-
燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
< br>，
CF
相交于同一点
O
，
那么，
S
?
ABO
:
S
?
ACO
?
BD
:
DC
A
E
O
B
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
?
ABO
和
?
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所
以这个定理被称为燕
尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于
任
何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
.
F
D
C
通过一道例题
证明燕尾定理：
如右图，
D
是
BC
上任意一点，请你说明：
S
1
:
S
4
?
S
2
:
S
3<
/p>
?
BD
:
DC<
/p>
A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C
【解析】
三
角形
BED
与三角形
CED
同高，分别以
BD
、
DC
为底，所以有
S
1
:
S
4
?
BD
:
DC
；
三角形
ABE
与三角形
EBD
同高，
S
1
:
S
2
?
ED
:
EA
；
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:
S
3
?
ED
:
EA
，所以
S
1
:
S
4
?
S
2
:
S
3
；
综上可得，
S
1
:
S
4
?
S
2
< br>:
S
3
?
BD
:
DC
.
page 1 of 18
【例
1
】
（
2009
年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，
点
D
在
BC
上
，且
BD
:
DC
?
1:
2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于
．
< br>A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
1
2
C
D
E
F
B
D
C
【解析】
方
法一：连接
CF
，
S
BD
1<
/p>
S
△
ABF
AE
根据燕尾定理，
△
ABF
?
?
，
?
< br>?
1
,
S
△
ACF
DC
< br>2
S
△
CBF
< br>EC
设
S
△
BDF
?
1
份，则
S
△
DCF
?
2
份，
S
△
< br>ABF
?
3
份，
S
△
AEF
?
S
△
EFC
?
3
份，如图所标
5
5
所以
S
DCEF
?
S
△
ABC
?
12
12
1
1
方法二：连接
DE
，由题目条件可得到
S
△
ABD
?
S
△
ABC
?
，
3
3
BF
S
△
ABD
1
1
1
2
1
?
?
，
S
△
ADE
?
S
△
ADC
?
?
S
△
ABC
?
，所以
FE
S
△
< br>ADE
1
2
2
< br>3
3
1
1
1
1
1
1
1
S
△
DEF
?
?
S
△
DEB
?
?
?
S
△
BEC
?
?
?
?
S
△
ABC
?
，
2
2
3
2
3
2
12
2
1
1
5
而
S
△
CDE
?
?
?
S
△
ABC
?
．所以则四边形
DFEC
的面积等于
．
3
2
3
12
<
/p>
【巩固】如图，已知
BD
?
DC
，
EC
?
2
AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，求阴影部分面积
.
A
E
F
F
A
E
F
< br>A
E
B
D
C
B
D
C
B
D
C
【解析】
题<
/p>
中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以
初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积
.
又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它
进行改造，那么我们需
要连一条辅助线，
(
法一
)
连接
CF
，因为
BD
?
DC
，
EC
?
2
AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，
1
1
所以
S
△
ABE
?
S
△
ABC
?
10
，
S
△
ABD
?
S
△
ABC
?
15
．
3
2
S
S
AE
1
B
D
根据燕尾定理，
△
ABF
?
?
，
△
ABF
?
?
1
,
S
△
< br>CBF
EC
2
S
△
ACF
CD
1
所以
S
△
ABF
?
S
△
ABC
?
7.5
，
S
△
BFD
?
15
?
7.5
?
7.5
，
4
所以阴影部分面积是
30
?
10
?
7.5
?
< br>12.5
．
1
(
法二
)
连接
DE
，由题目条件可得到
S
△
ABE
?
S
△
ABC
?
10
，
3
AF
S
△
ABE
1
1
1
2
?
?
，
S
△
BDE
?
S
△
BEC
?
?
S
△
ABC
?
10
，所以
FD
S
△
BDE
1
2
2
3
page 2 of 18
1
1
1
1
1
1
S
△
DEF
?
?
S
△
DEA
?
?
?
S
△
ADC
?
?
?
?
S
△
ABC
?
2.5
，
2
2
3
2
3
2
2
1
而
S
△
CDE
?
?
?
S
△
ABC
?
10
．所以阴影部分的面积为
12.5
．
3
2
【巩固
】
如图，
三角形
ABC
的面积是
200
cm
2
，
E
在
AC
上
，
点
D
在
BC
上，
且
AE
:
EC
?
3:5
,
BD
:
DC
?
2:3
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于
．
A
A
A
E
F
B
D
C
B
F
D
C
E
E
< br>B
D
F
C
【解析】
连
接
CF
，
S
△
ABF
BD
2
6
S
AE
3
6
?
?
?
，
△
ABF
?
?
?
,
<
/p>
S
△
ACF
DC
3
9
S
△
CBF
EC
5
10
根据燕尾定理，
设
S
< br>△
ABF
?
6
< br>份，则
S
△
ACF
?
9
份
,
< br>S
△
BCF
?
< br>10
份，
S
△
< br>EFC
?
9
?
< br>所以
S
DCFE
?
200
?
(6
?
9
?
10)
?
(
5
45
3
份，
S
△
CDF
?
10
?
?
?
6
份，
3
?
5
8
2
?
3
45
45
?
6)
?
8
?
(
?
6)
?
93
(cm
2
)
8
8
【巩固】
如图，
已知
< br>BD
?
3
DC
< br>，
EC
?
2
AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,
则
△
ABC
被分成的
4
部分面积各占
△
AB
C
面积的几分之几？
A
A
1
1
< br>E
2
4.5
D
< br>1
C
E
O
9
O
2
13.5
B
D
C
B
3
【解析】
连
接
CO
,
设
S
△
AEO
?
1
份，则其他部分的面积如图所示，所以
S
△
ABC
?
1
?
2
?
9
?
18
?
3
0
份，所以四部
1
2
< br>?
4.5
13
9
3
13.5
9
分按从小到大各
占
△
ABC
面积的
,
?
,
?
,
?
30
3
0
60
30
10
30
20
1
1
【巩固】
(
2007
年香港圣公会数学竞赛
)
如图所示，在
△
ABC
中，
CP
?
CB
，
CQ
?
CA
，
BQ
与
AP
相交于
2
3
点
X
，若
△
ABC
的面积为
6<
/p>
，则
△
ABX
的
面积等于
．
C
C
Q
X
【解析】
方
法一：连接
PQ
．
< br>1
1
由于
CP
< br>?
CB
，
CQ
< br>?
CA
，所以
S
2
3
由蝴蝶定理知，
AX
:
XP
?
S
ABQ
C
P
B
A
Q
X
B
P
Q
4
1
X
A
1
4
P
A
B
．
ABQ
:
S
BPQ
2
1
1
?
S
ABC
，
S
BPQ
?
S
BCQ
?
S
3
2
6
2
1
?
S
ABC
:
S
ABC
?
4:1
，
3
6
ABC
page 3 of 18
4
4
1
2
2
?
S
?
?
S
?
S
?
?
6
?
2.4
．
ABX
ABP
ABC
ABC
5
5
2
5
5
方法二：连接
CX
设
S
△
CPX
?
1
份，根据
燕尾定理标出其他部分面积，
所以
S
所以
S
△
AB
X
?
6
?
(1
?
1
?
4
?
4)
?
4
?
2.4
【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD
?
2
DC
，
CE
?
2
AE
，
AD
与
BE
相交于点
F
，请写出这
4
部
分
的面积各是多少
?
A
E
F
B
D
< br>C
B
6
8
A
1
F
2
4
E
C
D
【解析】
连
接
CF
，设
S
△
AEF
?
1
份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
1
6
2
8
2
?
4
2
S
△
AEF
?
,
S
△
ABF
?
?
,
S
△
BDF
?
,
S
FDCE
?
?
21
21
7
21
21
7
【巩固】
如图，
E
在
AC
上，
D
在
BC
上，
且
AE
:
EC
?
2:3
,
B
D
:
DC
?
1
:
2
，
AD
与
BE
交于点
F
．
四边形
DFEC
的面积等于
22
cm
2
，则三角形
ABC
的面积
．
A
A
A
1.6
E
2
F
2.4
1
2
C
D
E
F
B
D
C
B
F
D
E
< br>B
C
S
BD
1
S
△
ABF
AE
2
【解析】
连
接
CF
,
< br>根据燕尾定理，
△
ABF
?
?
，
?
?
,
S
△
ACF
DC
2
S
△
CBF
EC
3
设
S
△
BDF
?
1
份
，
则
S
△
D
份
,
S
△
EFC
?
4
?
所以
S
△
ABC
C
?
F
2
份
，
S
△
ABF
?
2
份
，
S
△
AFC
?
4
份
，
S
△
AEF
?
4
?
2
?
1
.
6
2
?
3
3
< br>?
2.4
份
,
< br>如图所标
,
所以
S
EFDC
?
2
?
2.4
?
4.4
份
,
S
△
ABC
?
2
?
3
?
4
?
9
份
2
?
3
?
22
?
4.4
?
9
?
45
(cm
2
)
【巩固】三角形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC
?
2
，
C
D
?
2
，
CB
?
3
，
AM<
/p>
?
BM
，那么三角形
AMN
(
阴影
部分
)
的面积为多少？
A
M
N
C
【解析】
连
接
BN
．
A
M
N
D
B
C
D
B
△
ABC
的面积为
3
?
2
?
2
?
< br>3
根据燕尾定理，
△
ACN
:
△
ABN
?
CD
:
BD
?
2:1
；
page 4 of 18
同理
△
CBN
:
△
CAN
?
BM
:<
/p>
AM
?
1:1
设
△
AMN
面
积为
1
份，则
△
MNB
的面积也是
1
份，所以
△
ANB
的面积是
1
?
1
?
2
份，而
△
ACN
的
面积就是
2
?
2
?
4
份，
△
CBN
也是
4
份，这样
△
ABC
的面积为
4
?
4
?
1
?
1
?
10
份，所以
△
AMN
的
面积为
3
?
10
?
1
?
0.3
．
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC
?
2
DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米
?
A
F<
/p>
B
G
D
E
C
B
B
A
A
3
F
3
G
1
D
D
E
F
x
2
y
3
y
x
C<
/p>
E
G
C
【解析】
设
S
△
DEF
?
1
份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影
?
5
5
S
△
BCD
?
平方厘米
.
12
12
【例
2
】
如
图所示，在四边形
ABCD
中，
AB
?
3
BE
，
AD
?
3
AF
，四边形
AEOF
的面
积是
12
，那么平行四边
形
BODC
的面积为
________
．
A
F
< br>2
E
B
O
C
D
B
E
1
A
4
O
6
F
8
D
6
C
【解析】
连
接
AO
,
BD
,
根据燕尾定理
S
△
< br>ABO
:
S
△
< br>BDO
?
AF
:
FD
?
1:
2
,
S
△
AOD
:
S
△
BOD
?
AE
:
BE
?
2
:1
,
< br>设
S
△
BEO
< br>?
1
,
则其他图形面积，如图所
标，所以
S
BODC
?
2
S
AEOF
?
2
?
12
?
24
.
【例
3
】
ABC
D
是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点
，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形
AGCD
的面积是
_________
平方厘米．
D
C
D
C
G
F
G
< br>F
A
E
B
【解析】
连
接
AC
、
设
S
△
A
GB
，<
/p>
G
C
（
1
?
1
?
1
）
?
2
?
6
?
1
份，
根据燕尾定理得
S
△
AGB
?
1
份，
S
△
BGC
?
1
份，
则
S
正方形
?
A
E
B
份，
S
ADCG
?
3
?
1
?
4
份，所以
S
ADCG
?
12
2<
/p>
?
6
?
4
?
96
(cm
2
)
【例
4
】
如
图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形
BGHF
的
面积是
_____
平方厘米．
page 5 of 18
A
D
A
D
E
G
H
E
G
H
【解析】
连
接
BH
,
根据沙漏模型得
BG
:
GD<
/p>
?
1:
2
,
设
S
△
BHC
?
1
份，根据燕尾定理
S
△
CHD
?
2
份，
S
△
BHD
?
2
份，
1
2
7
7
（
1
?
2
?<
/p>
2)
?
2
?
10
份，
S
BFH
G
?
?
?
，所
以
S
BFHG
?
120
?
10
?
?
14
(
平方厘米
).
因此
S
正方形
?
2
3
6
6
【例
5
】
如
图所示，在
△
ABC
中，
BE
:
EC
?
3:1
，
D
是
AE
的中点，那么
AF
:
FC
?
．
B
F
C
B
F
C
A
F
A
F
D
D
B
【解析】
连
接
CD
．
E
C
B
E
< br>C
由于
S
△
ABD
:
S
△
BED
?
1:1
，
S
△
BED
:
S
△
BCD
?
3:
4
，所以
S
△
ABD
:
S
△
BCD
?
3:
4
，
根据燕尾定理，
AF
:
FC<
/p>
?
S
△
ABD<
/p>
:
S
△
BCD<
/p>
?
3:
4
．
【巩固】在
?
ABC
中，
BD
:
DC
?
3:
2
，
AE
:
EC
?
3:1
，求
OB
:
OE
?
？
A
A
O
B
【解析】
连
接
OC
．
E
D
C
O
B
D
E
C
因为
BD
:
DC
?
3:
2
，根据燕尾定理，
S
?
AOB
:
S
?
AOC
?
BD
:
BC
?
3:
2
，即
S
?
AOB
?
又
AE
:
EC
?
3:1
，所以
S
?
AOC
?
所以
OB
:
OE
?
S
?
AOB
:
S
?
AOE
3
S
?
AOC
；
2
4
3
3
< br>4
S
?
AOE
< br>．则
S
?
AOB
?
S
?
AOC
?
?
S
?
AOE
?
2
S
?
AOE
，
3
2
2
3
?
2
:1
．
【巩固】在
?
ABC
中，
BD
:
< br>DC
?
2:1
，
AE
:
EC
?
1:3
，求
OB
:
OE
?
？
A
E
O
< br>C
B
D
page 6 of 18
【解析】
题
目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积
< br>比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看
就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接
OC
．
连接
OC
．
A
E
O
C
因为
BD
:
DC
?
2:1
，根
据燕尾定理，
S
?
AOB
:
S
?
AOC
?
BD
:
BC
?
2
:1
，即
S
?
AOB
?
2
S
?
AOC
；
又
AE
:
EC
?
1:3
，所以
S
?
AOC
?
4
S
?
AOE
．则
S
?
AOB
?
2
S
?
AOC
?
2
?
4
S
?
AOE
?
8
S
?
AOE
，
所以
OB
:
OE
?
S
?
AOB
:
S
?
AOE
?
8:1
．
【例
6
】
（
2009
年清华附中入学测试题）如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
上的点，且
1
1<
/p>
AE
?
AB
，<
/p>
CF
?
BC
，<
/p>
AF
与
CE
相交
于
G
，若矩形
ABCD
的面积为
120
，则
?
AEG
与
?
CGF<
/p>
的
3
4
面积之和
为
．
B
D
A
E
G
B
F
D
A
E
H
B
D
A
< br>E
D
G
F
C
B
G
F
C
【解析】
(
法
1
)
如图
，过
F
做
CE
的平行线交
AB
于
H
< br>，则
EH
:
HB
?
CF
:
FB
?
1:3
，
1
所以
AE
?
EB
?
2
EH
，
AG
:
GF
?
AE
:
EH
?
2
，即
AG
?
2
GF
，
< br>
2
1
2
2
3
1
所以
S
?
AEG
?
?
?
S
?
AB
F
?
?
?
S<
/p>
ABCD
?
10
．
3
3
9<
/p>
4
2
2
2
3
1
1
且
EG
?
HF
?
?
EC
?
EC
，故
CG
?
GE
，则
S
?
CGF
?
1
?
?
S
?
AEG
?
5
．
3
3
4
2
2
所以两三角形面积之和为
10
?
5
?
15
．
<
/p>
(
法
2
)
如上右图，连接
AC
、
BG
．
C
根据燕尾定理，
S
?
< br>ABG
:
S
?
< br>ACG
?
BF
:
CF
?
3:1
，
S
?
BCG
:
S
?
ACG
?
BE
:
AE
?
2
:1
，
1
而
S
?
ABC
?
S
ABCD
?
60
，
2
3
1
2
1
所以
S
?
ABG
?
，
S
?
ABC
?
?
60
?
30
，
S
?
BCG
?
，
S
?
ABC
?
?
60
?
20
，
3
?
2
?
1
2
3
?
2
?
1
3
1
1
则
S
?
AEG
?
S
?
ABG
?
10
，
S
?
CFG
?
S
?
BCG
?
5
，
3
4
所以两个三角形的面积之和为
15
．
【例
7
】
如
右图，三角形
ABC
中，
< br>BD
:
DC
?
< br>4:9
，
CE
:
EA
?
4:3
，求
AF
:
FB
．
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A
F
B
O
D
E
C
【解析】
根
据燕尾定理得
S
△
AOB
:
S
△
AOC
?
BD
:
CD
?
4:9
?
12:
27
S
△
AOB
:
S
△
BOC
?
AE
:
CE
?
3:
4
?
12:1
6
（都有
△
AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
< br>所以
S
△
AOC
:
S
△
BOC
?
27:16
?
AF
:
FB
【点评】
本题关键是把
△
AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握
它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD
:
DC<
/p>
?
3:
4
，
AE
:
CE
?
5:6
，求
AF
:
FB
.
A
F
B
O
D
E
C
【解析】
<
/p>
根
据燕尾定理得
S
△
AOB
:
S
△
AOC
?
BD
:
CD
?
3:
4
?
15:
20
< br>
S
△
AOB
:
S
△
BOC
?
AE<
/p>
:
CE
?
5:<
/p>
6
?
15:18
（都有
△
AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
< br>S
△
AOC
:
< br>S
△
BOC
?
< br>20
:18
?
10
:9
?
AF
:
FB
【巩固】如图，<
/p>
BD
:
DC
?<
/p>
2:3
,
AE
:
CE
?
5:3
,
则
AF
:
B
F
?
A
E
C
F
B
D
G
【解析】
< br>根
据燕尾定理有
S
△
ABG
:
S
△
ACG
?
2
:
3
?
10
:15
,
S
△
ABG
:
S
△
BCG
S
△
ACG
:
S
△
BCG
?
15:
6
?
5:
2
?
AF
:
BF
?
5:3
?
10
:
6
,
所以
【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD
:
DC
?
2:3
，
EA
:
CE
?
5:
4
，求
AF
:
FB
.
A
F
B
O
D
E
C
【解析】
根
据燕尾定理得
S
△
AOB<
/p>
:
S
△
AOC<
/p>
?
BD
:
CD<
/p>
?
2
:
3
?
10
:15
S
△
AOB
:
S
△
BOC
?
AE
:<
/p>
CE
?
5:
4<
/p>
?
10
:8
<
/p>
（都有
△
AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
S
△
AOC
:
S
△
BOC
?
15:8
?
AF
:
FB
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【点评】
本题关键是把
△
AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例
8
】
(
2008
年
“学而思杯”
< br>六年级数学试题
)
如右图，
三角
形
ABC
中，
AF
:
FB
?
BD
:
DC
?
CE
:
AE
?
3:
2
，
且三角形
ABC
的面积是
1
，则三角形
AB
E
的面积为
______
，三角形
AGE
的面积为
________
，三角
形
GHI
的面积
为
______
．
< br>A
E
F
H
B
G
I
D
C
A
E
F
H
B
G
I
D
C
【分析】
连
接
AH
、
BI
、
CG
．
2
2
2
AC
，故
S
?
ABE
?
S
?
ABC
?
；
5
5
5
根据燕尾定理，
S
?
ACG
:
S
?
ABG
?
CD
:
BD
?
2
:3
，
S
?
BCG
:
S
?
ABG
?
CE
:
EA
?
3:
2
，所以
4
9
S
?
ACG
:
S
?
ABG
:
S
?
BCG
?
4
:
6
:
9
，则
S
?
AC
G
?
，
S
?<
/p>
BCG
?
；
<
/p>
19
19
2
2<
/p>
4
8
那么
S
?
AGE
?
S
?
AGC
?
?
?
；
5
5
19
95
9
同样分析可得
S
?
AC
H
?
，则
EG
:
EH
?
S
，
EG
:
EB
?
S
?
ACG
:
S
?
ACB
?
4
:19
，所以
?
A
C
G
:
S
?
A
C
H
?
4
:
9
19
EG
:
GH
:
HB
?
4:5:10
，同样分析可得
AG
:
GI
:
ID
?
10:5:
4
，
5
5
2
1
5
5
1
< br>1
所以
S
?
BIE
?
S
?
BAE
?
?
?
，
S
?
GHI
?
S
?
BIE
?
?
?
．
10
10
5
5
19
19
5
1
9
由于
CE
:
AE
?
3:
2
，所以
AE
?
【巩固】
如右图，三角形
ABC
中，
AF
:
FB
?
BD
:
DC
?
CE
:
AE
?
3:
2
，且三角形
GHI
的面积是
< br>1
，求三角形
ABC
的面积．<
/p>
A
A
F
I
B
H
G
D
E
F
I
C
B
H
G
D
E
C
【解析】
连
接
BG
，
S
△
AGC
?
6
份
根据燕尾定理，
S
< br>△
AGC
:
S
< br>△
BGC
?
AF
:
FB
?
3:
2
?
6
:
4
，
S
△
ABG
:
S
△
AGC
?
BD
:
DC
?
3:
2
?
9
:
6
S
6
得
S
△
BGC
?
4
(
份
)
，
S
△
ABG
?
9
(
份
)
，
则
S
△
< br>ABC
?
19
(
份
)
，因此
△
AGC
?
,
S
△
ABC
19
同理连接
AI
、
CH
得
所以
S
△
ABH<
/p>
6
S
6
?
,
△
BIC
?
,
S
△
ABC
19
S
△
ABC<
/p>
19
S
△
GHI
19
?
6
?<
/p>
6
?
6
1
?
?
S
△
ABC
19
19
三角形
GHI
的面积是
1
，所以三角形
ABC
的面积是
19
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