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第二十二章
二次函数
一、二次函数的有关概念：
1
、二次函数的定义：
2
b
，
c
< br>是常数，
a
?
0
）
的函数，
叫做二次函数。
一
般地，
形如
y
?
ax
?
bx
?
c
（
a
，
2
、二次函数解析式的表示方法
2
y
?
ax
?
bx
?
c
（
a
，
b
，
c
为常数，
a
?
0
）
（
1
）
一般式：
；
2
y
?
a
(<
/p>
x
?
h
)
?
k
（
a
，
h
，
k
为常数，
a
?
0
）
（
2
）
< br>
顶点式：
；
（
3
）
两根式：
y
?
a
(
< br>x
?
x
1
)(
x
?
x
2
)
（
a
?<
/p>
0
，
x
1
，
x
2
是抛物线与<
/p>
x
轴两交点的横坐标）
.
2
y
?
ax
?
bx
?
c
< br>图象的画法
二、二次函数
1.
基本方法：描点法
2
y
?
ax
?
< br>bx
?
c
化
为
顶
点
式
注
：
五
点
绘<
/p>
图
法
。
利
用
配
方
法
将
二
次
函
数
y
?
a
(
x
?
h
)
2
?
k
，确
定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左
右对称地描点画图
.
一般我们选取的五点为：顶点、与
y
轴的交点
?
0
，
c
?
、以及
?
0
，
c
?
关于对称轴对称的点
?
2
h
，
c
?
、与<
/p>
x
轴的交点
?
x
1
，
0
?
，
?
x
2
，
0
?
（若与
x
轴没有
交点，则取两组关于对称轴对称的点）
.
2.
画草图
抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的
交点
.
三、二次函数的图像和性质
2
y
?
ax
?
bx
?
c
的性质
1.
二次函数
（<
/p>
1
）
.
当
a
?
0
时，抛物线
开口向上，对称轴为
?
b
4
ac
?
b
2
?
?
?
，
< br>?
2
a
4
a
?
?
．
x
?
?
b
2
a
，顶点坐标为
当
x
?
?
b<
/p>
b
x
?
?
2
a
时，
y
随
x
的增大而减小；当
2
a
时，
y
随
x
的增大而增大；
< br>4
ac
?
b
2
b
x
?
?
2
a
时，
y
有最小值
4
a
．
当
（
2<
/p>
）
.
当
a
?
0
时，抛物线开口向下，对称轴为
x
?
?
b
2
a
，顶点坐标为
?
b
4
ac
?
b
2
?
?
?
，
?
2
a
4
a
?
?
．
当
x
?
?
b
b<
/p>
x
?
?
2
a
时，
y
随
x
的增大而增大；当
2
a
时，
y
随
x
的增大而减小；
4
< br>ac
?
b
2
b
x
?
?
2
a
时，
y
有
最大值
4
a
．
当
2.
二次函数
a
的
y
?
a
?
x
?<
/p>
h
?
?
k
2
的性质：
性质
x
?<
/p>
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
符号
开
顶
点
对
口方向
坐标
称轴
a
?
0
向
上
?
h
，
k
?
X=h
x
?
h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
y
有最
小值
k
．
x
?
h
时，
y<
/p>
随
x
的增大而减小；
a
?
0
向
下
?
h
，
k
?
X=h
x
?
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
h
时，
y
有最
大值
k
．
四、二次函数图象的平移
概括成八个
字“左加右减，上加下减”
．
五、二次函数与一元二次方程：
2<
/p>
2
一元二次方程
ax
?
bx
?
c
?
0
是二次函数
y
< br>?
ax
?
bx
< br>?
c
当函数值
y
?
0
时的特
殊情况
.
图象与
x
轴的交点个
数：
2
A
x
，
0
，
B
x
，
0
① 当
?
?
b
?
4
ac
?
0
时，图象与
x
轴交于两点
?
1
?
?
2<
/p>
?
(
x
1
?
x
2
)
，其
2
ax
?
bx
?
c
?
0
?
a
?
< br>0
?
x
，
x
中
的
1
2
是
一
元
二
次
方
程
的
两
根
．
这
两
点
间
的
< br>距
离
b
2
?
4
ac
AB
?
x
2
?
x
1
?
a
.
② 当
?
?
0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
③ 当
?
?
0
时，图象与
x
轴
没有交点
.
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