-
专题
22
正方形
1
．正方形定义：有一组邻边相等并
且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2
．正方形的性质：
（
1
）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
（
2
）正方形的
四个角都是直角，四条边都相等；
（
3
）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
（
4
）正方形是轴
对称图形，有
4
条对称轴；
（
5
）正方形的一条对角线把正方形分成两个全
等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的
小等腰直角三角形；
（
6
）正方形的一条
对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
专题知识回顾
3
．
正方形
的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
<
/p>
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形
< br>
先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。
b
2
4
．正方形的面积：设正方形边长为
a
，对角线长
为
b
，
S
正
方形
=
a
?
2
2
专题典型题考法及解析
【例题
1
】（
2019
湖南
郴州）
我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正
方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠
A
＝
90°
，
BD
＝
4
，
CF
＝
6
，则正方形
ADOF
的边长是（
）
A
．
√
2
B
．
2
C
．
√
3
D
．
4
【答案】
B
【解析】
设正方形
ADOF
的边长为
x
，
由题意得：
BE
＝
BD
＝
4
，
CE<
/p>
＝
CF
＝
6
，
∴
BC
＝
BE
+
CE
＝
BD
+
CF
＝
10
，
在
Rt
△
ABC
中，
AC
2
+
AB
2
＝
BC
2
，
即（
6+
x
）
2
+
（
x
+4
）
2
＝
10
2
，
整理得，
x
2
+10
x
﹣
24
＝
0
，
解得：
x
＝
2
，或
x
< br>＝﹣
12
（舍去）
，
∴
x
＝
2
，
即正方形
ADOF
的边长是
2
【例题
2
】
（
2019?
四川省凉山州）
如图，正方形<
/p>
ABCD
的对角线
AC
< br>、
BD
相交于点
O
，
E
是
OC
上一点，连
接
E
B
．过点
A
作
AM
⊥
BE
，垂足为
M
，
AM
与
BD
相交于点
F
．求证：
OE
＝
OF
．
【答案】见解析。
【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到
OB
< br>＝
OA
，根据
AM
⊥
BE
，即可得出∠
MEA
+
∠
MAE
＝
90°
＝∠
AFO
+
∠
MAE
，从而证出
Rt
△
BOE
≌
Rt
△
AOF
，得到<
/p>
OE
＝
OF
．<
/p>
证明：∵四边形
ABCD
是正方形．
∴∠
BOE<
/p>
＝∠
AOF
＝
9
0°
，
OB
＝
O
A
．
又∵
AM
⊥
BE
，
∴∠
MEA
+
∠
MAE
＝
90°
＝∠
AFO
+
< br>∠
MAE
，
< br>∴∠
MEA
＝∠
AFO
．
∴△
BOE
≌△
AOF
（
AAS
）
．
∴
OE
＝
OF
．
专题典型训练题
一、选择题
1
．
（
2019
内蒙古包头）
如图，在正方形
ABCD
中，
< br>AB
＝
1
，点
< br>E
，
F
分别在边
BC
和
CD
上，
AE
＝
AF
，∠
EAF
＝
60°
，则
CF
的长是（
）
A
．
B
．
C
．
﹣
1
【答案】
C
【解析】∵四边形
ABCD
是正方形，
∴∠
B
＝∠
D
＝∠
BAD
＝
90°
，
AB
＝
< br>BC
＝
CD
＝
< br>AD
＝
1
，
在
Rt
△
ABE
和
Rt
△
ADF
中，
，
< br>∴
Rt
△
ABE
≌
Rt
△
ADF
（
HL
）
，
∴∠
BAE
＝∠
DAF
，
∵∠
EAF
＝
60°
，
∴∠
BAE
+<
/p>
∠
DAF
＝
30
°
，
∴∠
D
AF
＝
15°
，
在
AD
上取一点
< br>G
，使∠
GF
A
＝∠
DAF
＝
15°
，如图所示：
∴
AG
＝
FG
，∠
D
GF
＝
30°
，
∴
DF
＝
FG
＝
AG
，
DG
＝
DF
，
设
DF
＝
x<
/p>
，则
DG
＝
x<
/p>
，
AG
＝
FG<
/p>
＝
2
x
，
∵
AG
+
DG
＝
AD
，
∴
2
x
+
x
＝
1
< br>，
解得：
x
< br>＝
2
﹣
，
D
．
∴
DF
＝
2<
/p>
﹣
，
）＝
﹣
1
；
∴
CF
＝
CD
﹣
DF
＝
1
﹣（
2
﹣
故选：
C
．
2
．
（
2019
湖南张家界）
如图，在平面直角坐标系中，将边长为
1
的正方形
OABC
绕点
O
顺
时针旋转
45°
后得到正方形
OA
1
B
1
C
1
，依此方式，绕点
O
连续旋转
2019
次得到正方形
OA
2019
B
2019
C
2019
，那么点
A<
/p>
2019
的坐标是（
）
A
．
（
，﹣
）
B
．
（
1
，
0
）
C
．
（﹣
，﹣
）
D
．
（
0
，﹣
1
）
【答案】
A.
【解析】解：∵四边形
OABC
是正方形，且
OA
＝
1
，
< br>
∴
A
（
0
，
1
）
，
∵将正方形
OABC
绕点
O
逆时针旋转
45°
后得到正方形
OA
1
B
1
C
1
，
∴
A
1
（
，
）
，
A
2
（
1
，
0
）
，
< br>A
3
（
，﹣
）
，
…
，
发现是
8
次一循环，所以
2019÷8
＝
252…
余
3
，
∴点<
/p>
A
2019
的坐标为（
< br>故选：
A
．
，﹣
）
3.
（
20
19?
四川省广安市）
把边长分别为
1
和
2
的两个正方形按图的方式放置
.
则图中阴影部分的面积为
2
1
(
A
)
(
B
)
1
6
1
3
(
C
)
1
1
(
D
)
5
4
【答案】
A<
/p>
【解析】阴影部分面积
=1×
2
1
1
×
=
3
2
< br>6
4.
（
2019?
贵州省铜仁市）
如图，
正方形
ABCD
中，
AB
＝
6
，
E
为
< br>AB
的中点，
将△
ADE
沿
DE
翻折得到△
F
DE
，
延长
EF
交
BC
于
G
，
FH
⊥
BC
，垂足为
H
，连接
BF
、
DG
．以下结论：①
BF<
/p>
∥
ED
；②△
D
FG
≌△
DCG
；③
< br>△
FHB
∽△
EAD
；④
tan
∠
GEB
＝
；⑤
S
△
BFG
＝
2.6
；其
中正确的个数是（
）
A
．
2
【答案】
C
．
【解答】∵正方形
ABCD
中，
AB
＝
6
，
E
为
AB
的中点
∴
AD
＝
DC
＝
BC
＝
AB
＝
6
，
AE
＝
BE
＝
3
，∠
A
＝∠
C
＝∠
ABC
＝
90°
∵△
ADE<
/p>
沿
DE
翻折得到△
FDE
∴∠
AED
＝∠
FED
，
AD
＝
FD
＝
6
，
AE
＝
EF
＝
3
，∠
A
＝∠
DFE
＝
90°
∴
BE
＝
EF
＝
3
，∠
DFG
＝∠
C
＝
90°
∴∠
EBF<
/p>
＝∠
EFB
∵
∠
AED
+
∠
FED
＝∠
EBF
+
< br>∠
EFB
∴∠
DEF
＝∠
EFB
∴
BF
∥
ED
故结论①正确；
∵
AD
＝
DF
＝
DC
＝
6
，∠
DFG
＝∠
C
＝
90°
，
DG
＝
DG
∴
Rt
△
DFG
≌
Rt
△
DCG
B
．
3
C
．
4
D
．
5
∴结论②正确；
< br>∵
FH
⊥
BC
< br>，∠
ABC
＝
90°
∴
AB
∥
FH
，∠
FHB
＝∠
A
＝
90°
∵∠
EBF
＝∠
BF
H
＝∠
AED
∴△
FHB
∽△
EAD
∴结论③正确；
∵
Rt
△
DFG
≌<
/p>
Rt
△
DCG
∴
FG
＝
CG
设
FG
＝<
/p>
CG
＝
x
，则<
/p>
BG
＝
6
﹣
x
，
EG
＝
3+
x
在
Rt
△
BEG
中，由勾
股定理得：
3
2
+
（
6
﹣
x
）
2
＝（
3+
x
）
2
解得
：
x
＝
2
<
/p>
∴
BG
＝
4
∴
tan
∠
GEB
＝
故结论④正确；
< br>
∵△
FHB
∽△
EAD
，且
∴
BH
＝
2
FH
设
FH
＝
a
，则
HG
＝
4
﹣
2
a
< br>在
Rt
△
FHG
中，由勾股定理得：
a
2
+<
/p>
（
4
﹣
2
a
）
2
＝
2
2
解得：
a
＝
2
（舍去）或
a
＝
∴
S
△
BFG
＝
×4×
＝
2.4
故结论⑤错误。
5
< br>．
（
2019
黑龙江省绥化）<
/p>
如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
是对角线
AC
上的两个动点，
P
是正方形四边上
的任意一点，且
AB
＝
4
，
EF
＝<
/p>
2
，设
AE
＝<
/p>
x
．当△
PEF
是等腰三角形时，下列关于
P
点个数的说法中，一定
正确的是（
）
①当
x<
/p>
＝
0
（即
E
、
A
两点重合）时，
P
点有
6
个
②当
0
＜
x<
/p>
＜
4
2
﹣
2
时，
P
点最多有<
/p>
9
个
③当
P
点有
8
个时，<
/p>
x
＝
2
2
﹣
2
＝
④当△
P
EF
是等边三角形时，
P
点有
4
个
A
．①③
B
．①④
C
．②④
【答案】
B
【解析】①当
x
＝
0
< br>（即
E
、
A
两点重合）时，如下图，
分别以
A
、
F
为圆心，
2
为半径画圆，各
2
个
P
点，
以
AF
为直径作圆，有
2
个
P
点，共
6
个，<
/p>
所以，①正确。
②当
0
＜
x
＜
4
2
﹣
2
时，
P
点最多有
8
个，
故②错误。
D
．②③
二、填空题
6
．
（
2019
湖南邵阳）
公元
3
世纪初，中国古
代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了
“
赵爽弦图
”
．如图，
设勾
a
=6
，弦
c
=10<
/p>
，则小正方形
ABCD
的面积是
.
【答案】
4
．
【解析】∵勾
a
＝
6
，弦
c
＝
10
，
∴股＝
＝
8
，
∴小正方形的边长＝
8
﹣
6
＝
2
，
∴小正方形的面积＝
2
2
＝<
/p>
4.
故答案是：
4.
7
．
（
2019
< br>湖南张家界）
如图：正方形
ABCD
的边长为
1
，点
E
，
F
分别为
BC
，
CD
边的中点，
连接
AE
，
BF
交于点
P
，连接
P
D
，则
tan
∠
APD
＝
．
【答案】
2
．
【解析】解：连接
AF
，
∵
E
< br>，
F
分别是正方形
ABCD
边
BC
，
CD
的中点，
∴
CF
＝
BE
，
，<
/p>
在△
ABE
和
△
BCF
中，
，
∴
Rt<
/p>
△
ABE
≌
Rt
△
BCF
（
S
AS
）
，
∴
∠
BAE
＝∠
CBF
< br>，
又∵∠
BAE
+
∠
BEA
＝
90°
，
∴∠
CBF
+
∠
BEA
＝
90°
，
∴∠
BPE
＝∠
AP
F
＝
90°
，
∵∠
ADF
＝
90°
，
∴∠
ADF
+
∠
APF
< br>＝
180°
，
∴
A
、
P
、
F
、
D
四点共圆，
∴∠
AFD
＝∠
APD
，
∴
tan
∠
APD
＝
tan
∠
AFD<
/p>
＝
故答案为：
2
．
＝
2
，
8.
（
20
19?
湖北省随州市）
如图，已知正方形
ABCD
的边长为
a
，
E
为
CD
边上一点（不与端
点重合），将△
ADE
沿
AE
对折至△
AFE
，延长
EF
交边
BC
于点
G
，连接
AG
，
< br>CF
．给出下列判断：
①∠
EAG
=45°
；
②若
DE
=
a
，则
AG
∥
CF
；
③若
E
为
CD
的中点，则△
GFC
的面积为
a
2
；
④若
CF
=
FG
，则
DE
=
（
⑤
BG
?
DE
+
AF
?
GE
=
a
2
．
其中正确的是
______
．（写出所有正确判断的序号）
【答案】①②④⑤
【解析】①∵四边
形
ABCD
是正方形，
∴
AB
=
BC
=
AD
=
a
，
∵将△
ADE
沿
AE
对折至△
AFE
-1
）
a
；<
/p>
，
∴∠
AFE
=
∠
ADE
=
∠
ABG
=
90°
，
AF
=
AD
=
AB
，
EF
=
DE
，∠
DAE
=
∠
FAE
，
在
Rt
< br>△
ABG
和
Rt
△
AFG
中
∴
Rt
△
ABG
≌
Rt
△
AFG
（
HL
），
∴∠
BAG
=
∠
FAG
，
∴∠
GAE<
/p>
=
∠
GAF
+<
/p>
∠
EAF
=
90
°
=45°
，故①正确；
，
②∴
BG
=
GF
，∠
B
GA
=
∠
FGA
，
设
BG
=
GF
=
x
，
∵
DE
=
a
，
∴
EF
=
a
，
∴
CG
=
a
-
x
，
在
Rt
△
EGC
中，
EG
=
x
+<
/p>
a
，
CE
=
a
，由勾股定理可得（
x
< br>+
a
）
2
=
x
2
+
（
a
）
2
，
解得
x
=
a
，此时
BG
=
CG
=
a
，
∴
GC
=
GF
=
a
，∴∠
GFC
=
∠
GCF<
/p>
，且∠
BGF
=
∠
GFC
+
∠
GCF
=2
∠
GCF
< br>，
∴
2
∠
AGB
=2
∠
GCF
，∴∠
AGB
=
∠
GCF
，∴
AG
∥
CF
，∴②正确；
③若
E
为
CD
的中点，则
DE
=
CE
=
EF
=
，
设
BG
=
GF
=
y
，则
CG
=
a
-
y
，
CG
2
+
CE
2
=<
/p>
EG
2
，
即
，解得，
y
=<
/p>
a
，
∴
BG
=
GF
=
，
CG
=
a
-
，∴
，
∴
④当
CF
=
FG
，则∠
FGC
=
∠
FCG
，
，故③错误；
∵∠
FGC
+
∠
FEC
=
∠
FCG
< br>+
∠
FCE
=90°
，∴∠
FEC
=
∠
FCE
，∴
EF
=<
/p>
CF
=
GF
，<
/p>
∴
BG
=
GF
=
EF
=
DE
，∴
EG
=2
DE
，
CG
=
CE
=
a
-<
/p>
DE
，∴
∴
DE
=
（
-1
）<
/p>
a
，故④正确；
，即
，
⑤设
BG
=
GF
=
b
，
DE
=<
/p>
EF
=
c
，则<
/p>
CG
=
a
-
b
，
CE
=
a
-
c
，
由勾股定理得，（
b
+
y
）
2
=
（
a
-
b
）
2
+
（
a
-
c
）
< br>2
，整理得
bc
=
a
2
-
ab
-
ac
，
< br>∴
∵
S
△
ABG
=
S
△
AFG
，
S
△
AEF
=
S
△
ADE
，∴
=
，即
< br>S
△
CEG
=
< br>BG
?
DE
，
< br>
，
∵
S
五边形
ABGED
+
S
△
CEG
=
S
正方形
ABCD
，∴
BG
?
DE
+
AF
?
EG
=
a
2
，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．<
/p>
①由折叠得
AD
=
AF
=
AB
，再由
HL
定理证明
Rt
△
ABG
≌
Rt
△
AFG
便可判定正误；
②设
BG
=
GF
=
x
，由勾股定理可得（
x
+
a
）
2
=
x
2
+
（
a
）
2
，求得
BG
=
< br>a
，进而得
GC
=
GF
，得∠
GFC
=
∠
GCF
，再证明∠
AGB
=
∠
GCF
，便可判断正误；
③设
BG
=
GF
=
y
，则
CG
=
a
-
y
，由勾股定理得
y
的方程求得
BG
，
< br>GF
，
EF
，再由同高的两个三
角形的面积比
等于底边之比，求得△
CGF
的面积，便可判断正误；
④证明∠
FEC
=
∠
FCE
< br>，得
EF
=
CF
=
GF
，进而得
EG
=2
DE
，
CG
=
CE
=
a
-
DE
，由等腰直角三角形的斜边与直角
边的关系式便可得结论，进而判断正误；
D
E
=
EF
=
c
，
CE
=
a<
/p>
-
c
，
⑤设
BG
=
GF
=
b
，
则
CG
=
a
-
b
，
由勾股定理得
bc
=<
/p>
a
2
-
ab
-
ac
，
再得△<
/p>
CEG
的面积为
BG
?
DE
，
再由五边形
ABGED
的面积加上△
CEG
的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．
9
．
（
2019
福建
）
如图，边长为
2
的正方形
ABCD
中心与半径为
2
的⊙
O
的圆心重合，
E
、
F
分别是
AD
、
BA
的延长与⊙
O
的交点，则图中阴影部分的面积是
．
（结果保留
π
）
【答案】
π
﹣
1
．
<
/p>
【解析】延长
DC
，
CB
交⊙
O
于
M
，
N
，根据圆和正方形的面积公
式即可得到结论．
延长
DC
，
CB
交⊙
O
于
M
，
N
，
则图中阴影部分的面积＝
×
（
S
圆
O
﹣
S
正方形
A
BCD
）＝
×
（
4π
﹣
4
）＝
π
﹣
1
，
10.
（
2
019?
四川省凉山州）
如图，正方形
ABCD
中，
AB
＝
< br>12
，
AE
＝
< br>AB
，点
P
在
< br>BC
上运动（不与
B
、
C
重合）
，过点
P
作
PQ
⊥
EP
，交
CD
于点
Q<
/p>
，则
CQ
的最大值为
．
【答案】
4
【解析】先证明△
BPE
∽△
CQP
，得到与
CQ
有关的比例式，设
CQ
＝
y
，
BP
＝
x
，则
CP
＝
12
﹣
x
，代入解析
式，得到
y
与
x
的二次函数式，根据二次函数的
性质可求最值．
∵∠
BEP
+
∠
BPE
＝
90°
，∠
QPC
+<
/p>
∠
BPE
＝
90
°
，
∴∠
B
EP
＝∠
CPQ
．
又∠
B
＝∠
C
＝
90°
，
∴△
BPE
∽△
CQP
．
∴
．
设
CQ
＝
y
，
BP
＝
x
，则
CP
＝
12
﹣
x
．
∴
，化简得
y
＝﹣
（
x
2
﹣
12
x
）
，
整理得
y
＝﹣
（
x
﹣
6
）
2
+4
，
< br>所以当
x
＝
6
< br>时，
y
有最大值为
4
．
11.
（
2019?
广东广州）
如图，正方形
ABCD
的边长为
a
，点
E
在边
AB
上
运动（不与点
A
，
B
< br>重合）
，∠
DAM
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