-
【例题求解】
【例
1
】
<
/p>
如图，
PT
切⊙
O
于点
T
，
P
A
交⊙
O
于
A
、
B
两点，且与直径
< br>CT
交于点
D
，
CD=2
，
AD=3
，
BD=6
，则
PB=
．
(
成都市
中考题
)
思路点拨
综合运用圆幂定理、勾股定
理求
PB
长．
注：比
例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经
历了四个阶段：
(1)
平行线分线段对应成比例；
(2)
相似三角形对应边成比例；
(3)
直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；
(4)
圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．
【例
2
】
<
/p>
如图，在平行四边形
ABCD
中，过
A
、
B
、
C
三点的圆交
AD
于点
E
，且与
CD
相切，若
AB=4
，
BE=5
，
则
DE
的长为
( )
A
．
3
B
．
4
C
．
15
16
D
．
4
5
(
全国初中数学联赛题
)
思路点拨
连
AC
，
CE
，由条件可得许多等线段
，为切割线定理的运用创设条件．
第
1
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9
页）
注：圆中线段的算，常常需要综
合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对
图形的分解，注
重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．
【例
3
】
如图，△
ABC
内接于⊙
O
，
AB
是∠
O
的直径，
PA
是过
A
点的直线，∠
PAC=
∠
B
．
(1)
求证：
PA
是⊙
O
的切线；
(2)<
/p>
如果弦
CD
交
A
B
于
E
，
CD
的延长线交
PA
于
F
，
AC=8
，
< br>CE
：
ED=6
：
5
，
，
AE
：
BE=2
：
3
，求
AB
的长和∠
ECB<
/p>
的正切值．
(
北京市海淀区中考题
)
思路点拨
直径、切线对应着与圆相
关的丰富知识．
(1)
问的证明为切割线定理的运用创造了条件
；引
入参数
x
、
k
处理
(2)
问中的比例式，把相应
线段用是的代数式表示，并寻找
x
与
k
的关系，建立
x
或
k
的
方程．
【例
4
】
<
/p>
如图，
P
是平行四边形
< br>AB
的边
AB
的延长线上一点，
DP
与
AC
、
BC
分别交于点
E
、
E
，
EG
是过
B
、
F
、
P
三点圆的切线，
G
为切点，求证：
EG=DE
(
四川省竞赛题
)
思路点拨
由切割线定理得
EG
=EF
·
EP
，要证明
EG=D
E
，只需证明
DE
=EF
·
EP
，这样通过圆幂定理把线段
相等问题的证明转
化为线段等积式的证明．
注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能
化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化
问题的桥梁．
第
2
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9
页）
2
2
需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型
的问
题中．
【例
5
】
<
/p>
如图，以正方形
ABCD
的
AB
边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为
O
，
DF
切半圆于点
E
，交
AB
的延长线于点
F
，
BF
＝
4
．
求：
(1)cos
∠
F
的值；
(2)BE
的长．
< br>
(
成都市中考题
)
思路点拨
解决本例的基础是：
熟悉圆中常用辅助线的添法
(
连
OE
，
AE)
；
熟悉圆中重要性质定理及角与线
段的转化方法．对于
(1)
，先求出
EF
，
FO
值；对于
(2)
，从
△
BE F
∽△
EAF
，
Rt
△
A
< br>EB
入手．
注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，
分析图形可
从以下方面入手：
(1)
多视点观察图形．如本例从
D
点
看可用切线长定理，从
F
点看可用切割线定理．
(2)
多元素分析图形．图中有没有特殊点
、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三
角形．
(3)
将以上分析组合，寻找联系．
学力训练
1
．
如图，
PT
是⊙
O
的切线，
T
< br>为切点，
PB
是⊙
O
的割线，
交⊙
O
于
A
、
B
两点，
交弦
CD
于点
M
，
已知
CM=10
，
MD=2
，
PA=MB=4
，则
PT
的长为
．
(
绍兴市中考题
)
2
．如图，
PAB
、
PCD
为⊙
O
的
两条割线
，若
PA=5
，
AB=7
，
CD=11
，则
AC
：
BD=
．
3
．如图
，
AB
是⊙
O
的直径，
C
是
AB
延长线上的一点，
CD
是⊙
O
的切线，
D
为切点，过点
< br>B
作⊙
O
的切线交
CD
于点
F
，若
AB=C
D=2
，则
CE
=
．
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页）
(
天津市中考题
)
4
．如图，在△
ABC
中，∠
C=90
°，
AB=10<
/p>
，
AC=6
，以
AC
为直径作圆与斜边交于点
P
，则<
/p>
BP
的长为
( )
A
．
6
．
4
B
．
3
．
2
C
．
3
．
6
D
．
8
(
苏州市中考题
)
5
．如图
，⊙
O
的弦
AB
平分半径
OC
，交
OC
于
P
点，已知
PA
、
PB
的长分别为方程
x
2
?
12
x
?
24
?
0<
/p>
的两根，
则此圆的直径为
( )
A
．
8
2
B
．
6
2
C
．
4
2
D
．
2
2
(
昆明市中考题
)
⌒
6
．如图，⊙
O
的直径
Ab
垂直于弦
CD
，垂足为
H
，点
P
是
AC
上一点
(
点
P
不与
A
、
C
两点重合
)
，连结
PC
、
与
AB
交于
点
F
，给出下列四个结论：①
CH
2
=AH
·
BH<
/p>
；②
AD
＝
AC
：
⌒
⌒
PD
PD
、
PA<
/p>
、
AD
，点
E<
/p>
在
AP
的延长线上，
③
AD
=DF
< br>·
DP
；④∠
EPC=
∠
APD
，其中正确的个数是
< br>( )
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
(
福州市中考题
)
< br>7
．如图，
BC
是半圆的直径，
O
为圆心，
P
是
BC
延长线上一点，
PA
切半圆于点
A
，
AD
⊥
BC
于点
D
．
(1)
若∠
B
=30
°，问
< br>AB
与
AP
是否相等
?
请说明理由；
(2)
求证：
PD
·
< br>PO=PC
·
PB
；
(3)
若
BD<
/p>
：
DC=4
：
l
，且
BC
＝
1
0
，求
PC
的长．
(
绍兴市中考题
)
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2