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基于双变量模型的子带自适应滤波方法
侯建华
熊承义
（中南民族大学电子信息工程
学院
,
武汉
430074
）
摘
要
利用贝叶斯最大后验估计理论研究
了双变量层间模型、
模型的子带自适应
参数估计方法，
推导了对应的萎缩函数；
在此基础上设计了一种子带自适应图像
滤波方法，
并与两种基于模型的类似算法进行了比较。
< br>实验结果表明：
利用小波
系数层间模型可以有效地改善图
像去噪质量。
关键词
小波系数；最大后验估计；双变量模型；子带自适应
中图分类号
TP391
文献标识码
A
文章编号
1672-4321(2005)04-0042-03
A
Sub-Band Adaptive Image
Filtering MethodBased on Bivariate Model
Hou Jianhua Xiong Chengyi
Abstract
The
paper has investigated the bivariate model using
Bayesian maximum a posteriori
(MAP)
estimation theory. The sub-band adaptive method
for parameter estimation is discussed
and the corresponding shrinkage
function is derived. A
sub-band
adaptive image filtering method
is
designed and compared with other two similar
algorithms which are also based on statistics
modeling of wavelet coefficients.
Experiment results show that image denoising can
be improved
by exploiting wavelet
interscale models.
Keywords
wavelet coefficients; maximum a
posteriori estimation; bivariate model;
sub-band adaptive
Hou
Jianhua
Assoc Prof, College
of Electronics and Information Engineering,
SCUFN, Wuhan 430074,China
大量研
究表明，
图像小波系数之间存在着一定的相关性，
利用这种相关
性可
以显著改善有关算法的性能。具体地讲有
2
点：
(1)
小波系数具有空间聚集性
< br>(Clustering)
，即如果某一系数较大
(
或小
)
，则与其相邻的系数也往往较大
(
或小
)
；
(2)
小波系数具有尺度传递性
(Persi
stence)
，
即大
(
或小
)
的系数有沿尺度传播的趋向
< br>[1]
。依据这些相关性和小波系数的非高斯特性，已提出了多种图像小波系数的
先
验分布模型，例如广义高斯分布
[2]
、拉普拉斯分布
[3]
这些层内模型利用了子带内
的空间聚集性，
在图像编码、
去噪领域得到了成功
的应用。
另一类层间模型则根
据小波系数的尺度传递性
,
对
“父”
“子”
系数间的依赖性进行描述。
例如
Shapi
ro
提出的小波零树编码算法是应用该特性的成功典范
[4]<
/p>
，
Crouse
的小波域隐马尔科
夫树模型在信号估计、图像分割、纹理分析等方面也表现出了出色的性能
[1]
。近
年来，
Sendur
提出了一种双变量模型，用非高斯密度函数对“父”
“子”系数分<
/p>
布进行建模，利用贝叶斯统计理论得到了其最大后验估计的解析表达式
[5]
。本文
对这种双变量模型进行了深入研究，并设计了
一种子带自适应图像滤波方法。
设
w
1
是当前的小波系数，
w
2
是上一个粗糙尺度中空间位置与
w
1
相同的系
数
,
即
w
1
的“父”系数。
y
1
=
w
1
+
n
1
，
y
2
=
w
2
+
n
2
(1)
用矢量表示为：
y = w + n
(2)
其中
y = ( y
1
, y
2
) , w = (
w
1
,
w
2
) , n =
(n
1
,
n
2
)
。
为了更好地利用小波系数的相关性，
Sendur
等统计了大量自然图像小波系数
直方图中“父”
“子
”系数间的概率分布，提出了一种双变量混合模型来刻画这
种关系
[5]
：
p
w
(
w
)
?
3
2
?
?
2
?
3
exp
?
?
?
?
?
2
2
w
1
?
w
2
< br>?
?
,
(3)
2
基于双变量模型的最大后验估计
2.1
贝叶斯最大后验估计理论
<
/p>
为简单起见，
先考虑标量形式的
MAP<
/p>
估计。
设
y=w+n
分别代表观测到的含
噪图像、真实图像以及独立同分布高斯噪声的小波系数。
n
服从
N(0,
?<
/p>
(
y
)
我们的目
的是从观测系数
y
中得到真实系数
w<
/p>
的估计
w
。
<
/p>
?
n
2
)
分布。
设
p
w
(w)
、
p
n
(n)
分别是真实系数
w
、噪声系数
n
的概率密度函数
(p
df)
。在贝
叶斯统计理论中。
最大后
验估计
(MAP)
是一种常用的方法。
MAP
估计即在给定
y
条件下，使后验
概率密度
p
w|y
(w|y)
取最大的
w
：
?
(
y
)
?
arg
max
[
p
w
|
y
(
w
|
y
)]
w
w
,
(4)
利用贝叶斯准则，得到
?
(
y
)
?
arg
max
[
p
y
|
w
(
y
|
w
)
p
w
(
w
)]
?
arg
max
< br>[
p
n
(
y
?
w
)
?
p
w
(
w
)]
。
(5)
w
w
w
?
(y)
?
arg
max
[
lg(p
n
(y
-
w))
?
lg(p
w
w
w
(w))]
,
(6)
p
n
(
y
?
w<
/p>
)
?
1
2
?
?
n
?
(
y
?
w
)
2
?
exp
?
?
?
,
(7)
2
2
?
?
?<
/p>
定义：
f(w)
?
lg[p
w
(w)]
。
(8)
将（
7
）
（<
/p>
8
）代人（
6
）
得：
?
(
y
)
?
arg
m
ax
[
?
w
w
(
y
?
w
)
2
?
2
n
2
?
f
(
w
)]
，
(9)
?
y
?
w
?
n
2
?
f
?
(
w
)
?
0
，
(10)
?
(y)
。
利用
p
w
(w
)
得到
f
?
(
w
)
,
进而求
出方程
(10)
的解
,
即得对应的
MAP
估计
w
2.2
双变量萎缩函数
利用噪声独立同分布假设：
p
n
(
n
)
?
1
2
?
?
2
n
exp[
?
n
1
?
< br>n
2
2
?
n
2
2
2
]
。
(11)
将矢量
y
< br>、
w
、
n
以及
(11)
式代入
(6)
式：
?
(
y
)
?
arg
max
[
?
w
w
(
y
1
?
w
1
)
2
?
2
n
2
?
(
y
2<
/p>
?
w
2
)
2
?
2
n
2
?
f
(
w
)]
，
(12)
上式的等价方程为：
?
1
y
1
?
< br>w
2
n
?
?
)
?
0
?
f
1
(
w
(13)
?
2
y
2
?
w
?
n
2
?
)
?
0
?
f
2
(
w
(14)
?
)
f
2
(
w
?
)
分别代表
f
(
w
?
)
对<
/p>
w
1
、
w
2
的一阶导数：
其
中
f
1
(
w<
/p>
?
)
?
?
f
1
(
w
3
w
1
?
w
?
w
2
1
2
2
(15)
?
)
?
?
f
2
(
w
3
w
2
?
< br>w
?
w
2
1
2
2
(16)
将
(15)
、
(16)
代入
(13)
、
(14)
式<
/p>
,
经简单推导，得：
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