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体心立方晶格紧束缚近似能带结构的计算机模拟
肖瑞春，陶松涛
（安徽师范大学
物理与电子信息学院）
摘
要
:
利用
MA
TLA
B
对体心立方晶格在紧束缚近似下的
s
态能带进行计算机模拟，
得到简
约布里渊区内不同方向的能带曲
线以及不同能量值的等能面的清晰图像，
使状态空间的能带
结构
形态得到了直观的形象展示
.
关键字：
紧束缚近似；体心立方晶格；能带；等能面
能带理论的主要内容就是确立晶体
中的电子能量在状态空间（
k
空间）的变化规律——
色散关系（能带函数）
。晶格能带在状态空间的变化特征往往通过三维等能
面、费米面或特
定方向的能带曲线来描述。其中，三维等能面、费米面的表达式比较复杂
,
其几何结构很难
想象
.
上世纪
60
年代，人们借
助于金属的
de
Haas-van
Alphen
效应的实验数据，绘制了一
些金属的费米面的三维图形
[1]
，受到广泛关注。随着计
算技术的发展，人们开发出了许多卓
越的分析软件，
便于研究涉
及大量数据的复杂问题。
借助于这软件，
人们开始了晶格能带的
3D
分析
[2][3]
。本文利用
MATLAB
软件，对紧束缚近似下的体心
立方晶格的
s
态能带在简约
布里渊区内
不同方向的能带曲线及不同能量值的等能面进行计算机模拟，
得到了比较清晰的
图像，
使状态空间的能带结构形态得到直观展示。
如果所得结果与其它实验测量获得的关于
碱金属的等能面或费米面的相关信息结合起来
，有助于加深对这类晶体能带特点的认识。
1.
紧束缚近似下体心立方晶格的<
/p>
s
态能带
<
/p>
根据能带理论，紧束缚近似下
i
态原子能
级形成的能带为
[4]
:
E
s
(
k
)
?
?
i
?
< br>J
0
?
R
s
?
Nearest
?
J
?
R
s
< br>?
e
?
ik
?
R
s
（
1
）
其中
?
i
为孤立原子能级
i
< br>的能量，
J
0
、
J
R
s
?
?
是重叠
积分。对体心立方
s
态能带，
8
个近
邻原子的重迭积分
J
R
s
相同，记为
J
1
，有（
1
）式可得
:
?
?
a
a
a
E
s
(
k
)
?
?
s
?
J
0
?
8
J
1<
/p>
cos
k
x
co
s
k
y
cos
k
z
2
2
2<
/p>
其中
a
为晶格常数，
k
为波矢量
.
（
2
）
根据
Bloch
定理可推知，
晶体的电子能带具有周期性，
即只要研究清楚一个倒格子原胞
（取简约布里渊区）的情况即可
.
体心立方晶格的倒
格子为面心立方格子（单胞边长
。根据布里渊区的界面方程
<
/p>
4
?
/
a
）
1
?
?
G
n
?
?
k
?
G
n
?
?
0
（
G
是倒格矢）
（
3
）
2
?
?
利用
MA
TLAB
可作出体心立方晶格的简约布里
渊区图像，它是一个菱形十二面体，如图
1
所示
.
要掌握体心立方晶格能带结构详情，就是要给出相应能带的等能面在状态空间
这样的
一个区域内的变化图像
.
对方
向余弦为
cos
?
、
< br>cos
?
、
cos
?
的特定的方向，
E
(
k
)
可以表示为：
s
?
a
?
?
a
?
?
a
?
E
s
(
k
)
?
< br>?
s
?
J
0
?
8
J
1
cos
?
cos
?
?
k
?
c
os
?
cos
?
?
k
?
cos
?
cos
?
?
k
（
4
）
?
2
?
?
2
?
?
2
?
这就是该方向的能带曲线方程。其中：
a
2
?
沿
?
轴
:
E
s
?
100
?
?
?
s
?
J
0
?
8
J
1
cos
2
k
,
0
?
k
< br>?
a
沿
?
轴
: <
/p>
E
s
cos
2<
/p>
?
?
2
?
?
110
?
?
?
s
?
J
0
?
8
J
1
?
0
?
k
?
2
?
?
4
ak
?
?
,
?
a
沿
?
轴
: <
/p>
E
s
?
?
?
J
3
?
3
?
111
?
s
?
J
0
?
8
1
cos
?
?
6
ak
< br>?
?
,
0
?
k
?
3
?
?
?
a
2
利用
MA
TLAB
模拟能带的设计思路及步骤
[6]
2.
1
等能面与能带曲线方程的无量纲化
（
3
）式表达为无量纲形式为
U
?
?
?
1
?
cos
?
?
?
?
?
2
x
?
?
?
cos
?
?
?
?
2
y
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
cos
?
?
2
z
?
?
?
?
其中
ak
x<
/p>
?
?
x
,
ak
y
?
?
y
,
ak
z
?
?
z
U
?
E
s
?
k
?
?
?
s
?
J
0
< br>?
8
J
1
8
J
1
对于（
4
）式，记
ak
?
?
t
，则有
U
?
?
?
?
?
?
?
?
1
?
cos
?
?
2
t
cos
?
?
?
cos
?
?
?
2
t
cos
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
2
< br>t
cos
?
?
< br>?
?
?
?
?
于是，沿
?
轴、沿
?
轴、沿
?
轴的能带曲线方程
分别为：
?
?
?
?
U
?
1
?
cos
?
?
2
t
?
?
?
100
?
?
?
?
?
,
0
?
t
?
2
?
?
?
< br>?
U
?
2
?
2
?
110
?
?
?
1
?
cos
t
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
,
0
?
t
?
2
?
?
< br>?
?
?
?
?
U
?
?
3
?
3
?
?
?
111
?
?
1
?
cos
?
?
?
?
6
t
?
?
?
0
?
t
?
< br>3
?
?
?
?
?
,
?
?
?
图
1.
体心立方晶格的
简约布里渊区
（
5
）
（
6
）
（
7
）
（
8
）
（
9
）
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