抛物线焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线

y

2

2px

(p>0)

的焦点

F

作一条直线

L

和此抛物线相交于

A

(X

i

,

yj

、

B

(x

?

, y

?

)

两点

AB

结论

2

：

证

：⑴

右

在，

⑵若

AF

BF

(X

i

(X

2

fl

AB

Xi

X

2

p

2p

.2

sin

若直线

L

的倾斜角为，则弦长

时

，

直线

L

的斜率不存

此时

AB

为抛物线的通径

，

AB 2p

结论得证

-

代入抛物线方程得

2

时

，

设直 线

L

的方程为：

y

2

2

(X

2

即

x y cot

2

p ,y

i

y

i

y

2

y

2

2p cot

2

2 py cot p 0

由韦达定理

y

1

y

由弦长公式得

AB

1 cot

2

2p

2

2p(1

cot

)

?

sin

结论

3

:

过焦点的弦中通径长最小

sin

2

o

1

2p

2 p

sin

3

)

AB

的最小值为

2p

,

即过焦点的弦长中通径长最短

2

结论

4

:

S

AB

AB

；

(

为定值

结论

)

结论

S

OAB

OF

2

S

OAB

AB

S

OBF

AF

P

3

OAF

—

2

BF

si

n

S

1

S

OF BF

2

OF

1

OF

AF sin

sin

—

2

P

卑

sin

AB sin

2 sin

2

2

p

2

sin

8

(2)

X

i

X

2

=

2

2

5

:

(1

证

x

i

y

i

,X

2

y

2

2p

X

1

X

2

(% y

2

)

2

P

2

4P

2

AA

i

,

BB

i

,

2p

6

:

以

AB

为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设

M

为

A B

的中点，过

A

点作准

线的垂线

过

B

点作准线的垂线

过

M

点作准线的垂线

MM

< br>i

，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

AF

BF

AB

BB

i

AA

i

MM

i

故结论得证

2

B

i

F

则

A

i

F

B

i

F

结论

7

:

连接

A

i

F

、

AA

I

AF,

AA

I

F

AFA

I

AA

I

//OF

AA

i

F

A

i

FO

A

i

F B

i

F

同理

B

i

FO

B

i

FB

A

i

FB

90

i

M

i

F AB

(3

)

M

i

F

AF BF

AM

i

BM

i

(

2

)

结论

8

：

(

i

)

(4

)

设

A M

i

与

A

i< /p>

F

相交于

H

,

M

i

B

与

FB

i

相交于

Q< /p>

则

M

i

,

Q

,

F

A

i

FO

A

i

FA

H

四点共圆

(5

)

AM

i

M

i

^ 4M

i

M

证：由结论（

6

）知

M

i

在以

AB

为直径的圆上

AM

i

BM

i

A

i

FB

i

为直角三角形，

M

1

< br>

A

i

M

i

M

i

F

AA

i

F

M

i

F

是斜边

A

i

B

i

的中点

M

i

FA

i

AA

i

M

i

FA

i

M

i

AB

M

i

A

i

F

90

AA

i

F

AFA

i

AFA

i

A

i

FM

i

90

M

i

F

AF BF

AM

i

BM

i

AM

i

B

90

又

A

i

F

B

i

F

2

A

i

FB

90

i

所以

M

i< /p>

，

Q

，

F,H< /p>

四点共圆

,

AM

i

4MM

i

M

i

B

AB

2

AF

BF

AA

i

BB

i

2MM

i

结论

9

：

（

i

）

A

、

O

、

B

i

三点共线

（

2

）

B

，

O

，

A

i

三点共线

（

3

）

设直线

AO

与抛物线的准线的交点为

B

i

，则

BB

i

平行于

X

轴

（

4

）

设直线

BO

与抛物线的准线的交点为

A

i

,

AA

i

平行于

X

轴