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第三十一讲
完全平方数和完全平方式
设
n
是自然数，
若
存在自然数
m
，
使得
< br>n=m
2
，
则称
n
是一个完全平方数
(
或平方
数
)
．
常
见的
题型有：
判断一个数是否是完全平方数；
证明一个数不是完全平
方数；
关于存在性问题
和其他有关问题等．最常用的性质有：<
/p>
(1)
任何一个完全平方数的个位数
字只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
，个位
数字是
2
，
3
，
7
，
8
的数
一定不是平方数；
(2)
个
位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为
6
，
而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)
在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)
任何一个平方数必可表示成两
个数之差的形式；
(5)
任
何整数平方之后，只能是
3n
或
3n+
1
的形式，从而知，形如
3n+2
的数
绝不是平方
数；任何整数平方之后只能是
5n
< br>，
5n+1
，
5n+4
的形式，从而知
5n+2
或
5n+3
的数绝不是平
方数；
(6)
相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)
如果自然数
n
不是完全平方数，那么它
的所有正因数的个数是偶数；如果自然数
n
是完全平方数，那么
它的所有正因数的个数是奇数；
(8)
偶数的平方一定能被
4
整除；奇数的平方被
< br>8
除余
1
，且十位数字必是偶数
．
例题求解
【例
1
】
<
/p>
n
是正整数，
3n+1
< br>是完全平方数，证明：
n+l
是
3
个完全平方数之和．
思路点拨
设
3n+1=m
2
，显然
3
卜
m
，因此，
m=3k+1
或
m=3k+2(k
是正整数
)
．
m
2
?
1
< br>?
3
k
2
?
2
k
．
若
rn=3k+1
，则
n
?
3
∴
n+1=3k
2
+2k+1=
k
2
+
k
2
+(
k+1)
2
．
m
2
?
1
?
3
k
2
?
4
k
?
1
若
m=3k+2
，则
n
?
3
∴
n+1=3k
2
+4k+2= k
2
+(k+1)
2
+( k+1)
2
．
故
n+1
是
3
个完全
平方数之和．
【例
2
】一个正整数，如果加上
100
是一个平方数，如果加
上
168
，则是另一个平方数，求
这个
正整数．
思路点拨
引入参数，利用奇偶分析求解．
<
/p>
设所求正整数为
x
，则
< br>
x+100=m
2
----
①
x+168==n
2
-----
②
其中
m
，
n
都是正整数，
②—①得
n
2
—
< br>m
2
=68
，即
（
n
—
m
）
(n+m)=2
2
×
17
．
----
③
因
n
—
m
，
n+m
具有相同的奇偶性，由③知
n
—
m
，
n+m
都是偶数．注意到
．
0
—
m
，
由③可得
?
?
n
?
m
?
2
?
n
?
m
?
2
?<
/p>
17
解得<
/p>
n=18
．代人②得
x=156
，即为所求．
【例
3
】
<
/p>
一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”
，比如
16=5
2
—
3
2
，
16
就是一个“智慧数”
．在正整数中从
1
开始数起，试问第
1998
个“智慧数”
是哪个数
?
并请你说明理由．
< br>
思路点拨
1
不能表为两个正整数的平方差，所以
1
不是“智慧数”
．对于大于
1
的奇
- 1 -
正整数
2k+1
，有
2k+1=(k+
1)
2
－
k
2
(k=1
，
2
，?
)
．所以大于
1
< br>的奇正整数都是“智慧数”
．
对于被
4
整除的偶数
4k
，有
4k=(k+1)
2
—
(k
—
1)
2
(k=2
，
3
，
?
)
．即
大于
4
的被
4
整除的
数都是“智慧数”
，而
4
不能表示为两个正整数平方差，所以
4
不是“
智慧数”
．
对于被
4
除余
2
的数
4k+2 (k=0
，
1
，
2
，
3
< br>，?
)
，设
4k+2=x
2
—
y
2
=(x+y)(x
－
y)
，其中
x
，
y
为正整数，当
x
，
y
< br>奇偶性相同时，
(x+y)(x
－
y)
被
4
整除，而
< br>4k+2
不被
4
整除；当
x
，
y
奇偶性相异时
，
(x+y)(x
－
y)
为奇数，而
4k+2
为偶数，总得矛盾．所以不存在
自然数
x
，
y
使
得
x
2
—<
/p>
y
2
=4k+2
．即形如
4k+2
的数均不为“智慧数”
．
因此，在正整数列中前四个正整数只有
3
为“智慧数”
，此后，每连续四个数中有三个
“智慧数”
．
因为<
/p>
1998=(1+3
×
665)+2
，
4
×
(665+
1)=2664
，所以
2664
是第<
/p>
1996
个“智慧数”
，
2665
是第
1997
个“智
慧数”
，注意到
2666
不是“智慧数
”
，因此
2667
是第
1998
个“智慧数”
，
即第
1998
个“智慧数”是
2667
．
【例
4
】
(2003
年太原市竞赛题
)
已知：五位数
abcde
满
足下列条件：
(1)
它的各位数字均不为零；
(2)
它是一个完全平方数；
(3)
它
的万位上的数字
a
是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次
构成的两位数
bc
以
及十位和个位上的
数字顺次构成的两位数
de
也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．
思路点拨
设
M
2
?
abcde
，且
a
?
m
2
(<
/p>
一位数
)
，
bc
?
n
2
(
两位数
)
，
de
?
t
2
(
两位数
)
，则
M
2
?
m
2
?
10
4
?
n
2
?
10
2
?
t
2
①
由式①知
M
2
?
(
m
?
10
2
?
t
)
2
?
m
2
?
10
4
?
2
< br>mt
?
10
2
< br>?
t
2
②
比较式①、式②得
n
2
=2mt
．
因为
n
2<
/p>
是
2
的倍数，故
n
也是
2
的倍数，所以，
n
2
是
4
< br>的倍数，且是完全平方数．
故
n
2
=16
或
36
或
64
．
当
n
2
=16
时，得
m
t
?
8
，则
m
=l
，
2
，
4
，
8
，
t=8
，
4
，
2
，
1
，后二解不合条件，舍去；
故
M
2
?
11664
或
41616
．
当
n
2
=36
时，得
m
t
?
18
．则
m=2
，
3
，
1
，
t=9
，
6
，
18
．最后一解不合条件，舍去．
故
M
2
?
43681
或
93636
．
当
n
2
= 6
4
时，得
mt
?
32
．则
m=1
，
< br>2
，
4
，
8
，
t=32
，
16
，
8
，
4
都不合条件，舍去．
因此，满足条件的五位数只有
4
个：
11
664
，
41
616
，
43
681
，
93
636
．
【例
5
】
<
/p>
(2002
年北京
)
能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与
2002
< br>的
和都是完全平方数吗
?
若能够
，请举出一例；若不能够；请说明理由．
思路点拨
不能找到这样的四个正整数
，
使得它们中任两个数的积与
2002
的和都是完全
平方数．
理由如下：
偶数的
平方能被
4
整除，
奇数的平方被
4
除余
1
，
也就是正整数的平方被
4
除余
< br>0
或
1
．
若
存在正整数满足
n
i
n
j
?
2002
?
m
2
；
i
，
j
=1
< br>，
2
，
3
，
4
，
rn
是正整数；因为
2002
被
4
除余
2
，
所以
n
i
n
j
被
4
除应余
2
或
3
．
(1)
若正整数
n
1
，
n
2
，<
/p>
n
3
，
n
4
中有两个是偶数，不妨设
n
1
，
n
2
是偶数，则
n
1
n
2
?
2002
被
4
除余
2
，与正整数的平方
被
4
除余
0
或
1
不符，所以正整数
n
1
，
n
2
，
n
3
，
n
4
中至多有—个是
偶数，至少有三个
是奇数．
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