-
第三节
陀螺经纬仪定向
将陀螺特性与地球自转有机结合构成的陀螺仪能够自动寻找真北方向，将这样
的陀螺仪安装在经纬仪上，组成的陀螺经纬仪便可以测定真北方向在经纬仪水平度
盘上
的读数
N
，
从而可求出任一方向的真方
位角。
这一工作称为陀螺经纬仪定向观测，
或陀螺经纬仪定向测
量，或简称陀螺经纬仪定向
真
（
gyr
o-theodolite
orientation
）
。
北
x
如图
3-1
，
C
、
D
为地面上两点，在
C
点上安置
N
陀螺经纬仪
，测得真北方向在经纬仪水平度盘上的
读数
N
< br>，
D
方向在水平度盘上的读数为
r
CD
，
则可求得
?
C
地理方位角
?
CD
N
(3-1)
CD
=
< br>r
CD
T
CD
< br>
和高斯平面直角坐标方位角
T
CD
=
CD
C
(3-2)
C
D
其中
C
=(
C
L
C
)sin
C
C
，
C
为天文经度，
图
< br>3-1
用陀螺经纬
L
C
为大地经度，
C
为天文纬度，
C
为
C
处的子午线
仪测量方位角
收敛角。
陀螺特性的发现与应用始于我国西汉末年，将陀螺技术应用于测北定向则是由
于近代航海与采矿业发展的需要。法国人
L.
Foucault
1852
年创造了
第一台实验陀
螺罗经；
德国人
ü
tz
制成第一台实用陀螺罗经样机；
德国人
M.
Schuler
1908
年首次制成单转子液浮陀螺罗经，
用于军事和
航海；
在船用陀螺罗经的基础上，
1949
年德国
Clausthal
矿业学院
smann
研制出
MW1
型子午线指
示仪，并于
1958
年研制出金属带悬挂陀螺灵敏部的
KT-1
陀螺经纬仪。
此后的几十年间，
世界各国先
后开展了陀螺经纬仪的研制工作，相继生产出多种型号的产
品。依仪器结构和发展
阶段，
可将各种陀螺经纬仪划分为液体漂
浮式、
下架悬挂式和上架悬挂式三种类型。
液体漂浮式陀螺经纬
仪的结构特点是将陀螺转子装在封闭的球形浮子中，采用液体
漂浮电子磁定中心，陀螺转
子由空气压缩涡轮机带动三相交流电机供电，全套仪器
重达几百千克，一次定向需几小时
，陀螺方位角一次测定中误差为
1
～
2
。这
是陀螺经纬仪的早期型式。下架悬挂式陀螺经纬仪则是利用
金属悬挂带把陀螺房悬
挂在经纬仪空心轴下，悬挂带上端与经纬仪的壳体相固连；采用导
流丝直接供电方
式，附有携带式蓄电池组和晶体变流器。相对于液浮式，下架式陀螺经纬
仪在定向
精度、定向时间以及仪器的重量和体积上都产生了飞跃式改进。上架式陀螺经纬
仪
的结构特征是，用金属丝悬挂带把陀螺转子（装在陀螺房中）悬挂在灵敏部的顶端，<
/p>
灵敏部可稳定地联接在经纬仪横轴顶端的金属桥形支架上（该支架需预先制做、安
装）
，不用时可取下，也就是说，灵敏部实际上相当于经纬仪的一个附件
，这是仪器
朝更方便使用的一种改进。本节以上架式陀螺经纬仪为例进行讨论。
35 / 1
一、摆式陀螺仪的寻北原理
绕自身轴高速旋转的匀质刚体，称为陀螺仪
(Gyroscop
e)
。下面先给出陀螺仪的有关物理性质。
㈠、陀螺仪的基本特性
?
设陀螺仪的自转角速度为<
/p>
ω
，如图
3-2
所示，定
义动量矩
?
ω
?
?
图
3-2
ω
与
H
的方向
?
H
?
?
H
?
J
ω
(3-4)
其中
J
< br>为陀螺转子对自转轴的转动惯量，定义式为
J
?
?
r
2
dm
(3-5)
其中
r
< br>为微分元
dm
到自转轴的距离。
?
?
?
若对陀螺施加一外加力矩
M
，则
M
与
H
的关系可由动
量矩定理给出
?
?
< br>d
H
?
M
(3-6)
dt
对此式我们做如下讨论：
?
?
当
M
//
H
时
，二者的数量关系类同式
(3-6)
，为
dH
?
?
M
(3-7)
dt
其中正负号分别对应
二者同向与反向两种情况。或者写成
J
d
?
?
?
M
(3-8)
dt
式
< br>(3-8)
称为刚体的转动规律。
?
?
?
?
当
M
?
H
时，
M
将不影响
H
的数量大小，
而仅改变其方向。
设方向
改变的角速度为
ω
P
，
则由图
3-3
可得关系式
<
/p>
?
ω
P
?
?
H
?
d
H
?
P
?
dt
?
图
3-3
进
动角速度
ω
P
之定义
< br>
?
H
?
d
H
?
?
?
?
(
ω
P
?
dt
)
?
H
?
d
H
(3-9)
或写成
?
?
d
H
?
ω
P
?
H
?
(3-10)
dt
结合式
(3-6)
，则有
?<
/p>
?
?
ω
P
?
H
?
M
(3-11)
因上式中
三者方向相互垂直，故数值
关系也为
M
?
H
?
P<
/p>
?
J
?
?
?
P
(3-12
a
)
或
?
M
ω
?
H
?
?
?
ω
P
(
a
)
M
?
P
(
b
)
?<
/p>
P
?
?
H
的方向变化，也就是陀螺仪自转轴的变化，实际上是一种转动，这种转动称为陀
M
M
(3-12
b
)
?
H
J
?
图
3-4
陀螺进动中各量之间的方向关系
?<
/p>
ω
螺的进动，
P
称为进动角速度。陀螺仪在外力矩作用下产生进动的性质，称为陀
螺的进动性。式
(3-11)
完整地表达了陀螺轴进动角速度与外力矩的关系，其中的
方
向关系示于图
3-4
中。
在式
(3-1
2)
中，若
M
=0
，则显然有
P
=0
。即无横向外力
矩作用时，陀螺仪的自
转轴方向保持不变。这一性质称为陀螺的定轴性。
?
?
对于一般的情况，
显然可将外力矩
M
分解为两个分量，
其中一个分量与
H
< br>平
?
?
行，另一个分量与
H
垂直，也就是说，这时
M
< br>将对陀螺仪产生式
(3-8)
和式
(3-11)
两种影响。
㈡、陀螺仪转动的微分方程
将陀螺仪放置于如图
3-5
所示的惯<
/p>
性坐标系
(
例如以地球为惯性参考系
)
中。
将陀螺仪所受的外加力矩分解为
M
x<
/p>
、
M
y
、
M
z
三个分量。现在考察
M
x
，它将产生
三个方面的影响，
其一使陀螺仪绕
x
轴转
动：
J
x
?
< br>?
?
ω
y
,
H
y
,
M
y
?
ω
x
?
H
x
?
M
x
d
?
x
；另一使
H
z
绕
y
轴进动：
dt
?
?
?
ω
z
,
H
z
,
M
z
?
y
H
z
；
?
?<
/p>
z
H
y
。
第三使
H
y
绕
z
轴进动：
所以有关系
图
3-5
陀螺仪转动的微分方程
M
x
?
J
x
同理可得
<
/p>
d
?
x
?
?
y
H
z
?
?
z
H
y
(3-13
a
)
dt
d
?
y
dt
M
y
?
J
y
?
?
z<
/p>
H
x
?
?
x
H
z
(3-13
b
)
M
z
?
J
z
d
?
z
?<
/p>
?
x
H
y
?
?
y
H
x
(3-13
c
)
dt
㈢、自由陀螺仪自转轴在地表面上的关系
在研究地球自转及其与陀螺仪转动的关系时（陀螺
经纬仪正是巧妙地利用这个关系发明的）
，
我们必须以太
阳或其它恒星作为惯性参考系，而不能以地球作为惯性
参考系。
首先，我们研
究自由陀螺仪之自转轴在地表面上的
摆动情况。所谓自由陀螺仪是指陀螺轴在空间三维方
向
均可自由转动的陀螺仪，或称为三自由度陀螺仪，具体
结构可
如图
3-6
所示。
我们知道，在以太阳或其它恒星作为参考的惯性空
-4
间中，
地球的自转角速度为
E
=1
转
/
日≈
7
×
10
转
/
分≈
北极
图
3-6
三自由度陀螺装置
?
E
?
2
?
1
?
0
?
3
天顶
?
1
?
?
2
?
0
?
3
?
北极
?
E
真北
x
南极
图
3-7
地球自转角速度的分解
7
×
10
弧度
/
秒。现在，在地表面上纬度为
的某点水平放置一个三自由度陀螺仪，
陀螺仪自转轴与子午面的夹角为
0
，
如图
3-7
所示。
将地
球自转角速度
E
沿铅垂线、
-5
陀螺自转轴以及与铅垂线、陀螺自转轴均
垂直的三个方向进行分解，得分量角速度
< br>?
1
?
?
E
sin
?
(3-14)
?
2
< br>?
?
E
cos
< br>?
sin
?
0
< br> (3-15)
?
3
< br>?
?
E
cos
< br>?
cos
?
0
< br> (3-16)
其中
3
使陀螺仪的自转角速度增加到
(
+
3
)
，
因
3
<<
，
故
3
可忽略，
即陀螺自
转角速度仍为
。
在无外
力矩作用时，陀螺轴在惯性空间中的指向不
变。因此，地球的自转将改变陀螺轴与地表面
的关系。其
中
1
使陀螺轴逐渐偏离真北
方向（实际上是在以太阳为
参考的惯性系中，子午线远离陀螺轴）
，
2
使陀螺自转轴
与地平面的夹角逐
渐加大（该角用
表示）
。自由陀螺仪
不
能用来寻北。
㈣、地球自转对摆式陀螺仪的影响
图
3-8
摆式陀螺仪
如果在三自由度陀螺仪的自转轴上杆连一质量为
m
(<
/p>
2.5
个自由度
)
的刚体，则其自由度成为二个半，称为摆式陀螺仪，如图
3-8
所示。将摆式陀螺仪水平放置于纬度为
的地面点时，如图
3
-9
所示，则由
2
引起的
将对陀螺仪产生一外力矩
B
l
A
?
?
G
?
m
g
初始状态
A
?
时刻
t
l
?
?
G
?
m
g
?
E
图
3-9
摆式陀螺仪因地球自转产生外力矩
B
?
?
?
M
P
?
l
?
G
(3-17)
?
?
< br>其中
l
由陀螺仪重心指向重物重心，
G
为重物的重力
G
?
m
g
?
?
?
?
?
?
?
，
l
与<
/p>
G
的夹角为
。当
g
为重力加速度，
G
和
g
的方向指向地球中心（重心）
很小时，
sin
=
。令
M
G
?
mgl
(3-18)
则外力矩的大小为
<
/p>
M
P
?
M
G
?
(3-19)
?
?
< br>?
M
P
的方向在图
3-9
中垂直纸面向里（陀螺轴在纸面内，故也有
M
P
?
H
）
，它将
使陀螺轴产生进动角速度
ω
P
，其关系为
?
ω
P
?
?
?
ω
P
?
H
?
M
P
< br> (3-20)
(
a
)
?<
/p>
?
?
?
其中
H
?
J
ω
为陀螺自转动量矩。
ω
P
在
H
与
?
M
P
形成的平面内，
< br>方向向上，
将使陀螺轴转向
真北方向，其大小为
M
P
真北方向
?
P
H
M
M
?
P
?
P
?
G
?
(3-21)
H
H
真北方向
M
P
结合图
3-10
，现在分析
的变化情况。
?
P
H
由
2
引起，
2
＝
E
cos
sin
，
随
着陀螺轴接
近真北，
2
逐渐接近
0
，
逐渐接近最大值，
(
b
)
P
也逐渐接近最大值，也就是说，陀螺轴将于
最快速越过真北方向；越过真北方向后，
2
为
负值，
逐渐变
小，
在
为
0
前
，
陀螺轴继续向
ω
P
< br>
左（西）转动；当
为
0
时，
P
为
0
，
（陀螺轴
图
3-10
摆式陀螺进动方向
暂时停止）
，
但
2
的绝对值最大，
符号为负，
因
此将导致
向负值发展，这将导致陀螺轴向右（东）转动靠近真北方向；……；陀
螺轴围绕真北作往复摆动。
㈤、摆式陀螺仪的运动方程
在上面，我们定性叙述了摆式陀螺仪自转轴在地球自转影响下将围绕真北方向
作往复左右摆动。现在，我们建立陀螺轴的摆动方程。
设某时刻摆式陀螺仪与真北方向的夹角为
，与地平面的倾角为
，在此刻建
立（以太阳为参考的
）惯性空间中的
xyz
坐标系如图
3-
11
所示，其中
x
轴与陀螺自
转轴一致，
z
轴与
x<
/p>
轴垂直、与铅垂线的夹角为
，
y
轴与
x
、
z
轴构成右手坐标系。设此刻存
在
d
?
d
?
、
，则陀螺仪在惯性空间中的转动角速度为
dt
dt
?
?
?
x
?
?
?
< br>?
3
?
?
?
d
?
?
d
?
d
?
?
?
y
?
?
?
2
?
?
?
E
cos(
?
?
?
)
sin
?
?
?
?
E
cos
?
sin
?
?
(3-22)
dt
dt
dt
?
?
d
?
d
?
d
?
?
?
z
?
?
?
1
?<
/p>
?
?
E
sin(
?
?
?
)
?
?
?
E
sin
?
?
dt
dt
dt
?
?
动量矩为
H
x
=
J
x
x
=
J
=
H
相对于
H
x
取
H
y
=
H
z
=0
外力矩为
M
x
=0
M
y
=
–
M
G
M
z
=0
又
北极
?
E
?
?
z
x
y
d
?
?
?
dt
dt
2
?
2<
/p>
?
(3-23)
d
?
< br>z
d
?
?
?
2
dt
dt
?
?
?
将以上结果代入式
(3-13
b
)
、
(3-13
c
)
得<
/p>
d
?
y
2
?
d
2
?
d
?
?
M
G
?
?
J
y
2
?
(
?
?
E<
/p>
sin
?
)
H<
/p>
dt
dt
(3-24
a
)
南极
图
3-11
临时惯性参考系
d
< br>2
?
d
?
M
z
?
J
z
2
?
(
?
?
E
cos
?
sin
?
)
H
dt
dt
(3-24
b
)
d
3
?
式
(3-24
a
)
两
边对
t
求导，并略去
3
得
dt
< br>d
?
H
d
2
?
(3-25)
?
?
< br>dt
M
G
dt
< br>2
代入式
(3-24
b
)
，则有
H
2
d
2
?
M
z
?
(
J
z
?
)
2
?
H
?
E
cos
?
sin
?
M
G
dt
(3
-26)
为使上式容易求解，需控制
数值，使
sin
=
成立。另外，人们又
将
D
k
=<
/p>
H
E
cos
(3-27)
称为陀螺力矩，将
<
/p>
M
k
=
D
k
sin
=
D
k
(3-28)
称为指向力矩。这样，可将式
< br>(3-26)
写成
H
2
d
2
?
(
J
z
?
< br>)
?
D
k
?
?
M
z
(3-29)
M
G
< br>dt
2
在
M
z
=0
时，式
(3-29)
的一般解式为
?
?
A
sin
2
π
(
t
?
t
0
)
(3-30)
T
A
< br>其中
A
、
t
0
为积分常数，
实际意义为陀螺摆幅和初相时间，
由具体过程的初始状态所
决定。摆动周期
T
A
的表达式为
T
A
?
2
π
令
H
2
?
J
z
?
M
G
H
?
< br>2
π
(3-31)
D
K
< br>M
G
?
E
cos
?
?
0
T
A
?
2
π
H
M
G
?
E
?
(3-32)
则
0
T
A
(3-33)
T
A
< br>?
cos
?
d
< br>2
?
将式
(3-30)
代入
(3-24
a
)
并忽略
2
，整理得陀螺轴的倾角方程
dt
?
?
令
H
?
E
sin
?
H
?
E
cos
?
2
π
?
A
cos
(
t
?
t
0
)
(3-34)
M
G
< br>M
G
T
A
H
?
E
sin
?
(3-35)
M
G
< br>?
0
?
?
max
?
?
0
?
A
则式
(3-34)
成为
H
?
E
cos
?
(3-36)
M
G
< br>2
π
(
t
?
t
0
)
(3-37)
T
A
< br>?
?
?
0
?
(
?
max
?
?
0
)
c
os
将式
(3-30)
与式
(3-37)
合并消去
t
，得
?
?
?
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
?
?
?
?
max
?
?
0
2
< br>?
?
?
?
1
(3-38)
?
2
< br>该椭圆反映了陀螺轴在空间的运动轨迹。其中
A
子午面
?
max
水平面
西
图
3-12
摆式陀螺轴的进动轨迹
东
?
0
(
?
max
?
?
0
)
??
A
(3-39)
最后要指出的
是，上面讨论的所有角度如
、
等均以弧度计。
< br>
二、上架式陀螺经纬仪的结构
一套完
整的上架式陀螺经纬仪由经纬仪、陀螺仪、经纬仪与陀螺仪连接装置以
及电源箱等四部分
构成，如图
3-13
所示。其中，经纬仪（包括三脚架）与普通
测量
中所使用的完全一样，只是需在其上部安装一个专用的桥形支架，以用于陀螺仪的<
/p>
安置。该桥形支架与陀螺仪底部的螺纹压环等构成所谓的连接装置，支架顶部的三
个球形顶尖可插入陀螺仪底部的三条向心“
V
”
形槽，形成强制归心，然后旋动螺纹
压环即可实现陀螺仪与经纬仪的稳定连接。
本节以徐州光学仪器厂
(1980
年
)
制造的
JT-15<
/p>
型陀螺经纬仪为例，
介绍陀螺仪
的结构组
成以及与之相关的几个概念。
㈠、陀螺仪的结构组成
图
3-14
为
JT
-15
陀螺仪的结构组成。
一般来说，
上架式陀螺仪的结构均可划分
为灵敏部、光学观测系统、锁紧限幅机构以及机体外壳等四
部分。
1.
灵敏部
灵敏部为陀螺仪的核心部分，其作用是利用高速旋转的陀螺寻找子午面，它包
括
悬挂带、导流丝、陀螺马达、陀螺房及反光镜等部件。陀螺马达装在密封充有氢
气的陀螺
房中，通过悬挂柱由悬挂带悬挂起来，用两根导流丝和悬挂带及旁路结构
对其供电。在悬
挂柱上装有反光镜。
陀螺转
子应是重心下移的摆式结构，如图
3-8
示意，这在工艺上应予
保证。
2
< br>悬挂带是一根截面为
0.58
0.03mm
的银铜丝。
它一方面要求有一定的抗拉强度
(
一般约为
550g)
，另一方面又要求具有较
小的扭矩系数。
无论是陀螺转子的进动，还是陀螺转子的自由
摆动，实际上是与陀螺房、悬挂
柱连成一个整体进行的，所以在悬挂柱上安装一个反光镜
，该反光镜的位置变化即
可反映陀螺轴的摆动情况。
2.
光学观测系统
将图
3-14
中陀螺仪的光学观测系统单独画出如图
3-15
所示。
在光源照射下，
1
10
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
图
3-14
JT-15
型陀螺经纬仪结构示意
<
/p>
1
—
悬挂带；
2
—
照明灯；
3
—
光标；
4
—
陀螺马达；
5
—
分划板；
6
—
目镜；
7
—
凸轮；
8
—
螺纹压环；
图
3-13
JT-15
型陀螺经纬仪的外貌
9
—
桥形支架；
1
0
—
悬挂柱；
11
—
上部外罩；
12
—
导流丝；
13
—
支架；
14
—
外壳；
15
—
磁屏蔽罩；
16
—
灵敏部底座；
17
—
锁紧限幅机构
光标线经反射棱镜、反光镜反射后，通过物镜成像在目镜分划板上。
灯源
光标镜
10
5
?
0
5
10
?
反光棱镜
固定在灵敏部
物镜
图
3-16
目镜分划板影像
分划板
反光镜
目镜
上的反光镜
图
3-15
JT-15
型陀螺经纬仪的反射光学系统
在目镜看到的分划板影像如图
3-16
所示，
其中的一根长线是光标线的影像。
由
于光标线的反射光路经过悬挂柱上的一块反光镜，故灵敏部摆动时，光标线
的影像
在分划板上来回移动，从而它也就反映了陀螺轴的摆动情况。由于光线反射的具体
情况，
我们在目镜看到的光标线影像的摆动方向与陀螺轴的实际
摆动方向正好相反，
所以，分划板的刻划为左“
”右“
”
。
分划板格值的设计值一般为
=10
，
但实际数值与此往往相差很大，
精密定向
时需对
值进行实际测定。
分划板的“
0
”刻划线应与经纬仪望远镜视准轴
在同一铅垂面内，二者的实际水
平夹角称为陀螺经纬仪的仪器常数，我们用
C
g
表示
C
g
=
视准轴对应的水平度盘
读数－零刻划线对应的水平度盘读数
(3-40)
C
g
< br>不影响定向精度，但为计算方便，一般使其控制在
10
以
内。校正
C
g
的方法有多
种，例如，
JT-15
型陀螺经纬仪是利用桥型支架
上部的微调座进行调整的，
GAK-1
型
陀螺经纬仪可横向移动目镜分划板，或者横向移动望远镜十字板的竖丝。
在陀螺马达未启动状态下，光标线的静止位置或自由摆
动中心应与分划板零刻
划线重合。二者的实际偏差称为零位，用
表示，以格数计。一般在每次定向观测
时，均需实际测定。当
较
大时，可用陀螺仪顶部悬挂架上面的两个螺丝进行校正。
3.
锁紧限幅机构
转动仪器外部的手轮，通过凸轮带动锁紧限幅机构的升降，可使陀螺灵敏部拖
起（锁紧）或下放（摆动）
。如图
3-14
中的
7
和
17
所示。该机构的作用一是拖
放、一是限幅。拖起灵敏部的目的是
保护悬挂带不受折损，因此要求陀螺经纬仪在搬运途
中，或者在启动以及制动过程
中，灵敏部必须处于拖起状态。灵敏部下放的快慢直接影响
着陀螺摆幅的大小，从
而可实现限幅的功能。
另外，该部分还配有减震、阻尼装置。
4.
机体外壳
机体外壳由陀螺支柱、套筒、防磁层、及电缆插头等组
成。机体外壳要有一定
的隔热、防磁作用。
三、陀螺轴摆动方程的实用形式
在第一段我们已经从理论上证明了下摆式陀螺仪的进动规律为以真北方向为中
心的单摆运动，这里，我们将根据陀螺经纬仪的具体结构和操作过程，给出陀螺轴
< br>摆动方程的实用形式。
另外，在第二段中我们已经知道，陀螺经纬仪是以目镜中的光标线来反映陀螺
轴的摆动
情况的，所以，为了叙述上的方便，我们对“光标线”和“陀螺轴”不加
区分，并且把目
镜分划板表示成左“
”右“
”的原理形式。
在陀螺经纬仪中，悬挂柱、陀螺房与陀螺轴一起
摆动，它们由悬挂带悬吊，因
此陀螺轴的摆动又受悬挂带扭力的影响。下面先讨论陀螺未
自转时该扭力的影响情
况，其结果也用于悬带零位的测定。
自下文中，我们将用
i
表示光标线在分划板上的位置读数
(scale
reading)
，
以格数计。
㈠、陀螺轴的自由摆动方程
当陀螺仪未自转时，陀螺轴也将产生单摆运动，是由悬
挂带扭力矩引起的，所
以称为扭摆运动，又因为无陀螺的进动参与，也称为自由摆动。<
/p>
设陀螺轴自由摆动中心在分划
板上的位置为
（即零位）
，
悬挂带产生
指向
位
置的扭力矩
D
< br>B
(
?
?
?
)
?
?
，
其中
D
B
为悬挂带扭矩系数，与悬挂带
截面大小和形状有
关，较窄的矩形截面具有较小的
D
B
。由于扭力矩的存在，根据刚体的转动定律，可
建立如下的微分方程
d
2
?
(
?
?
?
)
?
?
(
?
?
?
)
?
(3-41)
J
Z
< br>?
2
?
?
?
?
D
B
d
t
?
?
?
?<
/p>
其中的“
”号表明扭力矩转向与
的正向相
反，
J
z
为陀螺仪绕
< br>z
轴的转动惯量，
z
轴通过陀
螺仪重心与自转轴
x
垂直，与悬挂带轴线重合。若进一步考虑摩
擦力矩的
影响，则式
(3-41)
应修
改为
d
2
?
(
?
?
?
)
?
?
(
?
?
?
)
?
d
?
(
< br>?
?
?
)
?
?
J
Z
?
2
?
?
h
?
?
?
?
D
B
?
(3-42)
dt
?
?
?
dt
?
?
< br>?
?
该微分方程的普通解式为
?
?
?
?
De
?
k
其中
D
(
t
?
< br>t
0
)
sin
< br>2
π
(
t
?
t
0
)
(3-43)
T
D
< br>k
D
?
h
(3-44)
2
J
< br>Z
T
D
?
2
π
D
B
2
?
k
D
J
Z
?
2
π
J
Z
(3-45)
D
B
< br>初始摆幅
D
与初相时间
t
0
为积分常数，由具体的初始状态而定。
式
(3-43)
表明，在陀螺马达未启动时，陀螺轴的自由摆动为衰减的单摆运动。
在陀螺经纬仪定向实践中，式
(3-43)
被用于零位
的测定。
㈡、跟踪状态下陀螺轴的摆动方程
所谓跟踪状态，是指操作员转动经纬仪照准部的微动螺旋，使陀螺目镜分划板
的某一刻划
A
始终与光标线重合。在此状态下，采
集经纬仪水平度盘读数
及时间
观测值
t
，以完成真北方向的确定。
当用分划板的
A
刻划跟踪陀螺轴时，存
在指向
的扭力矩
D
B
< br>(
?
A
?
?
)
?
?
和
摩
d
?
?
A<
/p>
?
N
?
?
擦力矩
h
?
，二者方
向相同，均与图
3-11
中的
z
轴相反，以
?
dt
?
?
?
?
M
Z
?
?
D
B
(
?
A
?
?
)
< br>?
d
?
?
A
?
N
?
?
?
h
?
(3-46)
?
?
< br>dt
?
?
?
?
代入式
(3-29)
的得
?
?
A
?
N
?
H
2
d
2
?
?
A
?
N
?
?
?
(
J<
/p>
Z
?
)
2
?
?
D
K
?
?
?
?
?
M
G
dt
?
?
?
?
?
?
?
?
D
B
7)<
/p>
整理成
(
?<
/p>
A
?
?
)
?
?
d
?
?
A
?
N
?
?
?
h
?
?
(
3-4
dt
?
?
?
?
H
2
d
2
A
d
(
J
Z
?
)
2
?
?
N
?
?
(
?
A
< br>?
?
)
?
?
h
?
A
?
N
?
?
(
?
A
?
?
)
?
M
G
dt
dt
?
?
?
?
?
D
K
?
其解式为
?
A
?
N
?
< br>?
(
?
A
?
?
)
?
?
0
(3-48)
?
?
< br>A
?
N
?
Ae
?
k
(
t
?
t
)
si
n
0
2
π
(<
/p>
t
?
t
0
)
?
?
(
?
A
?
?
)
?
(3-49)
T
A
其中
<
/p>
?
?
D
B
D
B
?
(3-50)
D
K
< br>H
?
E
cos
< br>?
称为零位改正系数，或写成
?
0
?
?
(3-51)
cos
?
式中
?
0
?
D
B
(3-52)
H
?
< br>E
初始摆幅
A
与初相时间
t
0
为积分常数，由具体的初始状态而定。摆
幅的衰减系数
k
?
< br>h
H
2
2
(
J
Z
?
)
M
G
-5
?<
/p>
hM
G
(3-53)
2
2
< br>H
一般很小，在
10
10
之间；陀螺轴的摆动周期
-6
T
A
?
2
< br>π
(3-54)
D
k
< br>2
?
k
H
2
J
Z
?
M
G
简称陀螺跟踪周期，忽略
k
与
J
z
即成为式
(3-31)
(3-33)
。
A
在式
(3-46)
(3-49)
中，
< br>为
A
对应的水平度盘读数，但实际能观测到的只
能是
，如图
3-17
所
示，将
A
＝
－
C
g
＋
A<
/p>
(3-55)
代入式
(3-49)<
/p>
，整理得
?
?
N
?
C
g
?
??
?
?
Ae
?
k
(
t
?
t
)
sin
0
2
π
(
t
?
< br>t
0
)
?
(
1
?
?
)
?
A
?
(3-56)
T
A
实践中一般总是用零刻划线跟踪，即
A
=0
，并且将式
(3-56)
分写如下
N
=
M
－
－
C
g
(3-57)
?
?
< br>M
?
Ae
?
k
(
t
?
t
)
sin
0
2
π
(
t
?<
/p>
t
0
)
(3-58)
T
A
㈢、经纬仪照准部固定状态下陀螺轴的摆动方程
当经纬仪照准部在近似北方向
N
固定时，则陀螺轴的摆动完全反映在陀螺分
划板上，陀螺轴摆
动时，悬挂带的扭力矩也在改变。设陀螺轴某时刻的位置对应于
分划板上的
，对应经纬仪水平度盘于
N
，则扭力矩和摩擦力矩形
成陀螺仪的外加
望
远
镜
视
准
轴
零
刻
划
线
零
位
真
北
方
向
陀螺轴与
?
A
刻
划
线
始
终
重合
陀螺分划板
??
C
g
?
A
?
经纬仪水平
度盘
?
N
?
A
图
3-17
陀螺轴摆动的跟踪
(
从南向北看
)
力矩
M
Z<
/p>
?
?
D
B
(
?
?
?
)
?
?
d
?
N
α
?
N
?
?
(3-59)
?
h
< br>?
?
?
dt
?
?
?
代入式
(3-29)
?
N
α
?
N
?
< br>H
2
d
2
?
N
α
?
N
?
(
?
?
?
)
?
d
?
N
α
?
N
?
?
?
< br>?
(
J
Z
?
)
2
?
?
D
?
?
?
D
B
?
h
?
K
?
?
?
?
?
?
M
G
dt
?
?
?
?
dt
?
?
?
?
?
?
(3-60)
再由图
3-18
知
与
N
的关系
(3-6
1)
将式
< br>(3-61)
代入式
(3-60)
，并进行整理得
N
＝
N
－
C
g
< br>＋
H
2
d
2
(
J
Z
?
)
2
M
G
dt
N
?
C
g
?
???
?
N
?
?
?
N
?
C
g
?
???
?
N
?
?
d
?
?
?
?
?
?
h
?
?
?<
/p>
?
+
(
1
?
?
)
?
dt
?
(<
/p>
1
?
?
)
?
?
?
?
N
?
C
g
?
???
?
N
?
?
?
?
(
D
B
?
D
K
)
?
?<
/p>
?
?
?
0
(3-62)
(
1
?
?
)
?
?
?
其解式
为
?
?
N<
/p>
?
C
g
?
???
?
N
?
(
1
?
?
)
?
?
Be
?
k
(
t
< br>?
t
0
)
sin
2
π
(
t
?
t
0
)
(3-63)
T
B
其中陀螺轴的摆动周期
< br>
T
B
?
2
π
(3-64)
D
k
< br>?
D
B
2
?
k
H
2
J
Z
?
M
G
简称不跟踪周期；积分常数
B
和
t
0
的意义为初始摆幅和初相时间，由陀螺轴摆动
的
具体初始状态而定；
摆幅衰减
k
同式
(3-53)
；
零位改正系数
同式
(3-50)
(3-52)
。
视
准
轴
固
定
位
置
零
刻
划
线
零
位
真
北
方
向
陀
螺
轴
瞬
间
位置
?
陀螺分划板
??
C
g
N
?
??
经纬仪水平
度盘
N
N
?
图
3-18
经纬仪照准部固定状态下
陀螺目镜分划板刻
划与水平度盘刻划的关系
(
< br>从南向北看
)
忽略<
/p>
k
与
J
z
，则式
(3-64)
可简化为
H
2
T
B
?
2
π
(3-65)
M
G
< br>(
D
k
?
D
B
)
或将式
(3-31)
(3-33)
及式
(3-50)
(3-52)
代入，成为
0
T
A
T
A
T
B
?
?
< br> (3-66)
0
1
< br>?
?
cos
?
< br>?
?
或
2
T
A
?
?
2
?
1
(3-67)
T
B
< br>摆
动
中
t
r
n
+1
r
n
-1
心
实践中，一般将式
(3-63)
分写如下
N
=
M
－
－
C
g
(3-68)
=
(3-69)
M
=
< br>N
+(1+
)
(3-70)
r
n
?
?
?
?
Be
?
k
(
t
?
t
)
sin
0
2
π
(
t
?
t
0
)
(3-71)
T
B
r
3
r
1
r
2
?
图
3-19
逆转点
四、逆转点观测数据的处理方法
㈠、逆转点观测数据的处理方法
在陀螺轴摆动中，陀螺轴摆动方向改变处称为逆转点，如图
3-
19
所示，逆转点
处的观测数据简称为逆转点数据。
以式
(3-5
8)
为例，逆转点的数学特征是
?<
/p>
?
2
π
2
π
2
π
?
?
kAe
?
k
(
t
?
t
0
)
sin
(
t
?
t
0
)
?
Ae
?
k
(
t
?
t
0
)
cos
(
t
?
t
0
)
?
0
(3-72)
?
t
< br>T
A
T
A
T
A
或整理成
2
π
kT
A
取
k
?
0
c
ot
(
t
?
t
0
)
?
???
?
0
T
A
2
π
其解为
t
i
?
t
0
?
2
i
?
1
T
A
(3-73)
4
把逆转点数据记为<
/p>
r
i
，并以式
(
3-73)
代入式
(3-58)
得逆转
点方程
r
i
?
M
?
(
?<
/p>
1
)
e
i
?
2
i
?
1
kT
A
4
A
(3-74)
将式
(3-74)
右边的正负号合并到
A
中（亦即
A
可正可负）
，则简化为
r
i
?
M
?
(
?
1
)
e
i
?
2
i
?
1
< br>kT
A
4
A
(3-75)
在不跟踪式观
测中，由于格值
较大，导致逆转点数据的误差较大，由此求得
的
的精度也较低，所以逆转点法一般不用于不跟踪式观测。后来有人在目镜分划
板加测了测微装置，提高了逆转点数据的读取精度，使逆转点法在不跟踪式观测中
< br>也开始得到了应用。
通常认为零位
的测取精度要求不高，所以零位测定基本上总是用逆转点法。
（另外，陀螺目镜分划板上的逆转点数据
被许多称为摆幅，相应地也有摆幅法
的称谓，目的是想与跟踪状态下经纬仪水平度盘上的
逆转点数据区分开来，我们认
为这反倒搞乱了一些概念，故不采用。
）
在跟踪式观测中，<
/p>
操作员很少有机会在光学读数窗中读取经纬仪水平度盘读数，
唯一
的可能机会是在逆转点处。因此，逆转点法基本上成为跟踪式观测的唯一方法
和专用方法
，本节的讨论也不例外地以跟踪式观测为背景，尽管其中的大部分内容
也同样适用于不跟
踪式观测和零位观测。
逆转
点法操作简便，反映原理直观（多数文献用逆转点法来图示陀螺仪的寻北
过程）
，数据处理也很简单，而且在跟踪状态下能保证相当好的定向精度，所以它一
直被认为陀螺经纬仪定向的最经典方法。但逆转点法效率太低，一个周期最多得三
个
数据，不符合快速定向的要求，因此该观测方案不可能用于快速定向，不是一种
发展的方法。
当仅观测两个相邻的逆转点
时，令
k
=0
，可得
< br>
M
?
1
(
r
1
?
r
2
)
(3-76)
2
当仅观测三个连续的
逆转点时，由式
(3-75)
可得
<
/p>
r
1
r
3
?
r
2
2
(3-77)
M
?
< br>r
1
?
r
3
?
2
r
2
下面讨论逆转点数据处理的一般方法。
㈡、逆转点方程的最小二乘解
用一组逆转点数据对式
(3-
75)
进行等权拟合，也就是通常的逆转点数据处理。
[0]<
/p>
[0]
式
(3-75)
< br>中有三个待定参数，其中
kT
A
视为一个，将其表示成
M
=
M
+
M
、
A
=
A
+
A
< br>、
kT
A
?
?
kT
A
?
?
?
kT
A
，其中
M
[0]
、
A
[0]
、
(
kT
A
)
[0]
< br>为近似值。将它们代入式
(3-75)
，并
[
0
]
对
< br>r
i
施加改正数
v
i
得误差方程式
v
i
?
?
M
?
(
?
1
)
e
其中
< br>i
?
2
i
?
1
?
kT
A
?
[
0
]<
/p>
4
?
A
?
(
?
1
)
i
?
1
2
i
?
1
?
?
e
4
2
i
?
1
?
kT
A
?
[
0
]
4
A
[
0
]
?
kT
A
?
r
i
?
权
1
(3-78)
r
i
< br>?
?
r
i
?
M
[
0
]
?
(
?
1
)
e
i
?
2
i
?
1
?
kT
A
?
[
0
]
4
A
[
0
]
(3-79)
由此按最小二乘法即可求出各参数估值及精度。
㈢、逆转点线性方程的最小二乘解
由于
k
值很小，
如果我们取
e
成为
?
2
i
?
1
kT
A
4
?
1
?
2
i
?
1
kT
A<
/p>
，
代入式
(3-75)
< br>，
则式
(3-75)
4
r
i
?
M
?
(
?
1
< br>)
i
A
?
(
?
1
)
i
?
1
(
2
i
?
1
)
对应式
(3-78)
即
kT
A
A
(3-80)
4
kT
A
A
?
r
i
权
1
(3-81)
4
v
< br>i
?
M
?
(
?
1
)
i
A
?
(
?
1
)
i
?
1
(
2
i
?
1
)
设观测值的个数为<
/p>
n
，即
i
＝
1
、
2
、…、
n
，对式
(3-81)
进行最小二乘解算，结果为
当
n
为奇数时
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