-
任意四边形、
梯形与相似模型
模型三
蝴蝶模型
（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系
(
“蝴蝶定理”
)
：<
/p>
D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
C
①
S
1
:
S
2
?
S
4
:
S<
/p>
3
或者
S
1
?
S
3
?
S
2
?
S
4
②
< br>AO
:
OC
?
< br>?
S
1
?
S
2
?
:
?
S
4
?
S
3
?
S
4
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的
面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形内
的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例
1
】
(
小数报竞赛活动试题
)
如图，某公园的外轮
廓是四边形
ABCD
，被对角线
AC<
/p>
、
BD
分成四个部分，
< br>△
AOB
面积为
1
平方千米，
△
BOC
面积为
2
平方千米
，△
COD
的面积为
3
平方千米，公园由
陆地面积是
6
．
92
< br>平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
C
B
O
A
D
【分析】
根
据蝴蝶定理求得
S
△
AOD
?
3
?
1
?
2
?
< br>1.5
平方千米，公园四边形
ABCD
< br>的面积是
1
?
2
?
3
?
1.5
?
7.5
平
方千米，所以人工
湖的面积是
7.5
?
6.92
?
0.58
平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG
:
GC
?
？
A
2
B
C
1
G
3<
/p>
D
BGC
【解析】
⑴
根据蝴蝶定理，
S
?
1
?
2
?
3
，那么
S
BGC
?
6
；
⑵根据蝴蝶定理，
AG
:
GC
?
?
1
?
2
?
:
?
3
?
6
?
?
1:
3
．
(
？？？
)
4
-
2
-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
page 1 of 17
【例
2
】
四
边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(
如图所示
)
。
如果三角形
ABD
的面积
等于三角形
BCD
的
1
面积的
，且
AO
?
2
，
DO
?
3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的
_________
倍。
3
A
O
D
A
H
O
D
G
C
C
B
B
【解析】
在
本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形
”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，
从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条
件
S
ABD
:
S
BCD
?
1:3
，这可以向模
型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已
知条件是面积的关系，转
化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四
边形”
，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比。
再应用结论：三角形
高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使
学生体会到
蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵
AO
:
OC
?
S
?
ABD
:
S
?
BDC
?
1:3
，
∴
OC
?
2
?
3
?
6
< br>，
∴
OC
:
OD
?
6:3
< br>?
2:1
．
< br>解法二：作
AH
?
BD
于
H
，
CG
?
BD
于
G
．
1
∵
< br>S
?
ABD
?
< br>S
?
BCD
，
< br>
3
1
∴
AH
?
CG
，
3
1
∴
S
?
AOD
?
S
?
DOC
，
3
1
∴
AO<
/p>
?
CO
，
3
∴
OC
?
2
?
3
?
6
，
∴
OC
:
OD
?
6:3
?
2:1
．
【例
3
】
如
图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△
CEF<
/p>
、
△
OEF
、<
/p>
△
ODF
、
△<
/p>
BOE
的面积依次是
2
< br>、
4
、
4
和
6
。
求：⑴求
△
OCF
的面积；⑵求
△
GCE
的面积
。
A
O
G
D
F
C
【解析】
⑴
根据题意可知，
△
BCD
的面积为
2
?
4
?
4
?
6
?
16
，那么
△
BCO
和
?
CDO
的面积都
是
16
?
2
?
8
，
所以
△<
/p>
OCF
的面积为
8
?
4
?
4
；
⑵由于
△
B
CO
的面积为
8
，
△
BOE
的面积为
6
，所以
△
OCE
的面积为<
/p>
8
?
6
?
2
，
根据蝴蝶定理
，
EG
:
FG
?
S
?
COE
:
S
?
COF
?
2
:
4
?<
/p>
1:
2
，所以
S
?
GCE
:
S
?
GCF
?
E
G
:
FG
?
1
:
2
，
1<
/p>
1
2
那么
S
?
GCE
?
S
?
CEF
?
?
2
?
．
1
?
2
3
3
4
-
2
< br>-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
page 2 of 17
B
E
【例
4
】
图
中的四边形土地的总面积是
52
公顷，
两条对角线把它分成了
4
个小三角形，
其中
2
个小三角形的
面积分别是
6
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
D
6
6
7
A<
/p>
E
C
7
B
【解析】
在
ABE
，
CDE
中
有
?
AEB
?
?
CED
，所以
ABE
，
CDE
的面积比为
(
AE
?
EB
)
:
(
CE
?
DE
)
。同
理有
ADE
，
BCE<
/p>
的面积比为
(
AE
?
DE
)
:
(
BE
?
EC
)
。所以有
S
ABE
< br>×
S
CDE
=
< br>S
ADE
×
S
< br>BCE
，也就是
说在所有凸四边形中，连接顶点得到
2
条对角线，有图形分成上、下、左、右
4
个部分，有：上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即
S
ABE
?
6
=
S
ADE
?
7
，
所以有
ABE
与
A
DE
的面积
7
6
比为
7
:
6
，
S
ABE
=
?
39
?
21
公顷，
S
ADE
=
?
39
?
18
公顷。
6
?
7
6
?
7
显然，最大的三角形的面积为
21
公
顷。
【例
5
】
(
2008
年清华附中入学测试题
)
如图相邻两个格点间的距离是
1
，则图中阴影三
角形的面积
为
。
A
D
B
C
【解析】
连
接
AD
、
CD
、
BC
。
则可根据格
点面积公式，可以得到
?
ABC
的面积
为：
1
?
A
D
B
O
C
4
3
?
1
?
2
，
?
ACD
的面积为：
3
?
?
1
?
3.5
，
2
2
?
ABD
的面积为：
2
?
4
?
1
?
3
．
2
所以
BO
:
OD
?
S
?
ABC
:
S
?
ACD
?
2
:3.5
?
4
:
7
，所以
S
?
ABO
?
4
4
12
?
S
?
ABD
?
?
3
?
．
4
?
7
11
11
【巩固】如图，每个小方格的边长都是
1
，求三角形
ABC
的面积。
E
D
A
B
C
【解析】
因
为
BD
:
CE
?
2:5
，且
BD
∥
CE
，所以
DA
:
AC
?
2:5
，
S
?
ABC
?
5
5
10
，
S
?
DBC
?
?
2
?
．
2
?
5
7
7
【例
6
】
(
2007
年人大附中考题
)
如图，边长为
1
的正方形
AB
CD
中，
BE
?
2
EC
，
CF
?
FD
，求三角形
AEG
4
-
2
-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
page 3 of 17
的面积．
A
G
D
A
G
D<
/p>
F
F
B
【解析】
连
接
EF<
/p>
．
E
C
B
E
C
．
1
1
1
1
因为
BE
?
2
EC
，
CF
?
FD
，所以<
/p>
S
?
DEF
?<
/p>
(
?
?
)
S
ABCD
?
S
2
3
2
12
1
1
1
因为
S
?
AED
?
S
ABCD
，根据蝴蝶定理，
< br>AG
:
GF
?
< br>:
?
6
:1
，
2
2
12
6
6
1
3
所以
S
?
AG
D
?
6
S
?<
/p>
GDF
?
S
?<
/p>
ADF
?
?
S<
/p>
ABCD
?
S
A
BCD
．
7
7
4
14
1
3
2
2
所以
S<
/p>
?
AGE
?
S<
/p>
?
AED
?
<
/p>
S
?
AGD
?<
/p>
S
ABCD
?
S
ABCD
?
S
ABCD
?
，
2
14
7
7
2
即三角形
AEG
的面积是
．
7
ABCD
【例
7
】
如
图，长方形
ABCD
中，
< br>BE
:
EC
?
< br>2:3
，
DF
:
FC
?
1:
2
，三角形
DFG
的面积为
2<
/p>
平方厘米，求长
方形
ABCD
的面积．
A
G
D
F
C
A
G
D
F
C
B
E
B
E
【解析】
连
接
AE
，
FE
．
因为
BE
:
EC
?
2:3
，
DF
:
FC
?
1:
2
，所以
S
因为
S
DEF
3
1
1
1
?
(
?
?
)
S
长方形
ABCD
?
S
长方形
ABCD
．
5
3
2
10
AFD
1<
/p>
1
1
，
所以
S
AGD
?
5
S
GDF
?
10<
/p>
平方厘米，
所以
S
?
S
AG
:
GF
?
:
?
5
:1
，
AED
2
长方形
ABCD
2
10
1
方厘米．因为
S
AFD<
/p>
?
S
长方形
AB
CD
，所以长方形
ABCD
的面积是<
/p>
72
平方厘米．
6
?
12
平
【例
8
】
如
图，已知正方形
ABCD
的边长为
10
厘米，
E
为
AD
中点，
F
为
CE
中点，
G
为<
/p>
BF
中点，求三角
形
BDG
的面积．
A
E
D
A
E
< br>D
O
F
G
【解析】
设
BD
与
CE
的交点为
O
，连接
BE
、
DF
．
由蝴蝶定理可知
EO
:
OC
?
S
BED
:
S
BCD
，而
S
F
G
C
B
C
1
?
S
4
B
< br>BED
ABCD
，
S
BCD
1
?
S
2
ABCD
，
4
-
2
-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
page 4 of 17
1
，故
?
1:
2
EO
?
EC
．
BCD
3
1
由于<
/p>
F
为
CE
中点，
所以
EF
?
EC
，故
EO
:
EF
?
2:3
，
FO
< br>:
EO
?
1:
< br>2
．
2
1
1
由蝴蝶定理可知
S
BFD
:
S
BED
?
FO
:
EO
?
1:
2
，所以
S
BFD
?
S
BED
?
S
ABCD
，
2
8
1
1
1
那么
S
BGD
?
S
BFD
?
S
ABCD
?
?
10
?<
/p>
10
?
6.25
（平方厘米）．
2
16
16
【例
9
】
如
图，在
?
ABC
中
，已知
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
< br>上，
BM
与
AN
相交于
O
,
若
?
AOM
、
?
ABO
和
所以
EO
:
OC
?
S
BED
:
S
?
BON
的面积分别是
3
、<
/p>
2
、
1
，则
?
MNC
的面积是
．
A
M
O
C
B
N
【解析】
这
道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
根据蝴蝶定理得
S
< br>?
MON
?
S
< br>?
AOM
?
S
< br>?
BON
3
?
< br>1
3
?
?
S
?
AOB
2
2
设
S
?
MON
?
x
，
根据共边定理我们可以得
S
?
ANM
S
?
ABM<
/p>
，
?
S
?
MNC
S
?
MBC<
/p>
3
?
x
3
2
?
3
?
2
，解得
x
?
22.5
．
3
1
?
?
x
2
B
1
< br>B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
分别
【例
10
】
(<
/p>
2009
年迎春杯初赛六年级
)
正六边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的面积是
2009
平方厘米
，
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
1
A
2
B
2
< br>A
3
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
6
A
1
B
1
O
A
2
B
2
< br>A
3
【解析】
如
图，
设
B
6
A
2
与
B
1
A
3
的交点为
O<
/p>
，则图中空白部分由
6
个与
?
A
2
OA
3
一样大小的三角形组成，
只要求
出了
?
A
2
OA
3
的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分
面积．
连接
A
6
A
3
、
B
6
B
1
、
B
6
A
3
．
设
?
A
1
B
1
< br>B
6
的面积为”
“，
则
?
BAB
“，
?
A
1
A
2
B
6
面积为”
2
“，
那么
?
A
6
A
3
B
6
面积为
?
A
1
A
2
B
6
1
1
1
2
6
面积为”
的
2
倍，为”
4
“，梯形
A
1
A
< br>2
A
3
A
6
的面积为
2
?
2
?
4
?
2
?
12
，
?
A
2
B
6
A
3
的面积为”
6
“，
?
B
1<
/p>
A
2
A
3
的
面积为
2
．
4
-
2
-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
page 5 of 17
6
12
，
S
?
B
1
A
2
A
3
?
，
< br>
1
?
6
7
12
1
所
以
S
?
A
2<
/p>
OA
3
:
S
梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
?
:12:1:
7
，即
?
A
2
OA
3
的
面积
为梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
面
积的
，
故为六
边形
7
7
1
1
3
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
面积的
，那么空白部分的面积为正六边形面积的
?
6
< br>?
，所以阴影部分面积为
14
1
4
7
?
3
?<
/p>
2009
?
?
1
?
?
?
114
8
(
平方厘米
)
．
?
7
?
根据蝴蝶定理，
B
1
< br>O
?
A
3
O
?
S
?
B
1
A
2
B
6
:
S
?
A
3
A
2
B
6
?
1:
6
，故
S
?
< br>A
2
OA
3
?
4
-
2
-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
page 6 of 17
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
(
< br>“梯形蝴蝶定理”
)
：
A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
B
b
C
< br>
①
S
1
:
S
3
?
a
2
:
b
2
②
S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
< br>4
?
a
2
:
b
2
:
a
b
:
ab
；
③
S
的对应份数为
?
a
?
b
?
．
梯形
蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结
论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(
具体的推
理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
)
【例
11
】
如图
，
S
2
?
2<
/p>
，
S
3
?
4
，求梯形的面积．
2
S
1
S
2
S
3
S
4
【解析】
设<
/p>
S
1
为
a
份，
S
3
为
b
份，根据梯形蝴蝶定理，
S
< br>3
?
4
?
b
2
，所以
b
?
2
；又因为
S
2
?
2
?
a
?
b
，所以
2
2
a
?
1<
/p>
；那么
S
1
?<
/p>
a
2
?
1
，
S
4
?
a
?
b
?
2
，所以梯形面积
S
?
S
1
?
S
2
?
S
3
?
S
4
?
1
?
2
?
4
?
2
?
9<
/p>
，或者根
据梯形蝴蝶定理，
S
?
?
a
?
b
?
?
?
1
?
2
?
?
9
．
2
2
【巩固
】
(
2006
年南京智力数学冬令营<
/p>
)
如下图，梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，对角线
AC
，
BD
交于
O
，已
知
△
AOB
与
△
BOC
的面积分别为
25
< br>
平方厘米与
35
平方厘米，那
么梯形
ABCD
的面积是
______
__
平方厘米．
A
< br>25
O
35
B
< br>D
【解析】
根
据
梯
形
蝴<
/p>
蝶
定
理
，
S
S
AOB
C
AOB
BOC
:<
/p>
S
?
a
2
:
ab
?
25:
35
，
可
得
a
:
b
?
5:7
，
再
根
据
梯
形
蝴
蝶
定
理
，
DOC
:
S
DOC
?
a
2
:
b
2
?
5
2
:
7
2
?<
/p>
25:
49
，
所
以
S
?
49<
/p>
(
平
方
厘
米
)
．
那么
梯
形
ABCD
的
面
积
为
(
平方厘米
)
．
25
?
35
?
35
?
49
?
144
【例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知梯形上底为
2
，且三角形
ABO
的面积等于三角
2
形
BOC
面积的
，求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比
．
3
4
-<
/p>
2
-
3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
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A
D
O
C
B
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
:
S
BOC
?
ab
:
b
2
?
2
:
3
，可以求出
a
:
b
?
2:3
，
?
a
2
:
b
2
?
2
2
:
3
2
?
4
:
9
．
<
/p>
再根据梯形蝴蝶定理，
S
AOD
:
S
BOC
通过利用已
有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千
辛
万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．
【例
13
】
(<
/p>
第十届华杯赛
)
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
O
点，已知
AO
?
1
< br>，并且
三角形
ABD
的面积
3
?
，那么
OC<
/p>
的长是多少？
三角形
< br>CBD
的面积
5
B
A
O
C
< br>三角形
ABD
的面积
AO
AO
3
5
【解析】<
/p>
根
据蝴蝶定理，
，所以
?
?
，又
AO
?
1
，所以
< br>CO
?
．
三角形
CBD
的面积
CO
CO
5
3
【例
14
】
梯形
的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OB
C
的面积是
9
cm
2
，问三角形
AOD
的面积是多少
？
D
A
D<
/p>
O
B
C
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
a
:
b
?
1:1.5
?
2:3
，
S
?
AOD
:
S
?
BOC
?
a
2
:
b
2
?
2
2
:
3
2
< br>?
4
:
9
，
所以
S
?
AOD
?
4
cm
2
．
【巩固】如图，梯形
ABCD
中，
?
AOB
、
?
COD
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
ABCD<
/p>
的面积．
?
?
A
B
O
D
【解析】
根
据梯
形蝴蝶定理，
S
AOB
C
:
S
ACOD
?
a
2
:
b
2
?
4
:
9
，所以
a
:
b
?
2:3
，
3
S
AOD
:
S
AOB
?
ab
:
a
2
?
b
:
a
?
3:
2
，<
/p>
S
AOD
?
S<
/p>
COB
?
1.2
?
?
1.8
，
2
S
梯形<
/p>
ABCD
?
1.2
?
1.8
?
1.8
< br>?
2.7
?
7.5
．
4
< br>-
2
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3
任意四边形、梯形与相似模型
题库
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