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专题
16
对角互补模型
破解策略
1
．全等型之
“90°”
如图，∠
AOB
＝∠
DCE
＝
90°
，
OC
平分∠
AOB
，则
A
D
C
O
E
B
（
1
）
CD
＝
C
E
；
（
2<
/p>
）
OD
＋
OE<
/p>
＝
2
OC
；
（
3
）
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
1
OC
2
．
2
证明
方法一：如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为
M
，
N
．
由角平分线的性质可得
CM
＝
CN
，∠
MCN
＝
90°
．
所以∠
MCD
＝∠
NCE
，
从而
△
M
CD
≌△
NCE
（
ASA
）
，
故
CD
＝
CE
．
易证四边形
MONC
为正方形．
所以
OD
＋
OE
＝
OD
＋
ON
＋
NE
＝
2
ON
＝<
/p>
2
O
C
．
所以
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
S
正方形
MONC
A
M
D<
/p>
C
E
O
N
B
1
?
ON
?
OC
2
．
2
2
方法二：如图，过
C
作
CF
⊥<
/p>
OC
，交
OB
于
点
F
．
易证∠
DOC
＝∠
EFC
＝
45°
，
CO
＝
CF
，∠
DCO
＝∠
ECF
．
所以
△
DCO
≌△
ECF
（<
/p>
ASA
）
A<
/p>
D
C
所以
CD<
/p>
＝
CE
，
OD<
/p>
＝
FE
，
【拓展
】如图，当∠
DCE
的一边与
AO
的延长线交于点
D
时，则：
可得
OD
＋
OE
＝
OF
＝
2
OC
．
< br>所以
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
S
?
OCF
1
?
OC
2
< br>．
2
O
E
F
B
A
C
B
E
O
D
（
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OE
－
OD
＝
2
OC
；
（
3
）
S
?
OCE
?
S
?
OCD
?
如图，证明同上．
A
M
O
D
C
B
N
E
A
C
B
< br>F
E
1
OC
2
．
2
O
D
2
．全等型之“
120
”
如图，∠
< br>AOB
＝
2
∠
< br>DCE
＝
120°
，
OC
平分∠
AOB
，则：
C
A
D
E
O
B
（
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OD
＋
OE
＝
OC
；
（
3
）
S
?
OCD
?
S
?
OCE
?
3
OC
2
．
4
证明
方法
一：如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为
M
，
N
．
所以
S
?
OCD<
/p>
?
S
?
OCE<
/p>
?
2
S
?
ONC
?
易证
△
MCD
≌△
NCE
（
ASA
）
，
所以
CD
＝
C
E
，
OD
＋
O
E
＝
2
ON
＝
O
C
．
3
OC
2
<
/p>
4
C
A
M
D
O
N
E
B
A
D
O
C
E
F
B
方法二：如图，以
CO
为一边作
∠
FCO
＝
60°
，交
OB
于点
F
< br>，则
△
OCF
为等边三角形．<
/p>
易证
△
DCO
≌△
ECF
（
ASA
）
．
所以
CD
＝
CE
，
OD
＋
OE
＝
OF
＝
OC
，
∴
S
△
OCD
＋
S
△
OCE
＝
S
△
OCF
＝
3
O
C
2
4
【
拓展】如图，当∠
DCE
的一边与
BO
的延长线交于点
E
时，则：
（
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OD
< br>－
OE
＝
OC
< br>；
（
3
）
S
△
OCD
－
S
△
OCE
＝
如图，证明同上．
A
D
C
E
3
OC
2
4
A
D
M
E
C
A
D
C
E
O
B
O
N
B
O
F
B
3
、全等型之“任意角”
如图，∠
AOB
＝
2
?
，∠
DCE
＝<
/p>
180
°－
2
?
，
OC
平分∠
AOB
，则：
（
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OD
＋
O
E
＝
2
OC
·
cos
?
；
（
3
）
S
△
ODC
＋
S
△
OEC
＝
OC
2
·
sin
?
c
os
?
A
D
C
B
O
E
证明：方法一：如图，过点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足
M
D
O
A
分别为
M
，
N
C
N
E
B
易证△
MCD
≌△
NCE
（
ASA
）
∴
CD
＝
CE
，
OD
＋
OE
＝
2
ON
＝
2
OC
·
cos
?
∴
S
△
ODC
＋
S
△
OEC
＝
2
S
△
ONC
＝
OC
2
·
sin
?
cos
?
方法二：如图，以
CO
为一边作
∠
FCO
＝
180
°－
2
?
，交
OB
于点
F
．
A
D
C
B
O
E
F
<
/p>
易证△
DCO
≌△
ECF
（
ASA
）
< br>
∴
CD
＝
CE
，
OD
＋
OE
＝
OF
＝
2
OC
·
cos
< br>?
∴
S
△
ODC
＋
S
△
OEC
＝
S
△
OCF
＝
OC
< br>2
·
sin
?
< br>cos
?
【拓展】如图，当∠
DCE
的一边与
BO
< br>的延长线交于点
E
时，则：
<
/p>
（
1
）
CD
＝
CE
；
（
2
）
OD
－
OE
＝
2
OC
·
cos
?
；
（
3
）
S
△
ODC
－
S
△
OEC
＝
OC
2
·
sin
?
cos
?
如图，证明同上
D
< br>A
D
A
M
D
A
C
E
O
C
B
E
O
N
B
E
O
C
F
B
4
、相似性之“
90
°
”
如图，∠
AOB
< br>＝∠
DCE
＝
90°
，∠
COB
＝
?
，则
CE
＝
CD
·
tan
?
A
D
C
O
E
B
方法一：如图，过
点
C
分别作
CM
⊥
OA
，
CN
⊥
OB
，垂足分别为
M
、
N
A
< br>D
M
O
C
E
N
易证
△
MCD
∽△
NCE
< br>，∴
NE
CE
CN
tan
?
?
?
?
tan
?
，即
CE
＝
CD
·
MD
CD
CM
方法二：如图，过点
C
作
CF
⊥
OC
，交
OB
于点
F
．
A
D
C
B
O
E
F
易证
△
DCO
∽△
ECF
，∴
FE
CE
CF
tan
?
< br>
?
?
?
tan
?
，即
CE
< br>＝
CD
·
OD
< br>CD
CO
方法三：如图，连接
D
E
．
A
D<
/p>
C
O
E
B
易证
D<
/p>
、
O
、
E
、
C
四点共圆
∴∠
CDE
＝∠
C
OE
＝
?
，故
CE
＝
CD
·
tan
?
【拓展】如图，当∠
DCE
的一边与
AO
的延长线交于点
D
时，则
CE
＝
CD
·
tan
?
A
C
B
O
E
D
如图，证明同上．