-
第一章：规定动作
1.
规定动作之联消判韦
x
2
y
2
?
?
1
的左、右顶点，
F
为该椭圆的左焦点，
（
2013
天津卷改编）已知
A
,<
/p>
B
是椭圆
3
2<
/p>
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
过点
F
且斜率为
k
的直线与椭圆交于
C
,
D
两点。若
AC
?
D
B
?
AD
?
C
B
?
8
，求
k
的值
.
2.
联消判韦之速算判别式
x
2
y
2
?
?
1
交于
A
,
B
两点，线段
（
2018
全国
3
卷改编）已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C
:
4
3
AB
中点
D
的横坐标为
1
，求证
:
|
k
|
?
1
.
2
-
1 -
3.
联消判韦之速算弦长
x
2
?
y
2
< br>?
1
的右焦点为
F
，直线
l
的方程为
x
?
?
2
，过点
F
（
2015
江苏卷
改编）已知椭圆
2
的直线与椭圆交于
A
,
B
两点，线段
AB
的垂直平分线分别交直线
l
和<
/p>
AB
于点
P
,<
/p>
C
,
若
PC
?
2
AB
,
求直线
AB
的方程。
4.
联消判韦之直线的设法
:
x
型还是
y
型
x
2
y
2
?
?
1
的右顶点为
A
，直线
y
?
k
?
x
?
1
?
与椭圆交于不
（
2012
北京文改编）已知椭圆
4
2
同的两点
M
,
N
.
当三角形
AMN
的面积为
- 2
-
10
时，求
k
的值
.
3
5.
联消判韦之第三方联立
x<
/p>
2
y
2
?
?
1
，
过点
P
?
0,3
?
的直线
l
与椭圆
C
交于
A
,
B
两
（
2013
陕西文
改编）
已知椭圆
C
:
< br>4
3
点，若
A
< br>是
PB
的中点，求直线
l
的斜率
.
6.
传说中的点乘双根式
x
2
y
2
?
?
1
，
B
1
(
?
2,0),
B
2
(2,0)
，过
B
1
的直线
l
交椭圆于
（
2012
重庆理改编）已知椭圆
20
4
P
,
Q
两点，且
PB
2
?
QB
2
，求直线
l
的方程
.
- 3 -
7.
< br>不对称处理第
0
招
:
假的不对称，整体就对称
已知椭圆
C
:
x
?
< br>3
y
?
3
.
过点
D
?
1,0
?
且不过
E
?
2,1
?
的直线与椭圆
C
交于
A
,
B
两点，直
2
2
线
AE
与直线
x
?
3
交于点
M
.
试判断直线
BM
与
直线
DE
的位置关系，并说明理由
.
8.
不对
称处理第
1
招
:
硬凑韦达
（
2011
四川理改编）
椭圆有两顶点
A
?
?
1
,0
?
,
B
?
1<
/p>
,0
?
,
过其焦
点
F
?
0,1
?
的直线
l
与椭圆交于
C
,
D
两点，并与
x
轴交于点
P
。直线
AC
与直线
BD
交
于点
Q
，当点
P
异于
A
,
B
两点时，
u
u
u
r
u
u
u
r
求证
:
OP
?
OQ
为定值
.
- 4
-
9.
不对称处理第
2
招
:
顶点弦代换
（
2011
四川理改
编）
椭圆有两顶点
A
?
?
1
,0
?
< br>,
B
?
1
,0
?
,
过其焦点
< br>F
?
0,1
?
< br>的直线
l
与椭圆交于
C
,
D
两点，并与
x
轴交于点
P
。直线
AC
与直线
BD
交于点
Q
，当点
P
异于
A
,
B
两点时，
u
u
u
r
u
u
u
r
求证
:
OP
?
OQ
为定值
.
10.
不对称处理第
3
招
:
平方法和曲线代换
x
2
y
2
?
?
1
的左右顶点分别为
A
,
B<
/p>
，过右焦点
F
的直线
l
与椭圆
C
交于
< br>P
,
Q
已知椭圆
C
:
4
3
两点
?
P
点在
x
轴上方
?
.
设直线
AP
,
BQ
的斜率分别为
k
1
,
k
2
，是否存在常数
?
，使得
k
1
=
?
k
2
？
若存在，求出
?
的值；若不存在，请说明理
由
.
- 5 -
11.
不对称处理第
4
招
:
和积关系代换
x
2
y
2
?
?
1
< br>的左右顶点分别为
A
,
B
，过右焦点
F
的直线
l
与椭圆
C
交于
P
,
Q
已知椭圆
C
:
4
3
两点
?
P
点在
x
轴上方
?
.
设直线
AP
,
BQ
的斜率分别为
k
1
,
k
2
，是否存在常数
?
，使得
k
1
=
?
k
2
？
若存在，求出
?
的值；若不存在，请说明理由<
/p>
.
12.
联
消解之
1:
过椭圆顶点的弦
x
2
y
2
（
2015
天津文改编）已知椭圆
< br>2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的上顶点为
B
< br>,
左焦点为
F
，离心率
a
b
为
5
。
直线
BF
与椭圆交于点<
/p>
P
?
P
异于点<
/p>
B
?
，过点
B<
/p>
且垂直于
BP
的直线与椭圆交于点
5
Q
,
直线
PQ
与
y
轴交于点
M
,
|
PM
|
?
?
|
MQ
|,
求
?
的值
- 6
-
13.
联消解之
2:
过椭圆中心的弦
（
2008
全国
2
改
编）设椭圆中心在坐标原点，
A
(2,0),
< br>B
(0,1)
是它的两个顶点，直线
u
u
u
r
u
u
u
r
y<
/p>
?
kx
?
k
＞
0
?
与
AB
相交于点
D
,
与椭圆相交于
E
,
F
两点
.
若
E
D
?
6
DF
,
求
k
的值
.<
/p>
14.
联消解之
3:
过椭圆上已知点的弦
x
2
y
2
椭圆
C
:
2
?
2
?
1
的右顶点
Q
,
O
为坐标原点，<
/p>
过
OQ
的中点作
x
轴的垂线与椭圆第一象
a
b
限交于点
A
，点
A
的纵坐标为
（
1
）
求椭圆的离心率；
（
2
）过点
A
作斜率为
求椭圆的
方程
.
15.
联
消解之
4:
只求弦的一个端点坐标
(<
/p>
单端点问题
)
- 7 -
3
c
,
c
为半焦距
.
<
/p>
2
1
?
1
9
?
的直线
l
与椭圆交于另一点
B
，以
AB
为直径的圆过点
P
?
,
?
，
2
?
2
2
?
< br>x
2
y
2
3
（
2015
天津理）
已知椭圆
2
+
2
=1(
a
>
b
>
0)
的左焦点为
F
，
离心率为
，
点<
/p>
（
-
c
,0
）
3
a
b
b
2
截
得
的
线
段
的
< br>长
为
c
，
M
在
椭
圆
上
且
位
于
第
一
象
限
，
直
线
FM
被
圆
x
+
y
?
4
2
2
|
FM
|
?
4
3
.
（
1
）求直线<
/p>
FM
的斜率；
（
2
）求椭圆的方程
.
3
第二章：三焦必考
- 8 -
16.
椭圆的焦半径
x
2
y
2
?
1
交于
A
，
B
两点．
线段
AB
（
2018
全国
3
卷）
已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C<
/p>
：
?
4
3
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
的中点为
M
(1,
m
)(
m
?
0)
．设
F
为
C
的右焦点，
P
为
C
上一点，且
FP
?
FA<
/p>
?
FB
?
0
．
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
< br>u
r
证明：
2
< br>|
FP
|
?
|
FA
|
?
|
FB
|
．
17.
两条平行的焦半径
.
x
2
?
y
2
?
1
上位于
x
轴上方的两点
,
F
1
,
F
2
分别为椭圆的
（
2012
江苏卷改编）
已知
A
,
B
是椭圆
2
左、右焦点，且直
线
AF
1
与直线
BF
2
平行，若
AF
1
?
BF
2
< br>?
18.
焦半径比例小公式
- 9 -
6
，求直线
AF
1
的斜率
.
2
x
2
y
2
（
2010
辽宁卷）
设椭圆
C
：
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的左焦点为
F
，
过点
F
的直线与
椭圆
C
a
b
u
u
u
r
u
u
u
r
相交于
A
,
B
两点，直线
l
的倾斜角为
60
,
AF
?
2
FB
.
o
（
1
）求椭圆
C
的离心率；
（
2
）如果
AB
=
19.
焦点三角形
(
一
)
15
，求椭圆
C
的方程
.
4
x
2
y
2
（
< br>2019
全国
3
文）
已知
F
1
,
F
2
是椭圆
C
:
2
?
2
< br>?
1(
a
?
b
?
0)
的两个焦点，
C
上存在点
P
,
a
b
使得
PF
1
?
PF
2
,
且
?
F
1
PF
2
的面积等于
16
，求
b
的值和
a
的取值范围
.
20.
焦点三角形
(
二
)
- 10 -
x
2
y
2
（
2015
重庆理）椭圆
2<
/p>
?
2
?
1
?
a
?
b
?
0
?
的左、右焦点分别
为
F
1
,
F<
/p>
2
,
过
F
2
的直线交椭
a
b<
/p>
圆于
P
,
Q
两点，且
PQ
?
P
F
1
.
若
PF
1
?
PQ
,<
/p>
求椭圆的离心率
.
21.
抛物线的焦半径公式
（
2017
全国
1
理）
已知
F
为抛物
线
C
:
y
?<
/p>
4
x
的焦点，
过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
,
l
2
，
直线
l
1
< br>与
C
交于
A
,
B
两点，直线
l
2
与
C
交于
< br>D
,
E
两点，求
AB
?
DE
的最小值
22.
抛物线的焦点弦
- 11 -
2
< br>（
2016
全国
3
理）
已知抛物线
C
：
y
2
?
2
x
的焦点为
F
，
平行于
x
轴的两条直
线
l
1
,
l<
/p>
2
分别交
C
于<
/p>
A
,
B
两点，交
C
的准线于
P
,
Q
两点
.
若
点
F
在线段
AB
上，
R
是
PQ
的中点，
证明
AR
∥
FQ
23.
抛物线的直角弦
直线
l
和抛物线
y
?
2
px
相交于异于原
点的两点
A
,
B
,
以
AB
为直径的圆过抛物线的顶点
，
证明
:
直线
l
过定点，并求定点的坐标
.
24.
抛物线的定点弦
- 12 -
2
< br>（
2009
天津理）
设抛物线<
/p>
y
?
2
x
的焦点为
F
，
过点<
/p>
M
2
?
3,0<
/p>
的直线与抛物线相交于
A
,
B
S
?
BCF
?
两点，与抛物线的准线相交于点
C
，
BF
=2
，求
?
BCF
与
?
ACF
的面积之比
25.
中点弦与点差法
S
?
ACF
第三章：条件翻译
- 13 - <
/p>
（
2011
山
东
文
）
在
平
面
直
角
坐
标
系
xOy
中
，
已
知
椭
圆
C
:
x
< br>2
3
?
y
2
?
1
．如图所示，斜率为
k
(
k
＞
0)
且不过原点的直
线
l<
/p>
交椭圆
C
于
A<
/p>
，
B
两点，
线段
AB
的中点为
E
，
射线
OE
交椭圆
< br>C
于点
G
，
交直线
x
?
?
3
于点
D
(
?
3,
m
)
．
求
m
2
?<
/p>
k
2
的最小值；
26.
椭圆中的对称问题
（
2010
安徽理改编）
已知椭圆
E
:
x
2
y
2
16
?
12
?
1<
/p>
，在椭圆
E
上是否存在关于直线
l
：
2
x
?
y
?
1
< br>?
0
对称的相异两点？
若存在，
请找出；若不存在，说明理由
.
27.
抛物线中的点差法
- 14 -
（
< br>2016
全国
3
文）已知抛物线
C
:
y
?
2
x
的焦点为
F<
/p>
，平行于
x
轴的两条直线
l
1
，
l
2
分别
交
C
于
A
,
B
两
点，
交
C
的准线于
P
,
Q
两点
.
若△
PQF
的面积是△
ABF
的面积的两倍，
求
2
AB
中点的轨迹方程
.
28.
隐蔽的中点弦
x
2
y
2
（
2015
陕西理）已知椭圆
E<
/p>
:
2
?
2
?
1
（
a
?
b
?
0
）的半焦距为
c
，原点
?
到经过两点
a
b
（
1
）求椭圆
E
的离心率；
?
c
,0
?
，
?
0,
b
?
的直线的距离为
1
c
．
2
（
2
）如图，
AB
是圆
M
:
?
x
?
2
?
< br>?
?
y
?
1
?
?
椭圆
E
的方程．
29.
以
AB
为直径的圆过点
P
2
2
5
的一条直径，若椭圆
?
经过
A
,<
/p>
B
两点，求
2
-
15 -
x
2
y
2
（
2014
< br>天津理）设椭圆
2
?
2
?
1
（
a
?
b
?
0
< br>）的左、右焦点为
F
1
,
F
2
，右顶点为
A<
/p>
，上
a
b
顶点为
B
.
已知
AB
=
3
F
1
F
2
.
（
1
）求椭圆的离心率；
2
（
2
）设
P
为椭圆上异于其顶点的一点，以线段
PB
为直径的圆经过点
F
1
，经过原点
的直线
l
与该圆相切
.
求直线的斜率
.
30.
点
P
在以<
/p>
AB
为直径的圆内
(
外
)
m
2
?
0
过抛物线
C
:
y
2
?
2
px
(
p
?
0)
的焦点
F
,
与
C
已知
m
是非实数，直线
l
< br>:
x
?
my
?
2
交于
A
,
B
两点，过
A
,
B
分别做抛物线
C
的准线的垂线，垂足为
A
1
,
B
1
,
?<
/p>
AA
1
F
,
?
BB
1
F
的重
心分别为
G
,<
/p>
H
.
求证：对任意非零实数
m
，抛物线
C
的准线与
x
轴的交点在以线段
GH
< br>为
直径的圆外
.
31.
共线的成比例线段
- 16 -
x
< br>2
?
y
2
?
1
．如图所示，斜率为
（
2011
山东文）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
:
3
k
(
k
＞<
/p>
0)
且不过原点的直线
l
交椭圆
C
于
A
,
B
两点，
线段
AB
的中点为
E
，
射线
OE
交椭圆
C
于点
G
，交直线
x
?
?
3
于点<
/p>
D
(
?
3,
m
)
．
|
OG
|
2
?
|
OD
|
?
|
OE
|
，求证：直线
l
过定点
.
32.
圓的切线小公式
x
2
?
y
< br>2
?
1
．如图所示，斜率为
（
2011
山东文）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
:
3
k
(
k
＞
0)
且不过原点的直线
l
交椭圆
C
于
A
,
B
两点，
线段
AB
的中点为
E
，
射线
OE
交椭圆
C
于点
G
，交
直线
x
?
?
3
于点
D
(
?<
/p>
3,
m
)
．
|
OG
|
2
?
|
OD
|
?
|
OE
|
，求证：直线
l
过定点
.
33.
椭圆的切线小公式
x
2
?
y
2
?
1
的左、右焦点分别是<
/p>
F
1
,
F
2
点
P
是椭圆
C
上除长轴端
（
20
13
山东理）椭圆
C
:
4
- 17 -
点外的任
一点，连接
PF
1
,
< br>PF
2
.
过点
< br>P
作斜率为
k
的直线
l
，使得
l
与椭圆
C
有且只有一个
公共点，设直线
PF
1
,
PF
2
的斜率分别为
k
1
,
k
2
.
若
k
?
0,
试证明
个定值
.
34.
抛物线的切线小公式
1
1
?
为定值，并求出
这
kk
1
kk
2
x
2
（
20
17
全国
1
文）设
A
,
B
为曲线
C
:
y
?
上两点，
A
与
B
的横坐标之和为
4.
4
（
1
）求直线
AB
的斜率；
（
2
）
设
M
为曲线
C
上一点，
且
AM
?
BM
，
求直
线
AB
C
在
M
处的切线与直线
AB
平行，
的方程
.
35.
几条曲线的公切线
- 18 -
x
< br>2
y
2
（
2012
广东文）在平面直角坐标系
xOy
< br>中，已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?
1(
a
?
b
< br>?
0)
的左焦点
a
b
为
F
,0
?
，且点
P
?
0,1
?
在
C
1
上
.
1
?
?
1
(1)
求椭圆
C
1
的方程；
2
(2)
设直线
l
同时与椭圆
C
1
和抛物线
C
2
:
y
?
4
x<
/p>
相切，求直线
l
的方程。
36.
切点弦方程
< br>（
2013
广东文）
已知抛物线
C
的顶点为原点，
其焦点
F
?
0,
c
??
c
?
0
< br>?
到直线
l
:
< br>x
?
y
?
2
?
0
的距离为
3
2
．
设
P
为直线
l
上的点，
< br>过点
P
作抛物线
C
的两条切线
PA
,
PB
，
其中
A
,
B
为
2
切点．
（
1
）
求抛物线
C
的方程；
（<
/p>
2
）当点
P
?<
/p>
x
0
,
y
0
?
为直线
l
上的定点时，求直线
AB
的方
程
.
37.
等腰三角形的翻译
- 19 -
x
< br>2
y
2
（
2010
全国新课标理）
设
F
1
,
F
2
分别是椭圆
E
:
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的左、
右焦点，
过
F
1
a
b
斜率为
1
的直线
l
与
E
相交于
A
,
B
两点，且
AF
2
,
AB
,<
/p>
BF
2
成等差数列。
（
1
）求
E
的离心率；
（
< br>2
）设点
P
(0,
?
1)
满足
PA
?
PB
，求
E
的方程
38.
与坐标轴围成的等腰三角形
<
/p>
x
2
（
2015
全国
1
卷理）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
:
y
?
与直线
l
:
y
?
kx
?
a
(
a
?
0)
交
4
与
M
,
N
< br>两点，
y
轴上是否存在点
P
，使得当
k
变动
时，总有
?
OPM
?
< br>?
OPN
？说明理
由。
39.
等边三角形的翻译
- 20 -
x
< br>2
y
2
1
已知椭圆
E
:
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0
)
的离心率为
，
其右顶点
B
到上顶点的距离为
7
，<
/p>
过
a
b
2
点
B
的直线
l
:
y
?
k
?
x
?
a
?
(
k
＜
0)
”与椭圆
E
于另一点
A
,
点
C
为
y
轴上一点
（
1
）求椭圆
E
的标准方程
;
（
2<
/p>
）若
?
ABC
是
等边三角形
,
求直线
l
的方程
.
40.
三点共线问题
x
2
y
2
?
?
1
与
y
轴
的交点为
A
,
B
（点
A
位于点
B
的上方）
（
< br>2012
北京理）曲线
C
:
，直线
8
4
y
?
kx
?
4
与曲线
C
交于不同的两点
M
，
N
,
直线
y
?
1
与
直线
BM
交于点
G
，求证：
A
,
G
< br>,
M
三点共线
.
41.
平行四边形的翻译
- 21 -
x
< br>2
y
2
?
?
1
.
设
O
为坐标原点，
T
为直线
x
?
?
3
上一点，过
（
2014
四川文）已
知椭圆
C
：
6
2
F
作
TF
的
垂线交椭圆于
P
，
Q
< br>。当四边形
OPTQ
是平行四边形时，求四边形
OPTQ
的面
积。
42.
菱形的翻译
< br>x
2
2
（
2013
北京文）
直线
y
?
kx
?
m
（
m
?
0
< br>）
与椭圆
W
：
< br>?
y
?
1
相交于
A
，
C
两点，
O
4
是坐标原点
（
1
）当点
B
的坐标为
(0,1)
，且
四边形
OABC
为菱形时，求
AC
的长。
（
2
）当点
B
在
W
上且不是
W
的顶点时，证明四边形
OABC
不可能为菱形。
43.
矩形和正方形的翻译
- 22 -
（
< br>2018
上海）曲线
C
：
y
?
,
点
F
?
2,0
?
,
直线
l
：
x
?
8
与
< br>x
轴交于
?
8
< br>x
（
0
?
x
?
8
，
y
?
0
）
点
A
，
与
C
交于点
B
.
P
,
Q
分别是曲线
C
与线段
AB
上的动点。
是否存在以
FP
、
FQ
为邻边
的矩形
FPEQ
，
使得点
E
在
C
上？若存在，求点
P
的坐标；若不存在，说明理由。
44.
锐角和钝角的翻译
（
2015
湖南理）过点
F
?
0,1
?
的直线
l
与抛物线
C
< br>1
:
x
?
4
y
相交于
A
,
B
两点，与
2
r
u
u
u
r
u
u
u
y<
/p>
2
x
2
C
2
:
?
?
1
相交于
C
,
D
两点，且
AC
与
BD
同向。设
C
1<
/p>
在点
A
处的切线与
x
轴的交
9
8
点为
M
，证明：直线
l
绕点
F
旋转时，
?
MFD
总是钝角三角形。
45.
角平分线的处理
- 23 -
x
< br>2
?
y
2
?
1
的左、右焦点分别是
F
1
,
F
2
点
P
是椭圆
C
上除长轴端
（
2013
山东
理）椭圆
C
:
4
点外的任一点，连接
PF
1
,
PF
2
.
设
?
F
1
PF
2
的角平分线
PM
交
C
的长轴于点
M
M
（
m
，
0
）
，
求
m
的取值范围
.
46.
中线的处理
< br>x
2
y
2
?
?
1
交于
P
?
x
1
,<
/p>
y
1
?
,
Q
?
x
2
,
y
2
?
两不同点，
（
2011
山东理
）已知动直线
l
与椭圆
C:
3
2
且
?
OPQ
的面积
S
?
OPQ
=
2
2
2
6
,
其中
O
为坐标原点
.
2
2
（Ⅰ）证明
x
1
?
x
2
和
y
1
?
y
2
均为定值
;
（Ⅱ）
设线段
PQ
的中点为
M
，求
|
OM
|
?
|
PQ
|
< br>的最大值；
47.
外心的处理
- 24 -
x
< br>2
y
2
3
（
2009
天津理）已知椭圆
2
?
2
?
1
的离心率为
，
F
1
、
F
2
分别是椭圆
E
的左右焦点，
3
a
b
?
3
c
2
c
?
F<
/p>
B
A
是
E
的上顶点，点
C
与点
A
关于坐标原点对称，
B
?
?
2
,
2
?
?
,
直线
< br>2
上有一点
?
?
H
(
m
,
n
)(
m
?
0)
在
?
AF
1
C
的外接圆上，求
48.
内心的处理
< br>（
2010
全国
1
卷理）
已知抛物线
C
:
y
?
4
x
的焦点为
F
，
过点
K
(
?
1,0)<
/p>
的直线
l
与
C<
/p>
相交
于
A
、
B
两点，点
A
关于
x
轴的对称点为
D
.
（
1
）证明：点
F
在直线
BD
上；
2
n
的值
<
/p>
m
u
u
u
r
u
u
u
r
8
（
2
）设
FA
g
FB
?
，求
?
BDK
的内切圆
M
的方程
.
9
49.
重心和垂心的处理
- 25 -
x
< br>2
?
y
2
?
1
的上顶点为
B
< br>，
右焦点为
F
，
直线
l
与椭圆
C
交于
M
,
N
两点
.
F
已知椭圆
C
:
2
点是否可以为<
/p>
?
BMN
的垂心？若可以，求出直线
l
的方程；若不可以，说明理由
50.
面积问题
1
< br>x
2
?
y
2
?
1
，过点
A
?
0
，
（
2014
全国
1
卷理）椭圆
E
：
?
< br>2
?
的动直线
l
与
E
相交于
P
,
Q
两
4
点，当
?
OPQ
的面积最大时，求
l
的方程
.
51.
面积问题
2
- 26 -
已知曲线
C
:
x
2
?
4
y
,
定点
A
?
?
2,1
?
,
B
?
2,1
?
.
点
Q
?
x
0
,
y
0
?
是曲线
C
上动点
，
曲线
C
在点
Q
处的切线为
l
，
点
P
的坐标是
?
0
，
?
1
?
，
l
与
PA
,
PB
分别交于点
D
、
E
，
求
?
QAB
与
?
PDE
的面积之比。
52.
面积问题
3
< br>（
2010
北京理）已知曲线
C
:
x
?
3
y
?
4
上的三点<
/p>
A
,
B
,
P
,
其中
A
?
?
1
,1
?
,
B
?
1
,
?
1
?
,
直线
2
2
AP
和
BP
分别与直线
x
?
3
< br>交于
M
,
N
.
问：是否存在点
P
使得
?
PAB
与
?
PMN
的面积相
等？若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，说明理由。
53.
面积问题
4
- 27 -
（
< br>2015
上海理）已知椭圆
x
?
2
y
?
1
，过原点的两条直线
l
1
< br>和
l
2
分别于椭圆交于
A
,
B
和
2
2
C
,
< br>D
，记得到的平行四边形
??
C
D
的面积为
S
.
设
?
?
x
1
,
y
1
?
，
C
?
x
2
,
y
2
?
，用
A
,
C
两点
的坐标表示点
C
到直线
l
1
的距离，
并证明
S
?
2
x
1
y
1
?<
/p>
x
2
y
1
；
54.
面积问题
5
< br>x
2
y
2
?
?
1
右焦点的直线
x
?
y
?
3
?
0
交
M
于
A
,
B<
/p>
两
（
2013
全
国
2
卷理）过椭圆
M
< br>：
6
3
点，
C
,
D
为
M
上的两点，若四边形
ACBD
的对角
线
CD
⊥
AB
，求四边形
ACBD
面积的
最大值。<
/p>
55.
面积问题
6
- 28 -
（
< br>2008
全国
2
卷理）设椭圆中
心在坐标原点，
A
(2
，，
0)
B
(0
，
1)
是它的两个顶点，直线
y
?
kx
(
k
?
0
)
与
A
B
相交于点
D
，与椭圆相交于
E
,
F
两点．求四边形
AEBF
面积的最大
值．
56.
面积问题
7
< br>x
2
y
2
（
2018
天津文）
设椭圆
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的右顶点为
A
，
上顶点为
B
.
已知椭圆的离
a
b
心率为
5
，
|
AB
|
?
13
.
3
（
I<
/p>
）求椭圆的方程；
（
< br>II
）
设直线
l
:
y
?
kx
< br>(
k
?
0)
与椭圆交于
P
,
Q
两点，
l
与直线
AB
交于点
M
，
且点
P
,
M
均
在第四象限
.
若
△
BPM
的面积是
△
B
PQ
面积的
2
倍，求
< br>k
的值
.
第四章
:
优化运算
- 29 -
57.
形式的简化就是最大的简化
<
/p>
m
（
2015
全
国
2
卷理）
已知椭圆
< br>C
：
9
x
2
?
y
2
?
m
2
(
m
?
0)
，
直线
l
过点
E
(
,
m
)
但不过原点<
/p>
O
3
且不平行于坐标轴，
l
与
C
有两个交点
A
,
B
,
线段
AB
的中点为
M
.
延长线段
OM
与
C
交于
点
P
，四边形
OAPB
能否为平行四边形？若不能
，求此时
l
的斜率；若不能，请说明理由
.
58.
斜率和问题
< br>x
2
y
2
?
3
?
?
?
1
的右焦点，
AB
是经过
F
点且不经过
P
?
1
，
,
?
的
（
2015
江西理）
F
点是椭圆
4
3
?
2
?
任一弦，设直线
AB
与直线
l
:
x
?
4
相交于
M
,
记
PA
,
PB
,
PM
斜率分别为
k
< br>1
,
k
2
,
k
3
.
问
：是
否存在常数
?
，使得
k
1
?
k
< br>2
=
?
k
3
？
若存在，求
?
< br>的值；若不存在，请说明理由
.
59.
联立两直线的消元技巧
- 30 -
x
< br>2
y
2
?
?
1
交于不同的两点
（
2012
北
京
理
改
编
）
直
线
y
?
kx
?
4
与曲线
< br>C
:
8
4
M
,
N
,
A
,
B
分别为椭圆
C
的上下顶点，直线
BM
与
AN
相交于点
G
，求证
：点
G
在定直
线上。
< br>
60.
猜根法与合分比定理
x
2
?
y
2
?
1
上位于
x
轴上方的两点
,
F
1
,
F
2
分别为椭圆的左、
（
2012
江苏）已知
A
,
B
是椭圆
2
右焦点，且直线
AF
1
与直线
BF
2
平行
,
AF
2
与
BF
1
交
于点
P
．求证：
PF
< br>1
?
PF
2
是定值．
61.
给定两点求截距
- 31 -
x
< br>2
y
2
（
2016
北京文）已知椭圆
C
：
2
?
2
?
1
过点
A
?
2,0
?
,
B
?
0,1
?
两点
.
a
b
（
I
）求椭圆
C
的方程；<
/p>
（
II
）设<
/p>
P
为第三象限内一点且在椭圆
C
上，直线
PA
与
y
轴交于点
M
，直线
PB
与
x
轴
交
于点
N
，求证：四边形
ABNM
的面积为定值
.
62.
直角三角形斜边上的高线
（
2012
上海理）已知
< br>M
,
N
分别是双曲线
C
1
：
2
x
?
y
?
1
,
椭圆
C
2
：
4
x
?
y
?
1
上的<
/p>
动点，且
OM
?
ON
，求证：
O
到直线
MN
的距离是定值。
63.
直径圆方程
- 32 -
2
< br>2
2
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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