-
第四讲
角平分线性质定理判定定理及四大模型
一、性质定理、判定定理
1
．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，∵
OP
平分∠
AO
B
，
PE
⊥
O
A
，
PF
⊥
O
B
，∴
PE=PF
．
< br>
2
．角平分线的判定：角内部到角两边的距离相等的点
在角的平分线上．
如图，∵
PE
⊥
OA
，
PF
⊥
OB
，
PE=P
F
，∴
OP
平分∠
AOB
．
二、角分线四大模型
1.
角分线
+
平行线，等腰三角形必呈现；
基本图形：
已知，
OP
平分
∠<
/p>
AOB
，
若过点
P
作
PE
//
OB
交
OA
于点
E
，
如上图，
可以得到等腰三角形<
/p>
EOP
，
其中
E
P=EO.
例
1
：
< br>如图，在
△
ABC
中，
BD
、
CD
分别平分<
/p>
∠
ABC
和
∠<
/p>
ACB
，
DE
/
/
AB
，
FD
//
AC
，
BC
=6
，求
△
DEF
< br>的周长
.
练
1
：
如图，在
△
ABC
中，∠
ABC
与∠
ACB
的角平分线相交于点
F
，过点
F
作
DF
//
BC
，交
AB
于点
D
，交
AC
于点
E
，若<
/p>
BD+CE
=9
，则线段
DE
的长为
.
<
/p>
练
2
：
（
1
）如图，在
△
AB
C
中，
BD
平分∠
ABC
，
CD
平分外角∠
ACG
，
DE//BC
交
AB
于点
E
，交
AC
于点
F
，线段
EF
、
BE
< br>、
CF
有什么关系？请说明理由
.
（
2
）如图
，
BD
、
CD
分别为
∠
ABC
、∠
< br>ACB
外角的角平分线，
DE
/
/
BC
交
AB
的延长线于点
E
，交
AC
的延
长线于点
F
，直接写出
线段
EF
、
BE
、
CF
的数量关系
.
1
2.
点垂线，垂两边，线等全等都出
现；
基本图形：
已知，
OP
平分
∠
AOB
，若
PE
⊥
OA
，
则过点
P
作
PF
< br>⊥
OB
，
则
PE=PF
，
OE=OF
，△
EOP
≌△
FOP
.
例
1
：<
/p>
如图，在
△
ABC
中，∠
C
=90
°，
AD
平分
∠
CAB
，
BC
=6
，
BD
=4
，则点
D
到直线
AB
的距离是
.
例
2
：
如图，
∠
1=
∠
2
，
∠
3=
∠
4
，求证
AP
平分
∠
BAC
.
练<
/p>
1
：
如图，四边形
ABCD
中，
∠
B+
∠
D
=180
°，
BC=CD
，求证
AC
平
分
∠
BAD
.
练
2
：
如图，在
RT
△
A
BC
中，
∠
ACB
=90°
，
CD
⊥
AB
，垂足为
D
，
AF
平分
∠
CAB
，交
CD
于点
E
，交
CB
于
点
F
，
（
1
）求证：
CE=CF
.
（
2
）将图中的
△
ADE
沿
AB
向右平移到三角形<
/p>
A’D’E’
的位置，使点
E’
落在
BC
边
上，其它条
件不变，试猜想
BE’
于
CF
有怎样的数量关系？请证明你的结论
.
C
C
F
F
E
E'
E
A
A
D
B
D
A'<
/p>
D'
B
3.
角分线
+
垂线
，中点全等必可见；
基本图形：
已知，
OP
平分
∠
AOB
，
E
为
OA
上一点，
EP
⊥
OP
，延长
EP
交
OB
于点
F
，则
EP=FP
，<
/p>
△
EOP
≌△
F
OP
.
2