-
动角问题
1
．已知：
O
为直线
AB
上一点，一个三角板
COD
的直角顶点放在点
O
上，
OE
平分∠
AOC
，
OF
平分
∠
BOD
，当三角形
COD
绕
O
点旋转到如图所示时，下列结论不正确的是（
）
C
A
．∠
AOD
－∠
EOC
＝
90°
B
．∠
AOC
－∠
BOD
＝
90°
< br>
C
．∠
AOE
－∠
BOF
＝
45°
D
．∠
EO
F
＝
135°
2
．如图
1
，已知∠
AOC
＝
2
∠
BOC
，∠
< br>AOB
与∠
BOC
互补
(1)
求∠
AOB
的度数
(2)
经过点
O
在∠
AOC
内部作射线
OD
，
OE
、
OF
分别为∠
A
OD
和∠
BOC
的平分线，当
OD
绕点
O
在∠
AOC
内部转动时，请写出∠
AOB
、∠
COD
和∠
EOF
之间的等量关系，并说明理由
(3)
如图，
P
在
B
O
的延长线上，若∠
POD
＝
50°
，将∠
AOC
绕
点
O
顺时针旋转，使
AC
与直线
OB
相交，在
旋转的
过程中，那么∠
AOD
－∠
BOC
的值是否发生变化？请说明理由
解
：
(1)
∵∠
AOB
与∠
BOC
互补
∴∠
AOB
＋∠
BOC
＝<
/p>
180°
∵∠
AOC
＝
2
< br>∠
BOC
1
∴∠
BOC
＝
∠
AOB
< br>
3
1
4
∴∠
AOB
＋
∠
AOB
＝
∠
AOB
＝
180°
3
3
∴∠
AOB
＝
135°
（当然：设未知数可能会更直观）
(2)
∠
AOB
＋∠
COD
＝
2
∠
EOF
（基本结论）
2
(3)
由
(1)
可知，∠
AOC
＝
∠
AOB
＝
90°
3
设∠
BOC
＝
x
∴∠
AOB
＝
90°
－
x
，
AOD
＝
180°
－
50°
－
(90°
－
x
)
＝
40°
＋
x
∴∠
AOD
< br>－∠
BOC
＝
40°
＋
x
－
x
＝
40°
1
、角度
问题的常考题型：角度的基本概念、角度的转换与计算、角平分线与方位角的计算、方程思想求角
度、选择压轴的角度多结论问题，分类讨论及定值问题。
2
、常用方法：设元法、方程思想、分类讨论等。
1
1
．如图
1
，已知∠
AOC
＝
2
∠
BOC
，∠
AOB
与∠
BOC
互补
(1)
求∠
AOB
的度数
(2)
经过点
O
在∠
AOC
内部作射线
OD
，
OE
、
OF
分别为∠
AOD
和∠
BOC
的平分线，当
OD
绕点
O
在∠
AOC
内部转动
时，请写出∠
AOB
、∠
COD
和∠
EOF
之间的等量关系，并说明理由
(3)
如图，
P
在
BO
的延长线上，若∠
POD
＝
50°
，将∠<
/p>
AOC
绕点
O
顺
时针旋转，使
AC
与直线
OB
相交，在
旋转的过程中，那么∠
AOD
－∠
BOC
的值是否发生变化？请说明理由
解
：
(1)
∵∠
AOB
与∠
BOC
互补
∴∠
AOB
＋∠
BOC
＝
180°
∵∠
AOC
＝
2
∠
BOC
1
∴∠
BOC
＝
∠
AOB
< br>
3
1
4
∴∠
AOB
＋
∠
AOB
＝
∠
AOB
＝
180°
3
3
∴∠
AOB
＝
135°
（当然：设未知数可能会更直观）
(2)
∠
AOB
＋∠
COD
＝
2
∠
EOF
（基本结论）
2
(3)
由
(1)
可知，∠
AOC
＝
∠
AOB
＝
90°
3
设∠
BOC
＝
x
∴∠
AOB
＝
90°
－
x
，
AOD
＝
180°
－
50°
－
(90°
－
x
)
＝
40°
＋
x
∴∠
AOD
< br>－∠
BOC
＝
40°
＋
x
－
x
＝
40°
2
．已知
，
O
是直线
A
B
上的一点，∠
COD
是直角，
OE
平分∠
BOC
(1)
如图
1
，若∠
AOC
＝
40°
，求∠
DOE
的度数
(2)
在如图
1
中，若∠
AOC
＝
α
，直接写出∠
DOE
的度数（用含
< br>α
的代数式表示）
(3) <
/p>
将图
1
中的∠
D
OC
绕顶点
O
顺时针旋转至图
2
的位置
①
探究∠
A
OC
和∠
DOE
的度数之间的关系，写
出你的结论，并说明理由
1
②
在∠<
/p>
AOC
的内部有一条射线
OF
，满足
2
∠
AOF
＋∠
BOE
＝
(
∠
AOC
－∠
AO
F
)
，试确定∠
AOF
与∠
DOE
2
的度数之间的关
系，说明理由
2
(1)
∠
DOE=
< br>20°
(2)
?
(3)
（
1
）设∠
DOE=
?
则
∠
COE
=90°
-
?
∵
OE
平分∠
BOC
∴∠
BOC=2
∠
COE=1
80°
-2
?
∴∠
AOC=180°
-
∠
BOC=2
?
即∠
AOC=2
DOE
（
2
）
设
∠
DOE=
?
，
∠
AOC=2
?
< br>
∵
OE
平分∠
BOC
< br>，∠
COD
=90°
∴∠
BOE=
∠
COE
=90°
-
?
∵
2
∠
AOF+
∠
BOE=
∴
3
．∠
AOB
＝<
/p>
90°
，∠
COD
＝
60°
，
OE
平分∠
AOC
，
OF
平分∠
BOD
(1) <
/p>
如图
1
，当
A<
/p>
、
O
、
D
三点共线时，则∠
EOF
＝
< br>__________
(2)
将∠
< br>COD
绕点
O
顺时针方向旋转至
如图
2
所示位置，∠
COD
的两边
OC
、
OD
都在∠
AOB
的内部，求
∠
EOF
的度数
(3)
当∠
COD
< br>旋转至如图
3
所示位置，作∠
E
OF
的角平分线
ON
，求∠
EON
的度数
1
2
1
1
(
∠
AOC-
∠
AOF
∴
2
∠
AOF
+90°
-
?
=
(2
?
-
∠
AOF)
2
2
5
∠
AOF=2
?
-
90°
即
4
∠
DOE-5
∠
AOF=1
80°
2
解
：
(1)
75°
(2)
设∠
AOE
＝∠
COE
＝
x
，∠
BOF
＝∠
DOF
＝
y
∵∠
AOB
＝
90°
∴
2
x
＋
2
y
＋
60°
＝
90°
，
x
＋
y
＝
15°
∴∠
EOF<
/p>
＝
x
＋
y
＋
60°
＝
75°<
/p>
(2)
设∠
AOE
＝∠
COE
＝
x
，∠
BOF
＝∠
DOF
＝
y
∵∠
DOC
< br>＝
60°
∴∠
COF
＝
y
－
60°
<
/p>
∵∠
AOB
＋∠
BOF
＋∠
COF
＋∠
AOC
＝
360°
∴
90°
＋
y
＋
y
－
60
＋
2
x
＝
360°
，
x
＋
y
＝
16
5°
3
∴∠
EOF
< br>＝
x
＋
y
－
60°
＝
105°
∵
ON
平分∠
EOF
∴∠
EON
＝
4
．已知∠
AOB
和∠
COD
均为锐角，∠
AOB
＞∠
COD
，
OP
平分∠
AOC
，
OQ
平分∠
BOD
，将∠
COD
绕着点
O
逆时针旋
转，使∠
BOC
＝
α
< br>（
0≤
α
＜
180°
）
（
< br>1
）若∠
AOB
＝
60°
，∠
COD
＝
40°
，
①当
α
＝
0°
时，如图
1
，则∠
P
OQ
＝
____________
．<
/p>
②当
α
＝
80°
时，如图
2
，求∠
POQ
的度数．
③当
α
＝
130°
时，如图
3
，请先补全图形，然后求出∠
POQ
的度数
．
（
2
）若
∠
AOB
＝
m
°
，∠
COD
＝
n
°
，
m
＞
n
，则∠
POQ
＝
____________
．
<
/p>
D
Q
B
(
C
)
P
1
∠
EOF
＝
52.5°<
/p>
2
B
Q
C
P
B
C
D
O
图
2
A
O
A
O
解：
（
1
）①∠
POQ
＝
___
50°
___
．
………2
分
②解：∵∠
AOB
＝
60°
，∠
BOC
＝
α
＝
80°
∴∠
AOC
＝
140°
Q
P
∵
OP
平分∠
AOC<
/p>
B
1
C
∴∠
POC
＝
∠
AOC
＝
70°
2
∵
∠
COD
＝
40°
，∠
BOC
＝
α
< br>＝
80°
D
且
OQ
平分∠
BOD
A
O
同理可求∠
DOQ
＝
60°
图
2
∴∠
COQ
＝
∠
DOQ
－∠
DOC
＝
20°
∴
∠
POQ
＝
∠
POC
－∠
COQ
＝
< br>70°
－
20°
＝
50°
………5
分
③解：∵∠
AOB
＝
< br>60°
，∠
BOC
＝
α
＝
130°
B
∴∠
AOC
＝
170°
Q
∵<
/p>
OP
平分∠
AOC
1
O
∴∠
POC
＝
∠
AOC
＝
85°
2
C
∵∠<
/p>
COD
＝
40°
，∠
BOC
＝
α
＝
130°
< br>且
OQ
平分∠
BOD
D
P
同理可求∠
DOQ
＝
85°
<
/p>
图
3
∴∠
COQ
＝
∠
DOQ
－
∠
DOC
＝
85°
－
40°
＝
< br>45°
∴∠
POQ
＝
∠
POC
＋∠
COQ
＝
85°
＋
45°
＝
130°
………8
分
图
1
A
D
图
3
A
4
<
/p>
1
1
1
1
(2)
当∠
AOB
＝
m
°
，∠<
/p>
COD
＝
n
°<
/p>
时，∠
POQ
＝
m°
＋
<
/p>
n°
或
180
°
－
m°
－
n°
2
2<
/p>
2
2
………12
分
5
．已知∠
AOD
＝
α
，射线
OB
、
OC
在∠
AOD
的内部，
OM
平分∠
AOC
，
ON
平分∠
BOD
(1)
如图
1
，当射线
OB
与
OC
重合时，求∠
MON
的大小
(2)
在
(1)
的条件下，若射线
OC
绕点
O
逆时针旋转一定角度
θ
，如图
2
，求∠
MON
的大小
(3)
在
(2
)
的条件下，射线
OC
绕点
O
继续逆时针旋转，旋转到与射线
OA
的反向延长线重合为止，在这一旋
转过程中，∠
M
ON
＝
__________
5
【课堂练习】
1
.
如果两个角的差的绝对值等于
90
0
，就称这两个角互为垂角，例如：∠
1=120
0
，∠
2=30
0
，｜∠
1
—
∠
2
｜
=90
0
，则∠
1
和∠
2
互为垂角（本题中所有角都是指大于
0<
/p>
0
且小于
180
0
的角）
.
（
1
）如图
1
，
O
为直线
AB
上一点，∠
AOC
=90
0
，∠
EOD
=90
0<
/p>
，直接指出图中所有互为余角的角，所有互为
垂角的角；
（
2
）如果一个角的
垂角等于这个角的补角的
4
，求这个角的度数；
5
（
3
）如图
2
，
O
为直线
AB
上一点，若∠
AOC<
/p>
=90
0
,
∠<
/p>
BOD
=30
0
，且射线
OC
绕点
O
< br>以
9
0
/s
的速度逆时针旋
转，射线
OD
绕点
O
以
6
0
/s
的速度顺时针旋转，两条射线
OC
、
OD
同时运动，运动时间为
ts(0
＜
t
＜
30).
试求
当
t
为何值时，∠
AOC
和∠
AOD
互为垂角？
24.
解：
(1)
互为余角的角
:
∠
AOE
与∠
COE
,
∠
AOE
与∠
BOD
,
∠
COD
与∠
COE
,
∠
COD
与∠
BOD
(
写错一个扣
0.5
分
)
……2
分
互为垂角的角
:
∠
AOD
与∠
AOE
,
∠
AOD
与∠
COD
,
∠
BOE
与∠
COE
,
∠
BOE
与∠
BOD
(
写错一个扣
0.5
分
)
……4
分
(2)
设这个角的度数为
x
,
则
4
(180
0
-
x
)
x
=30
0
5
4
②当
90
0
＜
x
＜
18
0
0
时，
x
-
90
0
=
(180
0
-
x
)
x
=130
0
5
①当
0
0<
/p>
＜
x
＜
90
0
时，
90
0<
/p>
+
x
=
……6
分
∴
这个角的度数为
30
0
或
130
0
.
……
8
分
（
3
）①当
0
＜
t
＜
5
时
,
∠
AOC
=90-9t
∠
AOD
=150+6t
（
150+6t
）
-
（
90-9t
）
=90
t=2
②当
5
＜
t
＜
1
0
时
,
∠
AO
C
=90-9t
∠
AOD
=210-6t
(210-6t)-
（
90-9t<
/p>
）
=90
t=-10(
舍去
)
③当
10
＜
t
＜
20
时
,
∠
AOC
=9t-90
∠
AOD
=210-6t
(210-6t)-
（
9t-90
）
=90
t=14
④当
20
＜
t
＜
30
时
,
∠
AOC
=9t-90
∠
AOD
=210-6t
（
9t-90
）
-(210-6t) =90
t=26
……12
分
∴当
t
为<
/p>
2
或
14
或
26
时∠
AOC
与
∠
AOD
互为垂角
.
6
……9
分
……10
分
……11
分
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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