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博弈论
(
部分英文版翻译
)
博弈论
托马斯
·
on/translator:·
xly
第一部分
:
公平组合游戏
1.
外卖游戏
< br>1.1
简单的外卖游戏
1.2
什
么是组合游戏？
1.3
P
状态和
N
状态
1.4
游<
/p>
戏
1.5
相关练习
2.
尼姆游戏初步分析尼姆和多堆尼姆游戏布顿理论证明守
财奴版尼
姆游戏相关练习
3.
图形游戏有向图形游戏
SG
函数
相关例子的一般图的
SG
函数
4.
组合游戏和
N
图游戏及
SG
定理的相关应
用
与休息游戏相关的练习
5.
硬币游戏的例子
二维空间中的硬币旋转游戏尼姆复杂的网格游戏练习
6.
绿色哈肯布什竹竿
树木上的绿色哈肯布什
普通根图练习的绿色引导
参考材料
第一部分
< br>:
公平组合游戏
1
。外卖游戏<
/p>
组合游戏是两人游戏。如果有足够的条件，当一方不能继续经营
时，
游戏的结果就会出来。
这个游戏的结果取决于一系列的状态
，
包括初
始状态和准备操作的玩家。游戏双方轮流操作，直到达
到最终状态。
最终状态意味着该状态不能再运行。此时，结果已经出现分歧。
这里有两个关于组合游戏的主要材料。一部是康威的《论数字与游
戏》
，
学术出版社
1
976
年出版。
这本书介绍了这一领域的许多基本思
想，
加速了这一领域今天的发展。
另一本更适合这
门课的参考书是学
术出版社于
1982
年出版的两卷本平装本，书名是《柏林坎普、康威
和盖伊的数学游戏制胜之道》
。这本书介绍了许多有趣的游戏，学习
数学的本科生可以理解。
这些理论可以分为两类。
公平游戏指的是任
何给
定的状态，游戏双方要采取的行动是相同的。另一方面，游击队
游戏意味着给定一个状态
，游戏双方将采取不同的行动。例如，国际
象棋是一种游击队游戏。在第一部分，我们只
研究
“
公平竞争
”
。公平
组合游戏的介绍可以在理查德
·
盖伊写的公平游戏中找到
(
发表在
1989
年的
COMAP
数学探索系列
中
)
。
让我们从一个简单的例子开始。
1.1
一个简单的外卖游戏。
这是这个公平组合游戏的一些规则
(
从一堆<
/p>
筹码中取一些
):
(1)
有两个玩家，我们分别将他们标记为
1
号和
2
号；
(2)
桌上有一
堆
筹码，总共
21
个筹码；
(3)
一次操作可以取
1
、
2
、
3<
/p>
个筹码，至少要取一个筹码，最多要取
3
个筹码。
(4)
轮流进行，从玩家
1<
/p>
开始；
(5)
拿最后一个筹码的玩家赢
(
不能继续的玩家输
< br>)
。
我们如何分析这个游戏？
玩家有获胜的策略吗？你喜欢成为第一名
还是第二名？这是个好决定吗？
我们将从最终状态到初始状态对游戏进行分析。
这种
方法有时被称为
逆向归纳法。如果只剩下
1
、
2
或
3
个筹码，那么下一个玩家可以一
次全部拿走并获胜。
假设还剩
4
份薯条。那么下一个玩家肯定会留下
1
、
2
或
3
个筹码，
然后他的对手会赢。
因此，
四个筹码的状态对于下一个玩家是失败的，
而对于前一个玩家是赢的。
如果还剩
5
、
6
或
7<
/p>
个筹码，那么下一个玩家可以拿
4
个筹码
赢。
如果还有
8
个筹码，下一个玩家肯定会留下
5
、
6
或
7
个筹码，这样
前一个玩家就可以赢了。
这样，我们希望能够将状态
改为
0
、
4
、
8
、
12
、<
/p>
16
并获胜。现在让我
们来分析一下以下
21
份薯条的状况。因为
21
不能除以
4
，所以我们
先赢了。唯一最好的办法就是先吃一份炸薯条，这样
XXXX
竞
赛就
成了一个正方形的棋盘。
表单，
初始化为空。
玩家可以选择一个空方块，
并在上面写下
S
或
O
。
谁先写连续的
SOS
，
谁就赢了。
如果没人能写出来，
那么这场比
赛就
是平局。
(a)
假设
n=4
，首先在第一个正方形上写
s
。证明最后一手会赢。证明
当
n=7
时，第一个玩家获胜。证明
n=XXXX
提出了一个广义的尼姆
对策和精致定理，称为
尼姆
(k).
尼姆
(K)
游戏基本上与尼姆游戏相同，
只是必须在一次操作中
从
K
堆筹码中取出筹码
(
给定
K
，并且必须从一堆筹码中
取出至少一
个筹码
)
。当
K=1
时，这是尼姆游戏。
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