-
第二十二章
一元二次方程
主备人：刘鸿智
教材内容
本单元教学的主要内容：
1.
一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）
，
一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解
决实际问题
.
2.
本单元在教材中的地位和作用：
教学目标
1.
一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。
2.
根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌
握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等
一元二次方程的基本解法
< br>.
3.
经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程
的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方
程这种重要数学工具的基本能力。
教学重点、难点
重点：
1
．一元二次方程及其有关概念
2.
一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法
）
3.
一元二次方程根与系数的关系
以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。
难点：
1.
一元二次方程及其有关概念
2.
一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.
一元二次方程根与系数的关系以及灵活
运用
课时安排
本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）
22
．
1
一元二次方程
1
课时
22
．
2
降次
7
课时
22
．
3
实际问题与一元二次方程
3
课时
教学活动、习题课、小结
1
静下心来教书，潜下心来育人
22.1
一元二次方程
教学目的
1
．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．
< br>
2
．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．
3
．使学生理解并能够掌握一元二次
方程的一般表达式以及各种特殊形式．
教学重点、难点
重点：一元二次方程的定义．
难点：一元二次方程的一般形式及
其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
教学过程
复习提问
1
．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
< br>
2
．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？
(l)3x+4=l
；
(2)6x-5y=7
；
3
．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新课
1
．方程的分类：（通过上面的复习
，引导学生答出）
学过的几类方程是
静下心来教书，潜下心来育人
2
没学过的方程有
x
< br>-70x+825=0
，
x(x+5)=150
．
这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”
像这样，我们把“只含有一个未知数（一
元），并且未知数的最高次数是
2
（二次）的整式方程叫做
一元二次方程
．”
据此得出复习中学生未学过的方程是
(4)
一元二次方程：
x
-70x+825=0
，
x(x+5)=150
．
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2
2
2
．一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程
x
-70x+825=0
和方程
< br>x(x+5)=150
，即
x
+
5x=150
，
可化为：
x
+5x-150=0
．
从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可
以化为
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
的形式．并称之为一元二次方程的一
般形式．
其中
ax
< br>，
bx
，
c
分别称为二次项、一次项、常数项；
a
，
< br>b
分别称为二次项系数、一次项系数．
【注意】二次项系数
a
是不等于
0
的实数
(a=0
时，方程化为
bx+c=0
，不再是二次方程了
)
；
b
，
c
可为任意
实数．
例
把方程
5x(x+3)=3(x-1)+8
化成一般形式．并写出它的
二次项系数、一次项系数及常数项．
课堂练习
P27
1
、
2
题
归纳总结
2
2
2
2
2
1
．方程分为两大类：
判别整
式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关
键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．
2
．一元
二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2
，则
这样的整式方程称一元二次方程．
其一般形式是
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
，其中
b
，
c
均可为任意实数，而
a
不能等于零．
布置作业
：习题
22.1
1
、
2
题．
达标测试
1.
在下列方程中
,
一元二次方程的个数是
( )
2
3
静下心来教书，潜下心来育人
①
3x
+7
=0,
②
ax
+bx+c=0,
③
(x+2)(x-3)=x
-1,
④
x
-
5
x
+4=0,
⑤
x
-(
2
+1)x+
2
=0,
⑥
3x
-
2
2
2
2<
/p>
2
2
4
+6=0
x
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
2.
关于
x
的一元二次方程
3x
=5x-2
的二次项系数
,
一次项和常数项
,
下列说法完全正确的是
< br>( )
A.3,-5,-2 B.3,-5x,2
C.3,5x,-2 D.3,-5,2
3.
方程
(m+2)
x
m
2
+3mx+1=0
是关
于
x
的一元二次方程
,
则
( )
A.m=
±
2
B.m=2 C.m=-2
D.m
≠±
2
4.
< br>若方程
kx
+x=3x
+1
是一元二次方程
,
则
k
的取值范围是
5.
方程
4x
=3x-
2
+1
的二次项是
,
一次项是
,
常数项是
2
2
2
课后反思
：
22.2
解一元二次方程
第一课时
直接开平方法
教学目的
1
．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．
2
< br>．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程
ax
+c=0(a
＞
0
，<
/p>
c
＜
0)
的方法
．
教学重点、难点
重点：准确地求出方程的根．
难点：正确地表示方程的两个根．
教学过程
复习过程
回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．
求下列各式中的<
/p>
x
：
1
．
x
=225
；
2
．
x
-169=0
；
3
．
36x
=49
；
4
．
4x
-25=0
．
4
静下心来教书，潜下心来育人
2
2
2
2
2
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
根
．
解题的依据是
：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
即
一般地
，如果一个数的平方等于
a(a
≥
0)
，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．
引入新课
我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？
新课
例
1
解方程
x
2
-4=0
．
解：先移项，得
x
< br>2
=4
．
即
x
1
=2
，
x
2
=-2
．
这种解一元二次方程的方法叫做
直接
开平方法
．
例
2
解方程
(x+3)
2
=2
．
练习：
P28
1
、
2
归纳总结
1
．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方
法．
2
．直接法适用于
ax
2
+c=0(a
＞
0
，
c
＜
0)
型的一元二次
方程．
布置作业
：习题
22.1
4
、
6
题
达标测试
1.
方程
x
2
-0.36=0
的解是
A.0.6
B.-0.6 C.
±
6
D.
±
0.6
2.
< br>解方程
:4x
2
+8=0
的解为
A.x
1
=2
x
2
=-2 B.
x
1
?
2
< br>,
x
2
?
?
2
C.x
1
=4
x
2
=-4
D.
此方程无实根
3.
方程
(x+1)
2
-2=0
的根是
A.
x
1
?
1
?
2
,
x<
/p>
2
?
1
?
2
B.
x
1
?
1
?
2
,
x
2
?
?
1
?
2
C.
x
< br>1
?
?
1
?
2
,
x
2
?
1
?
2
D.
x
1
?
?
1
?
< br>2
,
x
2
?
?
1
?
2
4.
对于方程
(ax+b)
2
=c
下列叙述正确的
是
静下心来教书，潜下心来育人
5
A.
不
论
c
为何值
,
方程均有实数根
B.
方程的根是
x
?
c
?
b
a
C.
当
c
≥
0
时
,
方程可化为
:
ax
?
b
?
< br>D.
当
c=0
时
,
x
?
5.
< br>解下列方程
:
c
或
ax
?
b
?
?
c
b
a
①
.5x
-
40=0
②
.(x+1)
-9=0
③
.(2x+4)
-
16=0
④
.9(x-3)
-49=0
课后反思
2
2
2
2
第二课时
配方法
教学目的
1
．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．
2
< br>．
使学生能够运用适当变形的方法，
转化方程为易于用配
方法求解的形式，
来解某些一元二次方程．
并
< br>由此体会转化的思想．
教学重点、难点
重点：掌握配方的法则．
难点：凑配的方法与技巧．
教学过程
复习过程
用开平方法解下列方程：
(1)x
=441
< br>；
(2)196x
-49=0
；
引入新课
我们知道，
形如
x
-A=0
的方程，
可变形为
x
=A(A
≥<
/p>
0)
，
再根据平方根的意义，
用直接开平方法求解．
那
2
么，我们能否将形如
ax
+bx+c=0(a
＞
0)
的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们
这节课要解决的问
题．
新课
我们研究方程
x
+6x+7=0
的解法：
6
静下心来教书，潜下心来育人
2
2
2
2
2
将方程视为：
x
+2
·
x
·
3=-7
，<
/p>
即
x
+2<
/p>
·
x
·
3+3<
/p>
=3
-7
，∴
(x+3)
=2
，
2
2
2
2
2
这种解一元二次方程的方法叫做
配方法
．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再
把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解
．
例
1
解方程
x
-4x-3=0
．
配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．
例
2 <
/p>
解方程
2x
+3=7x
< br>．
2
2
练习：
P34
1
、
2
题
归纳总结
应用配方法解一元二次方程
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
的要点是：
(1)
化二次项系数为
1
；
(2)
移项，使方程左边为二次项和
一次项，右边为常数；
(3)
方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方
式
.
布置作业
：习题
22.2
1
、
3
题
达标测试
1.
方程
x
-a
=(x-a)
(a≠0)的根是
A.a B.0
C.1
或
a
D.0
或
a
2.
已知关于
x
的方程
(m+3)x<
/p>
+x+m
+2m-3=0
一根为
0,
另一根不为
0,
则
m
的值
为
A.1 B.-3
C.1
或
-3
D.
以上均不对
3.
若
x
-mx+
2
2
2
2
2
< br>2
2
1
是一个完全平方式
,
则
m=
4
A.1 B.-1
C.
±
1
D.
以上均不对
4.
方程
x
=5
的解是
,
方程
(x-1)
=5
的解是
,
方程
(3x-1)
=5
的解是
5.<
/p>
①
x
?
课后反思
：
7
静下心来教书，潜下心来育人
2
2
2
2
1
5
x
?
=(x- )
2
②
x
2
?
x
?
=(x+
)
2
2
2
第三课时
求根公式法
教学目的
1
．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由
此培养学生的分析、综合和计算能力．
2
．使学生掌握公式法解一元二次方
程的方法．
教学重点、难点
重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程．
难点：
1.
求根公式的推导过程．
2.
含有字母参数的一元二次方程的公式解法
．
教学过程
复习提问
提问：当
x
2
=c
时，
c
≥
0
时方程才有解，为什么？
练习：用配方法解下列一元二次方程
(1)x
2
-8x=20
；
(2)2x
2
-6x-1=0
．
引入新课
我们思考用配方法解一般形式的一
元二次方程，应如何配方来进行求解？
新课
(
引导学生讨论
)
用配方法解一元二次方程
ax
2
+bx+c=0(a
≠
0)
的步骤．
解：∵
a
≠
0
，两边同除以
a
，得
把常数
项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得
静下心来教书，潜下心来育人
8
(a
≠<
/p>
0)
的
求根公式
．用此公式解一元二次方程的方法叫做
公式法．
应用求根公式解一元二次方程的关键在于：
< br>(1)
将方程化为一般形式
ax
2
+bx+c=0(a
≠
0)
；
(2)
将各项的系数
a
，
b
，
c<
/p>
代入求根公式．
例
1
解方
程
x
2
-3x+2=0.
例
2 <
/p>
解方程
2x
2
+
7x=4.
例
5
解关于
x
的方程
x
2
-m(3x-2m+n)-n
2<
/p>
=0
．
练习
P37
1
题
归纳总结
1
．本节课我们推导出了一元二次方程
ax
2
+bx+c=0(a
≠
0)
的求根公式，即
要重点让学生注意到应用公式的大前提，即
b
< br>2
-4ac
≥
0
．
2
．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．
布置作业
：习题
22.2 5
、
8
、
10
题
达标测试
1.
若代数式
4x
2
-2x-5
与
2x
< br>2
+1
的值互为相反数
,
则
x
的值为
A.1
或
?
3
2
B.1
或
?
2
3
C
.-1
或
2
3
D.1
或
3
2
2.
对于一元二次方程
ax
2
+bx+c=0,
下列叙述正确的是
A.
方程总有两个实数根
B.
只有当
b
2
-4ac
≥
0
时
,
才有两实根
C.
当
b
2
-4a
c<0
时
,
方程只有一个实根
D.
当
b
2
-4ac=0
时
,
方程无实根
3.
已知三角形两边长分别是
1
和
2,
第三边的长为
2x
2
-5x+3=0
的根
,
则这个三角形
的周长是
静下心来教书，潜下心来育人
9
A.4
B.
4
1
1
C.4
或
4
D.
不存在
2
2
4.
如果分式
x
< br>2
?
2
x
?
3
的值为
0,
则
x
值为
x
?
3
A.3
或
-1 B.3 C.-1
D.1
或
-3
5.
< br>把
2
?
3
x
?
(
3
?
x
)
2
化成<
/p>
ax
+bx+c=0(a
≠
0)
的形式后
,
则
a= ,b= ,c=
2
6.
若分式
x
?
2
x
?
x
?
2
2
的值为
0,
则
x= <
/p>
2
7.
已知
x=
-1
是关于
x
的一元二次方程
ax
+bx+c=0
的根
,
则
2
2
2
b
c
?
=__
________.
a
a
8.
若
a
+b
+2a-4
b+5=0,
则关于
x
的方程
ax
-bx+5=0
的根是
___________.
课后反思
：
第四课时
因式分解法
教学目的
使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点、难点
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．
教学过程
复习提问
1
．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？
2
．方程
x
=4
的解是多少
？
引入新课
方程
x
=4
还
有其他解法吗？
新课
<
/p>
众所周知，方程
x
=4
< br>还可用公式法解．
此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解
法．
我
们仍以方程
x
=4
为例．
10
静下心来教书，潜下心来育人
2
2
2
2
移项，得
x
-4=0
，
对
x
-4
分解因式，得
(x+2)(x-2)=0
．
我们知道：
∴
x+2=0
，
x-2=0
．
即
x<
/p>
1
=-2
，
x<
/p>
2
=2
．
由上述过程我们知道：当方程的一
边能够分解成两个一次因式而另一边等于
0
时，即可解之．这种
方
法叫做
因式分解法
．
例
1
解下列方程：
(1)x
-3x-10=0
；
(2)(x+3)(x-1)=5
．
在讲例
1(1)
时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；
讲例
1(2)
时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．
例
2
解下列方程：
(1)3x(x+2)=5(x+2)
；
(2)(3x+1)
-5=0
．
在讲本例
(1)
时，要突出讲移项后提取公因式，形成
(x+2)(3x
-5)=0
后求解；
再利用平方差公式因式分解后求解．
注意：在讲完例
1
< br>、例
2
后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而
宜”．
例
3
解下列方程：
(1)3x
-16x+5=0
；
(2)3(2x
-1)=7x
．
练习：
P40
1
、
2
题
归纳总结
对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是
< br>
1
．将方程化为一般形式；
2
．把方
程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；
(
用初一学过的分
解方法
)
3
．使每个一次因式等于
0
，得到两
个一元一次方程；
4
．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．
布置作业
：习题
22.2
6
、
10
题
达标测试
11
静下心来教书，潜下心来育人
2
2
2
2
2
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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