-
概率论与数理统计作业
第一章随机事件与概率
1.
将一枚均匀的硬币抛两次，事件
代<
/p>
B,C
分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同
一面
，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件
A,B,C
中的样本点。
解
:
正正、正反、反正、反反
正正、正反
,
B
正正
,
C
1
正正、正反、反正
2.
设
P(A)
3
，
P(B)
,
试就以下三种情况分别求
P(BA)
:
(1)
AB
B
, (3)
P(AB)
解
:
(1)
P(BA)
(2)
P(BA)
(3)
P(BA)
P(B
P(B
P(B
AB)
AB)
AB)
P(B)
P(B)
P(B)
P(AB)
P(B)
0.5
P(AB)
P(B)
P(A)
0.5 1/3
P(AB)
0.5
0.125
0.375
1/6
3.
某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需< p>
的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
?
解：记
H
表拨号不超过三次而能接通。
Ai
表
第
i
次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
H
A
A
1
A
2
P(H) P(A)
A
1
A
2
A
3
三种情况互斥
P
(A
JP
(A
2
|
瓦
)
P
(A)
P
(A
2
|
A
JP
(A
3
门瓜
2
)
10
1
_9
19 8 1?
10
10 9
10
9
8
如果已知最后一个数字是奇数
(
记为事件
B)
问题变为在
B
已发生的条件下，求
生的
H
再发
概率。
P(H |B) PA |B
A
A
2
| B
A
1
A
2
A
3
| B)
P(A |B)
P(A I
B)P(A
2
|BAJ P(A I
B)P(A
2
|
BA)P(A
3
|BAA
2
)
14
1
4
3
13
5
5
4
5
4
3
5
4.
进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为
:
，试求以下事件的概率
:
(1)
直到第
r
次才成功
;
(2)
在”次中取得
r(l < r <
n)
次成功；
解：
(1) P = (1 -
pY~' p
(2)
P =
C
；”Q_p)z
5.
设事件
A, B
的概率都大于零，说明
以下四种叙述分别属于那一种：
(a)
必然对，
(b)
必然错，
(c)
可能
对也可能错，并说明理由。
(1)
若
A,
B
互不相容，则它们相互独立。
(2)
若
A
与
B
相互独立，则它们互不相容。
(3)
P(A) = P(B)
=
0.6,
则
A
与
B
互不相容。
(4)
P(A) = P(B) =
0.6,
则
A
与
B
相互独立。
解：
(l)b,
互斥事件，一定不是独立事件
(2)
c,
独立事件不一定是互斥事件，
(3)
b,
P(A + B) = P(A) + P(B) -
P(AB)
若
A
与
B
互不相容，则
P(AB) =
0,
而
P(A
+ 3) =
P(A) +
P(B) - P(AB)
= I.2>1
(4)
a,
若
A
与
B
相互独立，则
P(AB) =
P(A)P(B)
这时
P(A
+ 3) = P(/l) +
P(B)
一
P(AB)
= 1.2-0.36 = 0.84
6.
有甲、乙两个盒子，甲盒中放有
3
个白球，
2
个红球；乙盒中放有
4
个白球，
4
个红
球，现从甲盒中随机地取一个球放到
乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：
(1)
从乙盒中取出的球是白球的概率；
(2)
若已知从乙盒中取出的球是白
球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。
解：
(1)
记仏，
4
分别表“从甲
袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记巧表“再从乙袋中取得白球”。
?
?
?
B=A^A
2
B 5.
A
if
力
2
互斥
???
P (& =P U)P(B
川
)+
P (A'P {B A2)
=
—
x-
+
—
x
—
-
—
=
3+2 4+4+1
3+2
4+4+1
4 + ]
(2)
7<
/p>
?思考题：讨论对立、互斥
(
互不相容<
/p>
)
和独立性之间的关系。
解
:
独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件<
/p>
;
对立事件是互斥事件，不能是独立事
件
;
互斥事件一般不是对立事件，一定
不是独立事件
.
第二章随机变量及其概率分布
1.
设
X<
/p>
的概率分布列为：
Xi
b
1
F(x)
为其分布的函数，则
F
(2) =?
R
1
0.1
2
0.1
3
0.7
解：
F(2) =
P{X <2}
= P{X
= 0} +
P{X
= 1} +
P{X = 2} =
0.3
2.
设随机变量
X
的概率密度为
/ U)=
c
c
解：由于
-2
dx
x
1
-2
dx c
x
1
,
故
c 1
0.6
，计算
3.
一办公室内有
< br>5
台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为
机是否被使用相互独立，问在同一时刻
(1)
恰有
2
台计算机被使用的概率是多少？
(2)
至少有
3
台计算机被使用的概率是多少？
(3)
至多有
3
台计算机被使用的概率是多少？
(4)
至少有
1
台计算机被使用的概率是多少？
解：
(1)
P{X 2} C
；
0.6
2
0.4<
/p>
3
(2)
P{X
3}
1 P{X
(3)
P{X
3}
P{X 1}
0.2304
1
C
；
0.
6
4
0.4
0.6
5
3}
C
；
0.6 0.4
4
4} P{X 5}
P{X 2}
P{X
0.66304
C
；
0.6
0.4
C<
/p>
；
0.6
0.4
2
3
3
2
=0.0768+0.2304+0.1728=0.48
⑷
P{X 1}
1 P{X 0}
1
0.4
0.98976
5
4.
设随机变量
K
在区间
(0, 5)
上服从均匀分布，求方程
4
x
2
+ 4Kx + K + 2 =
0
16k
2
16k 32
0
可得：
k
实根的概率。
解：由
所以
P{K
16k
2
4 4 (k 2)
2
2}
1,k
2
5
0.2x
5.
假设打一次电话所用时
间
(
单位：分
)
X
服从
走进电话亭，试求你等待：<
/p>
(1)
超过
10
分钟的概率
;
解
:
X ~ f (x)
0.2e
P{X 10}
P{10 X
1
P{X
20
0.2
的指数分布，如
某人正好在
前面
(2)
你
10
分钟
到
20
分钟的概
率
10} 1
0.2e
0.2x <
/p>
0
2A
'
1
°0.2e
dx
1 1
0.2x
0
20}
dx
10
6.
随机变量
求
<
br>的分布律 8. <
br>表示取到的红
P(2
X
?
N (3, 4),
(2)
确定
c
，使得
P(X>c) = P(X
O
< 10), P(|X|>2),P(X>3)
(0.5)
解：
P{2 X 5}
5
3
(--)
2
10 3
(
P{X
2}
(2.5)
3}
学
)
(1)(
0.5)
(1)
1
0.8413 1 0.6915=0.5328
P{ 4
P{ X
X 10}
2} 1
(0.5))
3}
1
P{X
4 3
(
丁
)
(3.5)
3
(3.5)
2 (3.5)
1
1
0.5)
( 2.5)
2
) 1 (
0.9938
0.6915
0.6977
3 3
(T)
1
0.5
0.5
=
1 (1
P{X
P{X c} 1 P{X c} 1
2
c 3
(
) P{X c} (
2 2
所以
(
c 3
c 3
)
) 0.5
故
c 3
7
?设随机变量
X
与
丫
相互独立，且
X,
丫
的分布律分别为
X
P
0
1
4
1
3
4
Y
P
1
2
5
2
3
5
试求：
(1)
二维随机变量
(X
，
丫
的分布律；
(2)
随机变量
Z=XY
.
解：
1
2
0
0.1
0.3
0.15
1
Z
0.45
0
0.25
思考题
:
举出几个随机变量的
例子
1
0.3
2
P
0.45
第三章多维随机变量及其概率分布
1
.
设盒子中有
2
个红球，
2
个白球，
1
个黑球，从中
随机地取
3
个，用
X
球个
数，用
丫
表示取到的白球个数，写出
(X, Y)
的联合分布律及边缘分布律。
解
:
「
2
0
1
0
0
0
[
0.1
0.4
1
0
0.2
「
0
2
0.1
0.2
2.
设
二维
随机变量
(X,Y)
的联合分布律为：
试根椐下列条件分别求
a
和
b
的值；
(1)
P(X
1)
0.6
；
(2)
P(X
1|Y 2) 0.5
；
(3)
设
F(x)
是
Y
的分布函数，
F(1.5)
0.5
。
解：
(1)
P{X 1}
0.1 b 0.2
0.6
, b
0.3
1 P{X
Y
X
0
1
0
0.1
0.1
1
2
a
0.2
0.2
b
(2)
P{X 0} P{X
1}
1
,
P{X 0}
1}
0.4
0.3
a
, a 0.1
3.
(X
、
Y)
的联合密度函数为：
< br>f(x,y)
k(x y) 0 x 1,0 y 1
0
其
他
求
(1
常数
k; (2) P(X<1/2,Y<1/2) (3) P(X+Y<1);
⑷
P(X<1/2)
。
解：
(1)
f(x, y)dxdy
。
0
k(x y)dxdy k 1
,
故
k 1
(2)
P{X
2‘
Y
1
}
1
0
1 1
2
0 0
(x y)dxdy
1
y)dxdy -
3
(3)
P{X
(4)
p{X
2}
(x
(X
y)dxdy
4.
（
X
、
Y
）
< br>的联合密度函数
为
:
求（
1
）常数
k
；（
2
）
P
（
X+Y<1
）
;
f (x,
解：
y)dxdy
（
1
）
⑵
P{ X
1
}
X
1
x
f(x,y)
kxy 0 x 1,0 y x
0
其
他
⑶
P(X<1/2)
。
o o
kxydxdy
令
1
2xydxdy
——
y
24
1
⑶
p{ X
1}
5.
设
(X,
Y)
2xydxdy
0
64
f(x, y)
f
x
(X)
的联合密度函数如
下
,
1
f(x,
y)dy
f(x,
y)dx
2
分别求
X
与
Y
的边缘密度函数。
(1 x
)(1
y
)
^75
2
2
dy
f
Y
(y)
2
2
2
2
(1 x
)(1
dx
2
y
)
2
1
(1
y
)
2
6
设
(X,
.
Y)
f (x, y)
x
的联合密度函数如下
,
分别求
X
与
Y
的边缘密度函
数。
解：
f
x
（
< br>X
）
f(x, y)dy
x
dy xe
,
(0
f (x, y)dx
y
dx
e
y
,
(0
7.
（
X, Y
）
的联合分布律如
Y
X
1
1
1/6
2
1/9
3
1/18
试根椐下列条件分别求
a
和
b
的值
;
2
a
b
1/9
⑴
P(Y 1)
1/3
;
(2)
P(X 1 |Y 2)
0.5
;
(3)
< br>已知
X
与
Y
相互独立。
1
1
1
解：
(1)
P{Y 1} a - a -
6 3
6
(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18
8.
(X,Y)
的联合密度函数如下，求常数
c,
并讨论
X
与
Y
是否相互独立
?
2
f(x, y)
cxy
1,0 y 1
0
他
f(x, y)dxdy
2
Q
cxy
dxdy
C
1
,c=6
解
:
6
2
1
f
2 2
x
(x)
f (x, y)dy
0
6xy
dy 2x
,
f
y
(y)
f (x, y)dy
°
6xy
dx 3y
f
x
(x)
f
y
(y)
f(x,y)
,
故
X
< br>与
Y
相互独立
.
9.
思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？
解
:
联合分布可以得到边缘分布，
反之不真
.
第四章
随机变量的数字特征
1.
盒中有
5
个球，其中
2<
/p>
个红球，随机地取
3
个，用
X
表示取到的红球的个数
,
是：
B
(A)
1
；
(B) 1.2
(C) 1.5
；
(D) 2.
3x
2
2.
设
X
有密度函数：
f(x)
2x4
其他
求
E(X), E(2X
1
8
1),
E(r)
,
并求
X
0
学期望
E(X)
的概率。
(
该题数有错
)
4
解
:E(X)
x
3x
2
3
4
15
2
dx
8
x
2
32
E(2X
4
1)
2&X
1)
(?x
4
1
16
3
、
Eg
4
1
3x
2
2
x
2
8
dx
P(X E(X))
P(X
7.5)
1
P(X
7.5)
1
3.
设二维随机变量
(X,Y)
的联合分布律为
则
EX
大于数
Y
X
0
1
已知
E(XY) 0.65
,
则
a
和<
/p>
b
的值是：
D
0
0.1
0.1
1
0.2
b
2
a
0.2
(A)
a=0.1, b=0.3
( B) a=0.3,
b=0.1
(C) a=0.2, b=0.2
b=0.25
。
4.
f (x, y)
xy 0 x 1,0 y 2
0
其
1 2
1
( D) a=0.15,
设随机变量
(X, Y)
的联合密度函数如下：求
EX, EY, E(XY
1)
。
他
2
2
<
/p>
xdx
ydy
0
1
E(X)
x
0 0
解：
E(Y)
xydxdy
y xydxdy
0
2
2
xdx
y
dy
0
0
0
0.1
1
0.2
2
0.3
3
0.
4
3
；
(D)
4.
E(XY 1)
5 .
设
X
有分布律：
则
E(X
2
2X
3)
是：
D
(A) 1; (B)
2;
(C)
X
P
6.
丢一颗均匀的骰子，用
X
表示点数，求
EX , DX
.
1
解：
X
的分布为
P(x
2
k)
7<
/p>
能
,
'
,
'
3
4
5
6
jx
解：
E(X)
x 1
x
--- dx
,
E(X
)
2
x
0
6
1
1
1
1
1
1
21
7
E(X)
1 -
2 -
3
4
5
—
6
6
6
6
6
6
6
6
2
2
2
1
-2
1
-2
1
1
2
1
2
1
91
—
E(X )
1 -
2
—
3
—
4
-5
6
—
—
6
6
6
6
6
6
6
2
D(X)
E(X
)(E(X))
2
19
6
7.<
/p>
X
有密度函数：
f(x)
J
其
2
4
X
他
2
2
，求
D(X)
.
7
2
11
5
D(X)
E(X ) (E(X))
-
?
矗
2Y)
的值分别是
:
8.
设
X
:
P
(2) ,
Y ~ B(3,
0.6)
,
相互独立，则
E(X 2Y), D(X
(A) -1.6
和
4.88
(B) -1
和
4;
(C) 1.6
和
4.88
( D) 1.6
和
-4.88.
-
-
-
-
-
-
-
-
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