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有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线
y
2
2px
(p>0)
的焦点
F
作一条直线
L
和此抛物线相交于
A
(X
i
,
yj
、
B
(x
?
,
y
?
)
两点
AB
结论
2
：
证
：⑴
右
在，
⑵若
AF
BF
(X
i
(X
2
fl
AB
Xi
X
2
p
2p
.2
sin
若直线
L
的倾斜角为，则弦长
时
，
直线
L
的斜率不存
此时
AB
为抛物线的通径
，
AB 2p
结论得证
-
代入抛物线方程得
2
时
，
设直
线
L
的方程为：
y
2
2
(X
2
即
x
y cot
2
p ,y
i
y
i
y
2
y
2
2p cot
2
2 py cot p
0
由韦达定理
y
1
y
由弦长公式得
AB
1
cot
2
2p
2
2p(1
cot
)
?
sin
结论
3
:
过焦点的弦中通径长最小
sin
2
o
1
2p
2 p
sin
3
)
AB
的最小值为
2p
,
即过焦点的弦长中通径长最短
2
结论
4
:
S
AB
AB
；
(
为定值
结论
)
结论
S
OAB
OF
2
S
OAB
AB
S
OBF
AF
P
3
OAF
—
2
BF
si
n
S
1
S
OF BF
2
OF
1
OF
AF sin
sin
—
2
P
卑
sin
AB sin
2
sin
2
2
p
2
sin
8
(2)
X
i
X
2
=
2
2
5
:
(1
证
x
i
y
i
,X
2
y
2
2p
X
1
X
2
(%
y
2
)
2
P
2
4P
2
AA
i
,
BB
i
,
2p
6
:
以
AB
为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设
M
为
A
B
的中点，过
A
点作准
线的垂线
过
B
点作准线的垂线
过
M
点作准线的垂线
MM
< br>i
，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
AF
BF
AB
BB
i
AA
i
MM
i
故结论得证
2
B
i
F
则
A
i
F
B
i
F
结论
7
:
连接
A
i
F
、
AA
I
AF,
AA
I
F
AFA
I
AA
I
//OF
AA
i
F
A
i
FO
A
i
F B
i
F
同理
B
i
FO
B
i
FB
A
i
FB
90
i
M
i
F
AB
(3
)
M
i
F
AF
BF
AM
i
BM
i
(
2
)
结论
8
：
(
i
)
(4
)
设
A
M
i
与
A
i<
/p>
F
相交于
H
,
M
i
B
与
FB
i
相交于
Q<
/p>
则
M
i
,
Q
,
F
A
i
FO
A
i
FA
H
四点共圆
(5
)
AM
i
M
i
^
4M
i
M
证：由结论（
6
）知
M
i
在以
AB
为直径的圆上
AM
i
BM
i
A
i
FB
i
为直角三角形，
M
1
< br>
A
i
M
i
M
i
F
AA
i
F
M
i
F
是斜边
A
i
B
i
的中点
M
i
FA
i
AA
i
M
i
FA
i
M
i
AB
M
i
A
i
F
90
AA
i
F
AFA
i
AFA
i
A
i
FM
i
90
M
i
F
AF
BF
AM
i
BM
i
AM
i
B
90
又
A
i
F
B
i
F
2
A
i
FB
90
i
所以
M
i<
/p>
，
Q
，
F,H<
/p>
四点共圆
,
AM
i
4MM
i
M
i
B
AB
2
AF
BF
AA
i
BB
i
2MM
i
结论
9
：
（
i
）
A
、
O
、
B
i
三点共线
（
2
）
B
，
O
，
A
i
三点共线
（
3
）
设直线
AO
与抛物线的准线的交点为
B
i
，则
BB
i
平行于
X
轴
（
4
）
设直线
BO
与抛物线的准线的交点为
A
i
,
则
AA
i
平行于
X
轴
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