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再说鸡爪定理
本公
众号上发表的文章的题目都附有原图，目的是希望读者
（特别是学生）不要直接看完题目
就看答案，要给自己留有充足
的时间思考，然后才对照答案，本人做题的习惯一贯如此。
否则
最后容易眼高手低，只能纸上谈兵，令人扼腕。
昨天写了我最近利用
鸡爪定理
解决的几个问题。今天想详细
回顾一下此定理的历史生成和经典应用，
希望能溯本求源，以正
视听。
此定理
源远流长，古已有之，但是冠名鸡爪定理据说是上海
延安中学钟建国老师，
这个名字还是非常形象生动的，
一经出现，
马上广泛
流传。
还需要说明的是：
1
下面看看其经典应用。
1
、
四边形
ABCD
内接于圆，△
BCD,
△
ACD,
△
ABD
,
△
ABC
内
心分别为
A
’
,B
’
,C
’
,D
’。
证明
A
’
B
’
C
’
D
’为矩形（
1986
年中国国家集训队选拔考试）
2
证明：如图，由鸡爪定理得
BD'A'C
共圆，
则∠
CA'D'=180
°
-
∠
CBD',
同理∠
CA'B'=180
°
-
∠
CDB',
则∠
D'A'D'=360
°
-
∠
CA'D'-
∠
CA'B'=
∠
< br>CBD'+
∠
CDB'=(1/2)(
< br>∠
CBA+
∠
CDA)=90<
/p>
°
同理可证另三个角也为直角，即
A
’
B
’
C
’
D
’为矩形。
注：
1
）本题很
老，简单但也很经典，事实上还有不少问题值
得思考，例如其逆命题是否成立，何时矩形
变成正方形等。
2
）
前面说
过，旁心和内心是等价的，每一个内心的性质旁
心都有。
如果引
入四个三角形的旁心，
则图形蔚为大观，
事实上，
本题是一个几何中的定理——霍夫曼
（
Fuhrma
nn
）
定理的一部分，
此定理内容为：圆上四点构成的四个三角形，他们的内心和旁心
共
16
个点分布在
8
条直线
上，每线上四点；且
8
条直线是两组
互
相垂直的平行线，每组四条直线。如下图所示，证明应该如法
3
炮制，不再赘述；
2
、
欧拉
-
查柏
(Eu
ler-Chapple)
公式：（其中
O
、
I
为△
ABC
< br>外心、内心，
R
、
r
为圆
O
、圆
I
半径）
证明：易知<
/p>
Rt
△
NBS
∽
Rt
△
ADI
，
得
(NS/BS)
＝
(AI/ID)
，
即
AI*BS
＝
2R
r
。
由“鸡爪”定理，
BS
＝
IS
，
∴
AI*IS
＝
2Rr
。①
而由圆幂公式：
由①、②即知结论成立。
注：
1
）、本证明很典型，要求对圆幂定理有敏锐而准确的认
识，还要合理利用鸡爪定理和相似，值得反复品味和细细揣摩。
2
）、其逆命题也是真的，即过圆
O
上任意点
D
作圆
I
切线
4
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