-
數
學
本
質
概
念
立
體
圖
形
T
K
U
9
3
A
0
7
彭
立
心
T
K
< br>U
9
3
A
0
8
陳
文
淑
目錄
壹、前言
.................................................
..................................................
.....................
2
貳、數學結構
..........................
..................................................
....................................
3
一、體積
..................................................
..................................................
............
3
二、正方體與長方體
(
皆為四角柱體
)
< br>.
...................................
...........................
4
（一）基本介紹
< br>............................................... .............................................
4
（二）正方體與長方體的特性比較
：
......................................
..................
5
三、柱體與錐體
............................
..................................................
......................
5
（一）基本介紹
........................
..................................................
..................
5
（二）角柱與角錐的特性比較：
.....................
...........................................
7
（三）圓柱與圓錐的特性比較：<
/p>
........................................
........................
8
<
/p>
四、球體
.........................
..................................................
.....................................
9
1 <
/p>
五、平面變柱體
…………………………………………………………
…
.
……
9
叄、認知結構
.................................
..................................................
...........................
10
< br>肆、學生迷思概念及教師教學策略
.....................
..................................................
...
12
一、從形成性評量來看學生的迷思概念
...........................................
...............
1
3
二、學生學習上的迷思概念
vs
教學者之對策
.................................
...............
1
7
三、各年級教學注意事項：
.........................
..................................................
...
2
1
伍、參考資料
...........................................
..................................................
.................
24
壹、前言
立體圖形係屬於圖形與空間
之範疇
。
兒童的生活空間中最常接觸的就是立體
圖形，而平面圖形宜從像立方體、錐體、柱體、球體、長方體的面來辨識。一般
在日常生活中常見的具體食物如盒子
、
箱子
、
罐頭……等
，
兒童通常都用三角
的
、
四角的、元的或像盒子的形狀，像球的形狀，像罐頭的形狀
等詞彙來描述它，因
為這個階段的兒童辨識物體的形狀通常是以物體整體的外觀來辨認<
/p>
（請參見認知
結構分析第一段）
，所用的
詞彙通常是像……的形狀。因此在初級的教學上就是
先讓兒童運用他們的詞彙來辨識球、
圓錐、圓柱和長方體等立體形體，之後教導
兒童開始藉由相同數量或不同數量全等的積木
堆積造型
，
進行物體之間形體大小
的比
較，漸漸帶入體積的概念與認識相關的單位名稱
（例如：立方公分
、公升）
。
爾後，兒童會開始接觸到
『角』
的概念，兒童可以由操作開始認識正方體和長方
體的構成
要素及透視圖與展開圖
。
接下來，
教學
的重點進入到讓兒童藉著觀察長
方體
、
正方體中邊與面的關係來建立平行與垂直的概念。
基於上述基本概念的循
序建立後
，
立體圖形的範疇即擴展至柱體與錐體間之間
相關概念之延伸與比較。
然而
，
有關面積與體積的測量往往受空間概念的影響甚鉅，
因此從幾何角度
2
來看
，
由於在邏輯體系中必須先給定一集合，
集合中的元素與子集間只利用某些
事實或敘述來闡述它們的關係，故從幾何組成因素的
觀點而言，
『線』是由無限
多個點所組合成的；
『面』則是由無限多條線緊密排列而成，至於『體』則是透
過面的堆積而形成的
，基於此，幾何課程往往根據
「點→線→面→體」
的結構而
設計。然而，教育學家往往從兒童的觀點，認為應從事實存在的物理現象著手，
如
John Grande(1987)
認為兒童
在早期是透過視覺、聽覺、觸覺與移動方式等
的活動經驗來探索他們的思考，這種對空間
的知覺是直覺的，是先於語言的，故
形成「體→面→線→點」的結構，前者從微觀（即組
成要素）出發，較為抽象；
後者從宏觀（即整體）出發，較為具體。
貳、數學結構
一、體積
（一）定義：
一物體的體積為此物體
所佔空間的大小
。
此一定義可獨立於物體之外，
而
成為某一封閉曲面內的空間之大小
。
若定義面積是封閉曲線所圍成的平面
區域的大小。
（二）三維空間的量：
面積和體積的
意義的唯一差別在於：一個是二維的；一個是三維的。
二維空間的每一點可畫出兩條互相垂直的線，如：
；
三維空間的每一點則可畫出三條互相垂直的線，如：
體積代
表三維空間的量，含有長、寬、厚、高等在空間佔有量的大小。
（三）物體佔空間的大小：
體積表示
物體佔空間的大小
，
不論是否為實心或空心物件，
均可透過視覺
觀察外部
的大小，如：大象比老虎大、籃球比棒球大，此均代表著前面所
佔的空間較後者為大，一般又稱為外體積。
（四）其他意義：
Linda,
Margaret & Olwen
（
1984
）則認為體積應包含下列四個
不同層面的意義：
3
1.
外體積
（
external volu
me
）
：
即透過視覺
< br>，
知覺到的物體占空間的大小，
不論其為實心或空心，如
：皮球、積木或空臬子。
2.
內體積（
internal voluem
）：即物件內部空間大小，此乃指空心物件的
內部容積，一般指的是裝載固體的小個
物，如：盒子內可裝８個白色
小積木，表示盒子的容積是８立方公分。
< br>
3.
排他性體積（
displace volume
）
：即物件體積的大小是透過排出的液量
表示原物件的
體積，如：石頭的體積，可透過將其擲入滿水位的水缸
內，流出的液體體積即表示石頭的
體積。
4.
液積與容量（
liquid volume and capa
city
）
：液積表示液體所佔有空間的
量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的最大裝載量，一般表示
裝載液體的量。<
/p>
二、正方體與長方體
(
皆為四角柱體
)
（一）基本介紹
定義
正方體
1.
是由面、邊、頂點組成。
長方體
1.
是由面、邊、頂點組成。
2.
各面是由大小相同的正方形
2.
相對的面是大小
、
形狀相同的
組成。
長方形組成。
3.
正方體有
6
個面
，
每個面都是
3.
長方體有
6
個面
，
兩兩對應的
大小一
樣的正方形。
面，相對的面大小形狀都相
同。
視圖
透視圖
4
展開圖
（二）正方體與長方體的特性比較：
特性
全等的面
頂點
邊
邊長
對應平行邊
體積
三、柱體與錐體
（一）基本介紹
定義
柱體
錐體
正方體
6
個全等的面
8
個
12
個
每一邊皆相等
三組
長×寬×高
長方體
3
對全等的面
8
個
12
個
三組
(
長、
寬、高
)
不同邊
長，每一組各四個邊
三組
長×寬×高
1.
我們依照柱體底面的形狀來
我們依照底面的形狀來稱呼錐
稱
呼
柱
體。
像
底
面是
三
角
體。當錐體的底
面是三角形、
形、四邊形、就分別稱它們
四邊形、五邊形及六邊
形時，
為三角柱、四角柱。
則分別稱它們為三角錐、四角
5
2.
兩個上下平行且全等的面稱
錐、五角錐和六角錐。
為柱體的底面；其
他的面稱
為柱體的側面。
分類
1.
直角柱
：
有上下為全等的
多邊形
的底，
且互
相平
行，其側面均為長方形。
2.
正角柱：與直角柱的唯一差
別在其底面均是正多邊形。
3.
斜角柱：有上下為全等的多
邊形的底，且互相平行，各
側面均為平行四邊形。
< br>
4.
正
圓
柱；
上下
為全
< br>等
的
圓
1.
正角錐：底面為正多邊形，
頂
點
在過
正多
邊
形
中
心
的
垂線上。自頂點至底面個頂
點連線都等長，其各側面都
是全等的三角形。正角錐可
依底面為正
n
邊形，稱為正
n
角錐。
2.
斜角錐：底面則為多邊形，
頂點沒有條件限制
形
，
側面
與底
面為
< br>垂
直
關
3.
正圓錐：底面都是圓形，頂
係。
5.
斜圓柱：上下底亦為全等的
圓形，上下底互相平行。
點
必
需在
底面
圓
心的
垂
線
上。
4.
斜圓錐：底面都是
圓形，頂
點沒有條件限制。
點、面和
邊
點的個數
=
底面邊數×2
的關係
邊
的個數
=
底面邊數×3
面
的個數
=
底面邊數
+2
展開圖
三
角
柱
三
角
錐
點的個數
=
底面邊數
+1
邊
< br>的個數
=
底面邊數×2
面
的個數
=
底面邊數
+1
長
方
體
四
角
錐
6
五
角
柱
五
角
錐
六
角
柱
（二）角柱與角錐的特性比較：
形狀
角柱
六
角
錐
角錐
立體結構圖
頂點
個數
邊
個數
形狀
底面
特點
個數
面
形狀
側面
特點
個數
面的總數
底面邊數×２
底面邊數×３
多邊形
底面邊數＋１
底面邊數×２
正多邊形
1
、兩個底面互相平行且全等
沒有垂直或平行的面
2
、底面和側面互相垂直
２個
長方形
底面和側面互相垂直
底面邊數
底面邊數＋２
１個
等腰三角形
側面上的邊有共同的頂點
底面邊數
底面邊數＋１
7
（三）圓柱與圓錐的特性比較：
形狀
圓柱
圓錐
立體結構圖
頂點
個數
邊
個數
形狀
底面
特點
個數
面
形狀
側面
特點
個數
面的總數
０個
２條
圓形
１個
１條
圓形
1
、兩個底面互相平行且全等
沒有垂直或平行的面
2
、底面和側面互相垂直
２個
展開後為長方形
曲面
１個
３個
１個
展開後為扇形
曲面
１個
２個
展開圖
8
展開後底面（圓形）的周長
展開後底面（圓形）的周長
＝側面（長方形）的長
說明
圓柱體的高
＝展開後側面
（長方形）
的寬
四、球體
球面是指一種三維閉曲面，其上每一點到給定點
（球心）
的距離都是相等的。
由於球心不易感覺到，因此若是將球體定義為球體
表面上任一點到球心的距
離相等，兒童較難體會。如果將球體定義為半圓形以直徑為軸，
旋轉一周，
並以可折疊的低采球為實例，就好得多。並可以指導兒童利用球形物體，切<
/p>
開觀察其截面圖，讓兒童發現球形的每一個截面是圓形的，且發覺當位置愈
中間時，截面會愈大。
五、平面變柱體
（一）意念簡介
< br>透過
「海綿膨脹」
使學生能夠製作簡單柱體
，
辨認各種柱體的形狀和名稱
，
以及掌握到柱體的概念。
（二）構思過程
從美勞
---
「海綿印畫」課題中，得到此意念。
（三）教具：膨脹海綿、膠盆一個、報紙、抹布
（四）教學步驟
每位同學在膨脹海綿上，繪畫並剪出不同的平面幾何圖形。
如：
＝側面（扇形）的弧長
9
然後，把「平面圖形」放在水中脹大，便會變成「柱體」
因膨脹海綿是上下膨脹，並不會左右膨脹，所以原來的平面形狀，會變成
柱體的頂部和底部形狀。
例如：三角形海綿變成柱體後，
該柱體的頂部和底部也是三角形，所以這
是一個三角柱體。
（五）實踐成效
1.
2.
學生非常投入，在海綿膨脹的一刻，同學都表現得很興奮。
<
/p>
因同學都親眼目睹平面變成柱體的過程
，
他們都能清楚理解到柱體的
頂部和底部是相同的，三角形變成三角柱體、圓形變成圓柱體
等。
3.
4.
同學也能以肯定的語氣告訴老師錐體是不能用此方法製造出來。
學生可初步理解到柱體高度的概念。
叄、認知結構
兒童的空間幾何思考模
式具有五個不同的發展階段
（
由
Pierre van
Hiele
和
Dina
van
Hiele-Geldof
兩位荷蘭教師所提出
，
其理論的優點不但可描述幾何知識發展
理論，還可以提供幾何教學的指導。
）
，分別是視覺、分析、非形式化的演繹、
形式的演繹、嚴密性等五個發展階段，每個階段均各具有其發展特徵。
1.
層次
0
：視覺
( visuality)
在這個
層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認，或再造出一
個與指定的圖形
相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。
【說明】
在此階段中，兒童是透過視
覺觀察具體實物，由實物的輪廓來辨識圖
形。例如：兒童所知道的長方形，是因為以前所
看到長方形就是這個
樣子或它是像門的樣子；兒童所知道的「正方形」
< br>、
「圓形」是因為它
10 <
/p>
長得「方方正正的」
，或它像以前所吃過的餅乾的樣子。
此階段的兒童可以學習數學非標準語言或數學術語。例如：兒童知道<
/p>
「正方形」
、
「圓形」
< br>這些術語但還不能了解
「正方形」
、
「長方形」
、
「圓
形」真正的定義
。故在低年級教學時，宜多安排具體物操作的活動，
諸如：滾動、堆疊、造型、塗色、描
繪……等活動，透過這些活動讓
兒童實際經驗並獲得概念。
2.
層次
1
︰分析
(analysis)
在這個
層次能分析圖形特徵及組成要素，但不能解釋性質之間的關係，也不能了
解正式圖形定義
。
【說明】
當兒童具有足夠的、完整的視覺辨識階段的特徵後，即進展到此一描
述階段。此階段的
兒童能開始分析幾何的概念，即透過觀察及實際驗
證的方法，分析圖形的組成要素及圖形
的性質。例如：兒童所知道的
「長方形」是因為它有四個直角，有兩個長邊，有兩個短邊
，有兩對
邊平行，所知道的「正方形」是因為它有一樣長的四個邊，有四個直
角。
3.
層次
2
︰非形式化的演繹
(informal deduction)
在這個層次能建
立圖形之間的關係及性質之間的關係網路，能了解定義並解釋非
正式的論証，但不能了解
證明或定理的重要性，不能由不熟悉的前題去建立證明
結果的成立。
【說明】
例如：兒童能了解到
長方形是一個直角的平行四邊形，正方形是長方
形的一種。
4.
層次
3
︰形式的演繹
(formal
deduction)
—
在這個層次
可以了解到證明的重要性和了解「未定義名詞」
、
「定理」和「
公理」
的意義，能嚴密地證明及建立定理間的關係網路，能比較一個定理的不同證明方<
/p>
式。
【說明】
兒童開始會了解到推論的重要性，了解到定理的不同證明方法。例
如：如果這個圖形是一個平行四邊形而且有一個直角，則可證明此圖
形是一個矩形。<
/p>
5.
層次<
/p>
4
︰嚴密性
(rigior)
在這個層次能學習不同的幾何系統，並在不同的幾何系統作比較，如歐氏幾何與
< br>
11
非歐氏幾何之比較。
國小階段學生的空間幾何思考模式，一般而言，屬於
Van <
/p>
Hiele
的是視覺期和描
述期
。
「視覺期」
的特徵是能依據
< br>「形體的外觀」
進行直接的辨識
、
比較
（比對）
、
操作；而「描述期」
的特徵是能依據「形體外觀的部分特徵及其間巨象的關連」
配合經驗進行形體性質的描述
、比對、和分析的活動。這個時期的兒童應透過視
覺觀察具體物，進行堆疊、製作、描繪
的操作性活動，並逐漸豐富視覺經驗而發
展出比對與分析圖形和形體的組成的起始能力。
高年級的學生應該已能夠透過
「視覺」和「自然語詞」
，觀察、
描述和比較基本的平面和立體圖形的特徵。此
外，學生能夠用文字或記號來描述平面和立
體圖形
（例如四邊形、立方體等）
的
性
質
、
透過實驗發現和實物比對說明圖形的特徵、
依據察覺的圖形特徵說出合於
某些性質的圖形及依靠觀察直接比較不同類圖形性
質的異同。
以上的發展階段，第三
、四階段屬於較高深的幾何思考，不屬於國小階段兒童，
因此低年級對幾何的理解須藉由
實物
，
不斷的具體經驗的學習，
以豐富
他們的視
覺經驗，使其在低階段的學習經驗豐富了之後，則可循序漸進到較高的階段。<
/p>
肆、學生迷思概念及教師教學策略
國
小兒童在幾何圖形與空間概念的認知
，
大都僅在視覺辨識與結構
分析時期，
由
透過視覺觀察具體物、堆疊、製作、描繪，逐漸發
展到能分析圖形的組成要素、
性質與關係。因此，國小數學課程中，圖形與空間的教學，
以能獲得與瞭解「各
種基本形體的概念」
、
「構成要素及其間關係」、
「運用各種工具和方法繪製基
本
圖形」
、
「認識與繪製展開圖、透視圖
、縮圖
、擴大圖」
等概念與技能為目標。
低年級以觀察、複製、描繪實物形體或其表面，分辨圖形的形狀與各部分特徵為
主
；
中年級乃透過製作探討各種簡單形體的構成要素及其間關係，
以及簡單畫圖
工具之運用；高年級則進一步透過操作與觀察，探討圖
形間的關係，並能做簡單
之應用。
教
師在教學之前必須詳細研究各單元的教學重點、教學方法、選擇教具、布置教
學情境，設
計診斷與評量的要項與方式。教學時，強調兒童自行建構，教師扮演
12
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