,
??
)
上恒成立
；
但是一旦函数
t(x)
在开始的某
段区间内位增函数
则函数
t(x)<
/p>
在这一区间内函数值是大
于
t(0)=0
的，则与函数在
[
0
< br>,
??
)
上
小于等于
0
恒成立矛盾，而我们判
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