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2017
年第二十二届
“华罗庚金杯”
少年数学邀请赛决赛试卷
（小
中组）
一、填空题（每小题
10
分，共
80
分）
< br>
1
．
（
10
分）
在
2017
个自然数中至少有一个两位数，
而且其中任意两个数至少有一个三位数，
则这
2017
个数中有
个三位数．
2
．
（
10
分）如图（
1
）所示，一个棋子从
A
到<
/p>
B
只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给
定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过
的格子数标在该行的左方．如果右图（
2
）中网格上方和左方
的数字也是根据以上规则确
定的，那么图中
x
< br>代表的数字为
．
3
．（
10
分
）
用
[
x
]
表
示
不
超
过
x
的
最
大
整
< br>数
，
例
如
[10.2]
＝
10
．
则
[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]
等
于
．
4
．
（
10
分）盒子里有一些黑球和白球，如果
将黑球数量变成原来的
5
倍，总球数将会变成
< br>原来的
2
倍．如果将白球数量变成原来的
5
倍，总球数将会变成原来的
倍．
5
．<
/p>
（
10
分）能被自己的数字之和整除的两
位数中，奇数共有
个．
<
/p>
6
．
（
10
分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下
一个长方形．
正方形边长和三角形直角边长都是整数．
若剪去部分的总面积为
40
平方厘
米，则长方形的面积是
平方厘米．
7
．
（
10
分）
小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．
从家到
商店距离是
500
米，
用了
7
分钟；
从商店到游乐
场以
80
米
/
分钟的速度要走
8
分钟；
从游乐场到学校的距
第
1
页（共
11
页）
离是
30
0
米，
走的速度是
60
米
/
分钟．
那么小龙从家到学
校的平均速度是
米
/
分钟．
8
．
（
10<
/p>
分）亚瑟王在王宫中召见
6
名骑士，这些
骑士中每个骑士恰好有
2
个朋友．他们围
着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图）
，结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰
好
都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有
种不同方法安排座位，使得每
一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以
后相同的，算同一种方法）
．
二、简答题（每小题
15
分，共
60
分）
9
．
（
15
分）如图所示，
两个边长为
6
的正方形
ABFE
和
CDEF
拼成长方形
ABCD
．
G
为
DE
的中点．连接
BG
交
EF
于
H
．求图中五边
形
CDGHF
的面积．
10
．
（<
/p>
15
分）乌龟和兔子进行
1000
米赛跑，兔子速度是乌龟速度的
5
倍，当它们
从起点同
时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领
先它，
兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后
10
米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少
米？
11
．
（
15
分）
如图，
一个边长为
3
的正六边形被
3
组平行于其
边的直线分割成边长为
1
的
54
个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？
< br>
12
．
（
15
分）
将
1
至
9
填入图的网格中．
要求每个格子填一个整数，
不同格子填的数字不同，
且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数
第
2
页（共
11
页）
字的整数倍．
已知左右格子已经填有数字
4
< br>和
5
，
问：
标有字母
x
的格子所填的数字最大
是多少？
第
3
页（共
11
页）
2017
年第二十二届“华罗庚金杯
”少年数学邀请赛决赛
试卷（小中组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每
小题
10
分，共
80
< br>分）
1
．
（
10
分）
在
2017
个自然数中至少有一个两位数，
而且其中任意两个
数至少有一个三位数，
则这
2017
个
数中有
2016
个三位数．
【分析】
按题意，
2017
个自然数中至少有一个两位数，
而任意两个数至少有一个三位数，
则可知，
两位数的个数不能大于
2
，
若有
2
个或
2
个以上的两
位数，
则取出的两个有可能
都是两位数，与题意不符，故只能有
1
个两位数，不难求得三位数的个数．
【解答】
解：根据分析，
2017
个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个
三位数，<
/p>
则可知，两位数的个数不能大于
2
，若有
2
个或
2<
/p>
个以上的两位数，
则取出的两个有可能
都是两位数，与题意不符，故只能有
1
个两位数，
而三位数的个数即为：
2017
< br>﹣
1
＝
2016
个．
故答案是：
2016<
/p>
．
2
．
（
10
分）如图（
1
）所示，一个棋子从
A
到
B
只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给
定棋子
的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过
的格子数
标在该行的左方．如果右图（
2
）中网格上方和左方的数字也是
根据以上规则确
定的，那么图中
x
代表
的数字为
2
．
【分析
】
首先分析题意，然后枚举出一种符合题意的画法即可．
【解答】
解：依题意可知：
路线如图所示：
第
< br>4
页（共
11
页）
< br>x
＝
2
满足条件．
故答案为：
2
3
．（
10
分
）
用
[
x
]
表
示
不
< br>超
过
x
的
最
大
整
数
，
例
如
[10.2]
＝
10
．
则
[
6048
．
【分析】
本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，
[]
内的数相加等
于
2017
，又因为
当
x
不是整数时，
[
x
]+[2017
﹣
x
]
＝
2016
，故两两相加，可以得到答
案．
【解答】
解：因为
2017
和
11
是质数，所
以
[]
内的数据都不是整数，
则
[
同理可得
[
[
]+[
]+[
]
+[
]
＝
2017
﹣
1
＝
2016
< br>，
]
＝
2016
，
]
＝
2016
，
< br>]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]
等
于
所以原式＝
2016+2016+201
6
＝
6048
．
故填：
6048
4
．
（
10
< br>分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的
5
倍，总球数将会变成
原来的
2
倍．
如果将白球数量变成原来的
5
倍，总球数将会变成原来的
4
倍．
【分析】
将黑球数量变成原来的
5
倍，总球数将会变成原来的
2
倍，黑球数增加
4
倍
，
总球数增加
1
倍，也就是黑球个数的
4
倍就是总球数，那么白球的个数是黑球个数的
4
﹣
1
＝
3
倍；把黑球数看成
1
份，白球数
就是
5
份，总球数就是
4
份；再根据白球数变成
原来的
5
倍，也就是增加
4
倍，即增加
3<
/p>
×
4
＝
12
份，这总球数就是
12+4
＝
16
份，用
16
份除以原来
的
4
份，即可求出总球数变成原来的几倍．
【解答】
解：把黑球看成
1
份，则白球是
3
份，总球数是
4
份；
当白球变成原来的
5
倍，就是增加
4
倍，即增加
3
×
4
＝
12
份
< br>（
12+4
）÷
4
＝
4
可以画图如下：
第
< br>5
页（共
11
页）
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