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周期
3
意味着混沌
一．沙尔可夫斯基定理
抛物线映射分岔图，及其稳定和不稳定周期轨道。
?
在单峰映射中，倍周期分岔表示存
在
2
i
P
（
i
=
0,1,2,
…
）诸偶数周期轨道。
?
在混沌带中，则存在
3P
、
5P
、
7P
、
9P
、
…
诸奇数周期轨道。这些奇数周期轨道也按倍周期进一步分
< br>5
?
2
P
、
7
?
2
P
、
9
?
2
P
、
（
m
?
0,1,2,
）
岔，
得到
3
?
2
P
、
诸周期轨道。
?
倍周期分岔和混沌带中周期窗口的
所有周期轨道（包括周期窗口的精细结构）
，包括了全部
n
P
（周期
轨道）
。
?
当映射
中的参量
（如方程抛物线方程中的
μ
）
取某一定值、
映射结果是某稳定周期轨道
n
P
时，实际上
还同时存在许多不稳定周期轨道。然则它总共
可能包含哪些（稳定和不稳定）周期轨道呢？沙尔可夫
斯基定理回答了此问题。
沙尔可夫斯基首
先为一维映射中的不同周期定义了“领先”关系，如果周期
p
的
存在一定导致周期
q
存在，则称“
p<
/p>
领先于
q
”
，记
为
p
q
。在此意义上，所有自然数的领
先关系为：
m
m
m
m
3
5
7
9
3
?
2<
/p>
5
?
2
3
?
2
2
3
?
2
m
2
i
2
3
5
?
2
m
2
2
5
?
2
2
7
?
2
9
?
2
9
?
2
< br>2
9
?
2
m
7
?
2
2
7
?
2
m
2
1
?
?
?
?
?
?
?
（
1
）
?
?
?
?
?
?
这就是沙尔可夫斯基序列。
沙尔可夫斯基定理说，
如果在某个一维连续映射中存在着周期
< br>p
，
则在序列
（
1
）
中一切排在
p
后面的周期都也存在。
?
当分岔参量
μ
取值增大时，原来稳定的周期轨道不断地变得不稳定，并出现新的稳定轨道。但新的
稳
定轨道
(p)
的出现并不意味着原来
轨道
(q)
不存在，而只是说原来轨道
(q)
是以不稳定的形式存在于新的
稳定状态中。因此参量
μ
值越大，
（式
1
中位置越靠前）
，状态中包含的不稳定轨道越多。这就是沙尔<
/p>
1
可夫斯基定理。
?
序列（
1
）中最下一行的
p
＝
< br>2
i
就是倍周期分岔的逆过程。
?
序列（
1
）中
p
≠
2
i
的周期轨道就是混沌带中的奇数周期窗口，这种周期轨道实
际上包含有无穷多周期
轨道
(q)
。当
然，只有
p
轨道自身是稳定的，其余都是不稳定的。
?
如果
p=3
，由于
3
处于序列<
/p>
(1)
的第一行最左端，因此它包含全部其他的
< br>nP(n=1,2,4,5,6,...)
周期轨道。
当
然，这些被包含的
nP
周期轨道全部都是不稳定的。
二．周期
3
意味着混沌
周期<
/p>
3
意味着混沌——李天岩，约克
老子《道德经》
：
“一生二，二生三，三生万
物”
李天岩和约克进一步指出，<
/p>
3P
周期轨道不仅包含无穷多所有周期轨道，
而且还包含由不同初始条件形
成的无穷多次迭代（周期等于无穷大）点形成的非周期
轨道（混沌）
。当然，除
3P
自身是稳
定的外，所有
其余周期的和非周期轨道（混沌）都是不稳定的。也就是说，即使初始条件
是非常靠近某一不稳定轨道，
系
统
最<
/p>
终
也
要
被
吸
引
到
稳
定
的
3P
周
期
轨
道
上
< br>来
。
对
于
其
他
的
周
期
轨
道
3
?
2
m
P
、
5
?
2
m
P
、
7
?
< br>2
m
P
、
9
?
2
m
P
、
，情况也完全类似，对于参量的取值是
?
?
?
?
，
而又不属于周期轨
道的情形，不同初始条件形成的不同非周期轨道（混沌）便不可能趋于
一个稳定的周期轨道，于是其状态
变量的取值便在其定义域内不断交化，这就是混沌。<
/p>
Li-Yorke
< br>定理
：令
I
为一个线段，
f
:
I
?
I
是线段的连续自映射。设线段中存在一点
x
0
?
I
，
使得：
f
?
3
?
?
x
0
?
?
x
< br>0
?
f
?
x
0
?
?
f
?
2
?
?
x
0
?
或
f
?
3
?
?
x
0
?
?
x
0
?
f
?
< br>x
0
?
?
f
?
2
?
?
x
0
?
（不难看出，只要存在一条周期
3
轨道，这
两串不等式就必然有一个成立），则有：
1.
对于任何
k
＝
1, 2, 3,
…
,
线段
I
中都存在一条周期
k
轨道；
2.
I
中有一个不可数子集
S
?
I
，它不包含周期点，而且满足以下条件：
A.
对于
S
中
p
?
q
的任意两点，
n
l
i
m
s
u<
/p>
f
p
p
(
?
f
)
n
q
?
(
)
n
??
0<
/p>
0
l
i
m
i
n
f
f
n
p
(
?
f
)
n
q
?
(
)
n
??
(
2
1
.
2
)
(
2
1
.
3
)
B.
对于
S
中每个
q
点和线段
I
中周期点
p
，也有（
21.2
）式成立。
2
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