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专题
16
《对角互补模型》
破解策略
1
< br>．全等型之“
90
°”
如图，∠
AOB
＝∠
DCE
＝90°，
OC
平分∠
AOB
，则
A
D
C
O
E
B
（
1
）
CD
＝
< br>CE
；
（
2
）
OD
＋
OE
＝
2
OC
；
（
3
）
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
1
OC
2
．<
/p>
2
证明
方法一：
如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为
M
，
N
．
由角平分线的性
质可得
CM
＝
CN
，∠
MCN
＝90°．
所以∠
MCD
＝∠
NCE
，
A
M
从而△
MCD
≌△
NCE
（
ASA
），
D
故
CD<
/p>
＝
CE
．
易证四边形
MONC
为正方形．
所以
OD
＋
OE
＝
OD
＋
ON
＋
NE
＝
2
ON
＝
2
O
C
．
所以
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
S
正方形
MONC
?
ON
2
?
O
N
C
E
B
1
OC
2
．
< br>
2
方法二：
如图，过
C
作
CF
⊥
OC
，交
OB
于点
F
．
易证∠
DOC
＝∠
EFC
＝45°，
CO
＝
CF
，∠
DCO
＝∠
ECF
．
所以△
DCO
≌△
ECF<
/p>
（
ASA
）
<
/p>
所以
CD
＝
CE
，
OD
＝
FE
，
可得
OD
＋
OE<
/p>
＝
OF
＝
2
OC
．
所以
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
S
?
OCF
?
A
D
C
1
OC
2
．
2
O
E
F
B
【
拓展
< br>】如图，当∠
DCE
的一边与
A
O
的延长线交于点
D
时，则：
1
A
C
B
E
O
D
（
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OE
－
OD
＝
2
OC
；
（
3
）
S
?
OCE
?
S
?
OCD
?
如图，
证明同上．
A
M
O
D
C
B
N
E
A
C
O<
/p>
D
B
F
E
1
OC
2
．
2
2
．全等型之“
120
”
如图，∠
AOB
＝2∠
DCE
＝120°，
OC<
/p>
平分∠
AOB
，则：
C
A
D
E
O
B
（<
/p>
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OD
＋
OE
＝
OC
；
（
3
）
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
3
OC
2
．
4
证明
方法
一：
如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为<
/p>
M
，
N
．
所以
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
2
S
?
ONC
?
3
OC
2
4
易证△
MCD
≌△
NCE
（
ASA
），
所以
CD
＝
C
E
，
OD
＋
O
E
＝
2
ON
＝
O
C
．
2
C
A<
/p>
M
D
O
N
E
B
A
D
O
C
E
F
B
方法二：
如图，以
CO
为一边作∠
FCO
＝60°，交
OB
于点
F
，则△
OCF
为等边三角形．
易证△
DCO
≌△
ECF
（
ASA
）．
所以
CD
＝
CE
，
OD
＋
OE
＝
OF
＝
OC
，
∴
S
△
OCD
＋
S
△
OCE
＝
S
△
OCF
＝
3
OC
2
4
【拓展】如图，当∠
DCE
< br>的一边与
BO
的延长线交于点
E
时，则：
（
1
）
CD
＝
C
E
；（
2
）
O
D
－
OE
＝
O
C
；（
3
）
S
△
OCD
－
S
△
OCE
＝
如
图，证明同上．
A
D
C
E
3
OC
2
4
A
D
M
E
C
A
D
C
E
O
B
O
N
B
O
F
B
3
、全等型之“任意角”
如图，∠
AOB
＝
2
?
，∠
DCE
＝<
/p>
180
°－
2
?
，
OC
平分∠
AOB
，则：
2
（
1
）
CD
＝
CE
；（
2
）
OD
＋
OE
＝
2
OC
·
cos
?
；（
3
）
S
△
ODC
＋
S
△
OEC
＝
OC
·
sin
< br>?
cos
?
< br>A
D
C
B
证明：方法一：如图，过点
C
分别
作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为
M
，
N
< br>
A
M
C
D
B
O
N
E
易证△
MCD
≌△
NCE
（
AS
A
）
∴
CD
＝
CE
，
OD
＋
OE
＝
2<
/p>
ON
＝
2
OC<
/p>
·
cos
?
<
/p>
2
∴
S
△
ODC
＋
S
△
OEC
＝
2
S
△
ONC
＝
OC <
/p>
·
sin
?
co
s
?
方法二：如图，以
CO
为一边作∠
FCO
＝<
/p>
180
°－
2
?
，交
OB
于点
F
．
O
E
3
<
/p>
A
D
C
B
O
E
F
易证△
DCO
≌△
ECF
（
ASA
）
∴
CD
＝
CE
，
OD
＋
OE
＝
OF
＝
2<
/p>
OC
·
cos
?
2
∴
S
△
ODC
＋
S
△
OEC
＝
S
△
OCF
＝
OC
·
sin
?
c
os
?
【拓展】如图，当∠
DCE
的一边与
BO
的
延长线交于点
E
时，则：
2
（
1
）
CD
＝
CE
；（
2
）
OD
－
OE
＝
2
OC
·
cos
?
；（
3
）
S
△
< br>ODC
－
S
△
< br>OEC
＝
OC
·
sin
?
cos
?
如图，证明同上
D
A
D
A
M
D
A
C
E
O
C
B
E
O
N
B
E
O
C
F
B
4
、相似性之“
90
°”
<
/p>
如图，∠
AOB
＝∠
DCE
＝90°，∠
COB
＝
?
，则
CE
＝
CD
·tan
?
A
D
C
方法一：如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为<
/p>
M
、
N
A
D
M
O
O
E
B
C
E
N
易证△
MCD
∽△
NCE
，∴
NE
CE
CN
?
?
?
tan
?
，即
CE
＝
CD<
/p>
·tan
?
M
D
CD
CM
方法二：如图，过点
C
作
CF
⊥
OC
，交
OB
于点
F
．
A
D
C
B
O
E
F
4
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