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河北省
2012
年教
师全员远程培训
保定市涞水县小学数学一班
第
8
期
2012
年
10
月
11
日
主编：
辅导教师
3526
一个教师超越其他教师不是最重要
的，
最重要的是不断地超越过
去的自己。教师要不断地超越过去
的自己，就要：以朴素的感情，调
整自已的心态；以奉献的精神，从事崇高的事业；以高
超的技艺，展
示个人的才华；以不断的追求，提升自身的价值。
?
小学教材中，
蕴涵函数思想的素材无处不在。
虽然这些内容散见于各册教材
中，
但它们所隐含的函数思想并
不是杂乱无序的。
在小学数学教材中渗透函
数思想主要体现在如
下三个方面：对“模式”的初步认识；对“关系”的体
验；
对多
种数学语言的感受和初步运用。
在教学中我们可以围绕这几方面进
行有效渗透。无论是新课的教学，还是练习课的教学，我们都可以有机的进
行渗透。<
/p>
?
熟悉各册
教材，
尤其是其中渗透的函数思想，
了解某一函数思想的源起和
发
展，
掌握它在各册教材中的前后联系，
这更有利于我们的教学和函数思想的
渗透。
?
教师吃透教材，领悟其中的数学思想是首要的
?
数学思想方法的教学离不开基础知
识和基本技能的教学，
我们要把数学思想
方法的教学有机地整合
在双基教学过程中。
数学思想方法是需要学生经历较
长的认识过
程，才能逐步体会、理解和掌握的。
?
数学思想蕴涵在数学知识形成、<
/p>
发展和应用的过程中，
学生只有积极参与教
学过程，独立思考、合作交流、积极积累数学活动经验，才能逐步感悟。
?
渗透函数是为以后的阶段打基础
数学教育的误区与盲点
作者：南京大学哲学系教授
郑毓信
这
里所说的“误区”
，主要是指数学教育领域中的这样一些理念——尽管其
基本含义没有什么错，但由于人们在接受这些理念时往往没有经过认真思考，
接
受以后又很少会对自己是否真正领会了精神实质，包括对其局限性做出深入
反思，因此就
很容易出现理解上的片面性与做法上的简单化；所谓“盲点”
，则
是指人们实践中不仅没能事先有所警惕与预防，在出现以后也往往视而不见、
听之任之
的问题。以下就针对数学教育的现实情况谈谈这个领域的误区和盲点。
一、聚焦“过程的教育”
。
1
．由“动态数学观”到数学学习的“活动化”
。
20
世纪
90
年代起在世界范围内先后开展的新一轮数学课程改革运动的一个
共同理念，就是突出强调了由“静态数学观”向“动态数学观”的转变及其对
于数学
教育的重要含义。这就正如美国著名数学教育家伦伯格所指出的：
“两千
多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的
集
合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可
错的、变化的
，并和其它知识一样都是人类创造性的产物……这种动态的数学
观具有重要的教育涵义。
”①
数学教育界普遍认为，
“动态数学观”最为直接的教育含义就在于：数学教
育不应唯一集中于作
为数学活动最终产物的知识性成分，而且也应高度关注相
应的数学活动。
这显然就是
“结果与过程”
这一对范畴近年来何以在数
学教育
(
乃
至一般教育
)
领域内获得普遍重视的主要原因，特别是，对于“过程”的突出强
调更可看成世界范围内新一轮数学课程改革的又一重要特征。
从这一角度去分析，我们也可更好地理解我国
2001
年颁布的义务教育《数
学课程标准
(
实验稿
)
》
(
以下简称“
《标准》
”
)
何以在传统的“知识技能目标”
之外，又专门引入所谓的“过程性目标”<
/p>
：
“
《标准》中不仅使用了‘了解
(
认识
)
、
理解、
掌握、
灵活运用’
等刻画知识技能的目标动词，
而且使用了
‘经历
(
感受
)
、
体验
(
体会
)
、
探索’
等刻画数学活动水平的过程目标动词”
；
进而，
突出强调
“
动
手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”
。
但是，究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵
?
这是否可等同于动
手实践与自主探究
?
什么又是“动态数学观”的主要教育含义，特别是，这是否
就意味着我们应由所谓的“结果的教育”转向“过程的教育”
?
这一做法在实践
中是否会造成一定的问题或消极后果
?
我们应如何去避免或纠正
?
笔者
以为，如
果对这些问题我们始终未能作出深入的思考，而只是停留于对“动态数学观”<
/p>
或“过程的教育”的突出强调，或是满足于对学生动手实践与主动探究的特别
推崇，就很容易在这方面陷入认识的误区。
应当强
调的是，国际上的相关实践已在这一方面为我们提供了直接启示。
如“探究学习”在
20
世纪
60
年代
的美国就曾得到积极提倡，但最终是一次失
败的努力。尽管存在多种“外部”的原因，但
最为重要的一个原因，是认为学
生无需通过系统学习，也即对于已有文化的认真继承就可
相对独立地做出各项
重要的科学发现，包括建立起相应的系统理论。另外，国际数学教育
界通过对
20
世纪
80
年代以
“问题解决”
为主要口号的数学教育改革运动进
行总结与反思，
得出的一个主要结论是：与对于过程的片面强调相对立，数学教学应当“
过程
与结果并重”②。
当然，上述共
识的形成在一定意义上也可看成课程改革逐步深入的一个具
体标志，但我们显然又不应以
此去取代对于“数学活动”各个问题的深入分析。
作为“四基”之一，
< br>“基本活动经验”已被正式纳入到了修改后的《数学课程标
准》之中。这一事实更
加凸显了认真做好这方面工作的重要性和紧迫性。
2
．
“数学活动”的具体内涵。
究竟什么是“数学活动”的基本形式或具体内涵
?
读者
特别是一线教师或许
可以首先尝试着对这一问题作出自己的解答。
相信很多数学教师都会给出一种解答：观察、实验、总结、归纳、证明。
但是，我们又只需与著名数学家的相关论述作一对照就可立即看出这种解答是
过于狭窄了，特别是未能很好地体现“数学活动”相对于一般“科学活动”的
特殊性。
以下就是人们经常提到的一些论述：
“模式的建构与研究”
(L
．
Steen)
，
“数学化、公理化与形式化”
(
弗
赖登塔尔
)
，
“问题解决”
(
波利亚
)
，
“抽象、
证明与应用”
(
亚历山大洛夫
)
，等等。这些论述从总体上说清楚地表明了数学
活动的复杂性和多元性，由此可以得出的一个直接结论就是：将“数学活动”
简单等同于某种具体的数学活动，无论这是指外部的操作性活动，也即所谓的
“动手实践”
，或是指归纳与演绎这样的逻辑思维活动，乃至别的什么活动，都
是不够恰当的。
当然，相对于抽象的论述而
言，更为重要的又在于我们如何能够通过实际
参与数学活动获得这方面的直接体验。
由台湾学者黄敏晃教授提供的以下实例
(
《
‘鸽笼原理’谈起”
》③
)
可
以看成这方面的一个
积极努力：在小学数学教师的一个进修班上，学员被要求
通过小组合作求解如下问题：如
何利用“鸽笼原理”证明：
“从
l
，<
/p>
2
，
3
，…
2n
这些自然数中，任取
n+1
个数，其中必有两个数互质”
。以下就是这些学员在当
时所从事的一些具体活动：
(1)
特殊化。如令
n=3
，并就这一实例对结论进行验证。
(2)
猜想与证明。
正是通过实例的具体考
察，他们发现了“两数互质”的一些具体类型，如“两
个连续的自然数互质”
，并且他们对结论的正确性进行了证明。
(3)
分
析、聚焦、
解决问题。通过分析，他们又认识到了，为了解决原来的问题，还需要证明所
有的取法都可以归结为上述类型，包括如何能够利用“鸽笼原理”去进行证明。
(4)
反思与推广。即作出如下的推广：
“从任
意一个自然数
a
开始，连续罗列
2n<
/p>
个数：
a
，
a+
l
，
a+2
，
a+3
，…
a+2n-1
。在这些自然
数中任取
n+1
个数，其中必
有两个数
互质。
”
由此可见，只有通过亲身实
践我们才能获得对“数学活动”更为深刻的理
解，如究竟什么是数学中的“尝试”及其与
“特殊化”的重要联系；什么是数
学中发现规律的主要途径；什么又应被看成证明的本质
：是逻辑思维，还是获
得更为深刻的理解；
“问题解决”与“继
续前进”又存在怎样的关系。等等。
另外，也只有以实例为背
景去思考，我们才能更好地理解关于“数学活动”
的各种专门理论。例如，与各种过于笼
统的击啭
(
除去“学生主动探究”以外，
还有
20
世纪
80
< br>年代国际上十分流行的一个提法：
“学数学，做数学”
)
相比较，
所谓的“数学活动论”可以看成从一个侧面更为清楚地
揭示了“动态数学观”
的具体内涵及其教育含义，从而我们就应予以特别的重视。
具体地说，按照“数学活动论”
，数学不应
被等同于各个具体结论的简单汇
集，而应理解成由“问题”
、<
/p>
“语言”
、
“方法”
、
“命题”等多种成分所组成的一
个复合体，这就是从动态
角度考察数学得到的一个直接结论。这一结论具有重
要的教育含义：第一，由于“问题”
可以看成数学活动的直接出发点，因此，
在数学教学中我们就不仅应当十分重视提高学生
解决问题的能力，也应高度重
视学生提出问题能力的培养，即帮助学生树立良好的问题意
识”
。第二，从这一
角度我们也可更为深入地理解帮助学生学会
“数学地谈论”与“数学地写作”
的重要性，也就是说，数学学习事实上也可看成一种语
言学习。第三，由于每
个数学分支不仅具有自己的基本问题，往往也具有自己的特殊方法
，某些新的
数学分支的创立更依赖于新的研究方法的创建，因此，在数学教学中，我们也
应对方法予以足够的重视。
3
．学生学习活动”与“真正的数学活动”的必要区别。
从教育的角度去分析，我们又应特别重视在“学生的学习活动”与“真正
的数
学活动”之间存在的重要区别。
具体地说，
< br>就如
“真实数学”
(authentic
mathematics)
与
“学校数学”
(school
mathematics)
的
区分，
我们在此显然也应看到学生的
“数学活动”
与真正的
“数
学活动”之间所存在的重要区别，特别
是，学生的“数学活动”主要是一种“再
创造”
，并且是在教师
的直接指导下完成的，也即主要是一种文化继承的行为。
由此
可见，当前的一个紧迫任务，就是对“学生的数学活动”作出更为清
楚的界定，并依据学
生的认知发展水平对此在教学中作出合理定位。
日本的相关实
践为我们提供了直接的范例。日本同行通过对这些年的课改
实践进行总结和反思获得一项
进展：
在文部省
2008
年颁发的新修
订的中小学
《学
习指导纲要》中，不仅“数学活动”被列为与“
数与计算”
、
“量与测量”
、
“图
形”与“代数”等相提并论的又一新的学习领域，而且也较为详细地
列出了各
个年级在这一方面的具体要求。例如，他们为三年级规定了这样一些数学活动：
第一，用实物、语言、数、式子、图等思考并说明整数、小数、分数计算意义
和方法的活动；第二，用实物、图、数轴表示及比较小数和分数大小的活动；
第三，研究长度、体积、重量等单位的关系的活动；第四，用尺子和圆规画等
腰三角形
和等边三角形的活动；第五，从时间和地点等角度对资料进行分析整
理、列表表示的活动
。④
当然，从教学的角度去分析，我们还应更为深入地去研究
，在学生积极从
事上述“数学活动”的同时，教师又应如何去发挥应有的指导作用
?
例如，施银燕老师的《
“鸡兔同笼”问题
的另类教学》
(
详见《人民教育》
20
09
年第
7
期
)
就是这方面的一个很好实例。由这一例子可以看出：即使就“尝
试”这样一种“最原始的”探究活动而言，也具有十分丰富的思维内涵，从而
就必然地
有一个后天的学习过程，教师更应在这一过程中发挥十分重要的作用。
这就正如任课教师
所指出的：
“我们要做的是有计划、有顺序的尝试，需要理性
地
分析和调整，如何基于数学思想进行分析调整是这节课所要解决的问题；尝
试过程中伴随
着不断的猜测，等猜测变成确定的规律之后，就达到了尝试的最
高境界——不试。
”
在此我们可联系“数学活动”的科学性去
进行分析。例如，从“穷举”的
角度看，尝试应当注意避免遗漏；从方法论的角度看，尝
试又应力求“高效”
——王尚志教授在相关评论中指出，后者可看成数学中“逐步逼近法
”的本质
所在。更为一般地说，这也就如同波利亚所指出的：
“
在解题的每一阶段……我
们都要用已经得到的知识去得出更多知识。我们要靠逐省逐省的
占领去最后征
服一个王国。在每个阶段，我们利用已被征服的省份作为行动基地去征服下
一
个省份。
”⑤
王尚志教授还提到：
“现在老师们中间有一个认识值得讨论：教最巧的方法
是最好的，认为巧是聪明的标志。我建议对好方法作重新思考：对学生而言哪
个更自然，可能更为重要……越是自然的，也越有潜能。
”
从这一角度去分析，我们也可更好理解“尝试”这一方法何以会引起不少
著名科学哲学家与数学哲学家的特别重视。对此可见波普尔的《猜想与反驳》
与
拉卡托斯的《证明与反驳》
。当然，通过阅读这些著作我们也可获得关于“数
学活动”更为深人的认识。另外，还应提及的是，有不少数学教育家也曾对此
作过专门研究。如英国学者梅森与美国学者舍费尔德就都曾经对数学中的特殊
化方法进
行过专门分析。
二、两极分化与“精英教育”
。
学生“两极分化”的加剧以及“精英教育”的缺失，是当前数学教育一个
严峻的现实。
但是，这一提法本身不已包含了一定的内在
矛盾吗
?
因为，所谓的“两极分
化”就
是指一部分学生学得越来越好，我们又如何能够同时去断言“精英教育
的缺失”
?!
笔者以为，这一疑问的存在恰恰清楚地表明了对于相关现象作出深<
/p>
入分析研究的必要性。
1
．学生两极分化的加剧。
这是笔者在
2005
年就已提到的一个看法：<
/p>
“以下的现象应当引起我们的高
度重视：在先前主要是在小学三年
级才开始出现的‘学生两极分化’
，的现象，
现今在小学一年级
就已开始凸现出来。
”
“当然，我们
在此不应‘谈虎色变’
，毋宁说，这即是十分清楚地表明了深
入
开展相关研究的重要性和紧迫性，特别是，所说的‘新的两极分化’是否真
的存在
?
或者说，我们究竟可以在多大的范围与程度上谈及‘新的两极分化’
?
进而，所说的‘新的两极分化’与‘先前的两极分化，是否具
有相同的性质，
还是有着不同的内涵或表现形式
?
什么又是造成所说的‘新的两极分化’的主要
原因
?
……我们并应如何去解决所说的‘新的两极分化’？”⑥
由以下的教学实例我们就可具体了解现今在数学教育领域中出现的究竟是
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