-
圆的基本题型
<
/p>
纵观近几年全国各地中考题，
圆的有关概念以及性质等一般以填空
题，
选择
题的形式考查并占有一定的分值；一般在
10
分－
15
分左右，圆的
有关性质，如
垂径定理，
圆周角，
切线
的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形
式考查；
利用圆的知识与其他知识点如代数函数，
方程等相结合作为中考压轴题
< br>将会占有非常重要的地位，
另外与圆有关的实际应用题，
阅读理解题，
探索存在
性问题仍是热门考题，应引起注意
.
下面究近年来圆
的有关热点题型，举例解析
如下。
一、圆的性质及重要定理的考查
基础
知识链接：
（
1
）垂径定理；
（
2
）同圆或等圆中的
圆心角、弦、弧之间的关
系
.(3)
圆
周角定理及推论
（
4
）圆内接四边形性质
【例
1
】
（江苏镇江）如图，
AB
为⊙
O
直径，
CD
为弦，且
CD
?
A
B
，垂足为
H
．
（
1
）
?
OCD
的
平分线
CE
交⊙
O
于
E
，连结
OE
< br>．求证：
E
为弧
ADB
的中点；
（
2
）如果⊙
O
的半径为
1
，
CD
?
3
，
①求
O<
/p>
到弦
AC
的距离；
②填空：此时圆周上存在
个点到直线
AC
的距离为
【解析】
（
1
）
OC
?
O
E
，
??
E
?
?
OCE
又
?
OCE
?
?
DCE
，
??
E
?
?<
/p>
DCE
．
?
O
E
∥
C
．
D
又
CD
?
AB
，
??
AOE
?
?
BOE
?
90
．
?
E
为弧
ADB
的中点．
（
2
）①
CD
?
A
B
，
AB
为⊙
O
的直径，
CD
?
3
，
1
3
?
CH
?
C
D
?
．又
OC
?
1
，
?
si
n
?
COB
?
CH
?
2
?
3
．
2
2
OC
1
2
3
1
．
2
A
C
B
O
H
E
D
??
COB
?
60
，
??
BAC
< br>?
30
．
1
1
作
OP
?
AC
于
P
，则
OP
?
OA
?
．
2
2
②3
.
【点评】
本题综合考查了利用垂径定
理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的
能力
.
运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.
几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距
,
本题的弦心
距就是指线段
OD
的长
.
在圆中
解有关弦心距半径有关问题时
,
常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距
,
把垂
径定理和勾股定理结合起来解题
.
如图
,
⊙
O
的半径为<
/p>
r
,
弦心距为
d
,
弦长
a
之间
?
a
?
的关系
为
r
2
?
d<
/p>
2
?
?
?
.
根据此公式
,
在<
/p>
a
、
r
、
d
三个量中
,
知道任
何两个量就可
?
2
?
< br>以求出第三个量
.
平时在解题过程中要善于发现并运用这
个基本图形
.
【例
2
】
<
/p>
（安徽芜湖）如图，已知点
E
是圆
O
上的点，
2
B
、
C
分别是劣弧
AD
的三等分点，
< br>?
BOC
?
46
，
则
?
AED
的度数为
．
【解析】由
B
、
C
分别是劣弧
< br>AD
的三等分点知，圆心角∠
AOB=
< br>∠
BOC=
∠
COD,
又
?
BOC
?
46
，所以
∠
AOD
=138
?
.
根据同弧所对的圆周角
等于圆心角的一半。从而有
?
AED
＝
69
?
.
点评
本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。
【强化练习】
【
1
】
.
如图，
⊙
O
是
ABC
的外接圆，
?
BAC
?
60
?
，
AD
，
CE
分别是
BC
，
AB
上的高，
且<
/p>
AD
，
CE
交于
点
H
，求证：
AH=AO
1
(1
)
如图，在⊙
O
中，弦
AC
⊥
BD
，
OE
⊥
AB
，垂足为
E
，求证：
OE=
CD
2
1
2
2
(2)
如图，
AC
，
BD
是
⊙
O
的两条弦，且
ACBD
，⊙
O
的半径为
，求
AB
＋
CD
的值。
2
【
2
】
（第
25
题）
如图
，
⊙
O
是△
A
BC
的外接圆，
弦
BD
交
AC
于点
E
，
连接
CD
，
且
AE=DE
，
BC=CE<
/p>
．
（
1
）求∠
ACB
的度数；
（
2
）过点
O
作
OF
⊥
AC
于点
F
，延长
FO
交
BE
于点
< br>G
，
DE=3
，
EG=2
，求
AB
的长．
二、直线与圆的位置关系
基础知识链接：
1
、直线与圆的位置关系有三种
: <
/p>
⑴如果一条直线与一个圆没有公共点
,
那
么就说这条直线与这个圆
相离
.
⑵如
果一条直线与一个圆只有一个公共点
,
那么就说这条直线与这个
圆相切
,
此
时这条直线叫做圆的
切线
,
这个公共点叫做切点
< br>.
⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点
,
那么就说这条直线与这个圆
相交
,
此时
这条直线叫做圆的
割线
,
这两个公共点叫做交点
.
2
、直线与圆的位置关系的判定；
3
、弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
4.
和圆有关的比例线段
（
1
）相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
（
2
）推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段
的比例中项；
（
3
）
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项；
（
4
）
推论
从圆外一点引圆的两条割线，
这一点
到每条割线与圆的交点的两条
线段长的积相等。
5.
三角形的内切圆
（
1
）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、
圆的外切三角形、多边形的
内切圆、圆的外切多边形；
6
、圆的切线的性质与判定。
【例
1
】<
/p>
（
甘肃兰州）
如图，
四边形
ABCD
内接于⊙
O
，
AE
?
CD
，
BD
是⊙
O
的直径，
垂足为
E
，
DA
平分
?
B
DE
．
（
1
）求证：
AE
是⊙
O
的切线；
< br>
（
2
）若
?
DBC
?
30
，
DE
?
1cm
，求
BD
的长．
【解析】
（
1
）证明：连接
OA
，
DA
平分
?
BDE
，
??
BDA
?
?
EDA
．
B
O
A
E
D
C
O
A
?
O
，
D
?
?
O
D
?
A
?
．
??
OAD
?
?
EDA
．
?
O
A
．
∥
C
E
A
E
?
??
AED
?
90
，
?
OAE
?
?
DEA
?
9
0
．
，
D
E
?
A
E
?
．
O
A
?
AE
是⊙
O
的切线．
A
E
D
（<
/p>
2
）
BD
是直径
，
??
BCD
?
?
BAD
?
90
．
?
D
B
C
?
3
0
，
?
B
D
?
C
6
，
< br>0
??
BDE
?
120
．
B
O
C
DA
平分
?
BDE
，
??
BDA
?
?
EDA
?
60
．
< br>
??
ABD
?
?
EAD
?
30
．
< br>?
AD
?
2
DE
．
在
Rt
△<
/p>
AED
中，
?
A
ED
?
90
，
?
EAD
?
30
，
?
BD
?
2
AD
?
4
D
E
．
<
/p>
在
Rt
△
ABD
中，
?
BAD
?
90
，
?
A
BD
?
30
，
DE
的长是
1cm
，
?
BD
的长是
4cm
．
< br>【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线
.
即经过半径的外端且
垂直于这条半径的直线是圆的切线
. <
/p>
【例
2
】
（广东
茂名）如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，且
AB
=
A
C
，点
D
在弧
BC
上运
动，过点
D
< br>作
DE
∥
BC
< br>，
DE
交
AB
< br>的延长线于点
E
，连结
AD
、
BD
．
（
1
）求证：∠
ADB
=∠
E
；
O
A
B
（
2
）当点
D
运动到什么位置时，
DE
是⊙
O
的切线？请说明理由．
（
3
）当
AB
=5
，
BC
=6
时，求⊙
O
的半径．
（
4
分）
【解析】
（
1
）在△
ABC
中，∵
AB
=<
/p>
AC
，
∴∠
ABC
=∠
C
．
∵
DE
∥<
/p>
BC
，∴∠
ABC
=∠
E
，
∴∠
E
=∠
C
．
又∵∠
ADB
=∠
C
，
∴∠
AD
B
=∠
E
．
（
2
）当点
D
是弧
BC
的中点时，
DE
是⊙
< br>O
的切线．
理由是：当点
D
是弧
BC
的中点
时，则有
AD
⊥
BC
< br>，且
AD
过圆心
O
．
< br>又∵
DE
∥
BC
，∴
AD
⊥
ED
．
∴
DE
是⊙
O
的切线．
（
3
）连结
BO
、
AO
，
并延长
AO
交
BC
于点
F
，
B
O
E
C
D
A
B
E
O
C
D
A
1
< br>则
AF
⊥
BC
< br>，且
BF
=
BC
=3
．
2
又∵<
/p>
AB
=5
，∴
A
F
=4
．
设⊙
O
的半
径为
r
，在
Rt△
OBF
中，
OF
=4
－
r
，
OB
=
r
，
BF
< br>=3
，
∴
r
2
＝
3
2
＋（
4
－
r
）
2
解得
r<
/p>
＝
F
C
25
25
，∴⊙
O
的半
径是
．
8
8
【点评】
本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓
住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论
.
【例
4
】
<
/p>
已知：如图
7
，点
P
是半圆
O
的直径
< br>BA
延长线上的点，
PC
切半圆
于
C
点，
CD
⊥
AB
于
D
点
，若
PA
：
PC
＝
1
：
2
，
DB
＝
4
，求
tan
∠
PCA
及
PC
的长。
图
7
证明：连结
CB
∵
PC
切半圆
O
于<
/p>
C
点，∴∠
PCA
＝∠
B
∵∠
P<
/p>
＝∠
P
，∴△
P
AC
∽△
PCB
∴
AC
：
BC
＝
PA
：
PC
∴
∵
AB<
/p>
是半圆
O
的直径，∴∠
< br>ACB
＝
90
°
又∵
CD
⊥
AB
∴
∴
AB<
/p>
＝
AD
＋
DB<
/p>
＝
5
∵
∴
【例
5
】
<
/p>
已知：如图
8
，在
Rt
△
ABC
中，∠
B
＝
90
°，∠
A
的平分线交
BC
于点
D
，
E
为
AB
上的一点，
DE
＝
DC
，以
D
为
圆心，
DB
长为半径作⊙
D
。
求证：（
1
）
AC
是⊙
D
的切线；
（
2
）<
/p>
AB
＋
EB
＝<
/p>
AC
<
/p>
分析：（
1
）欲证
AC
与⊙
D
相切，只要证圆心
D
到
AC
的距离等于
⊙
D
的半径
BD
。
因此要作
DF
⊥
< br>AC
于
F
（
< br>2
）
只要证
AC
＝
AF
＋
FC
＝
AB
＋
EB
，
证明的关键是证
BE
＝
FC
，
这又转化为证△
EBD
≌△
CFD
。
证明：（
1
）如图
8
，过
D
作
DF
⊥
AC
，
F
为垂足
∵
AD
是∠
BAC
的平分线，
DB
⊥
AB
，∴
DB
＝
< br>DF
∴点
D
到<
/p>
AC
的距离等于圆
D
的半径
∴
AC<
/p>
是⊙
D
的切线
（
2
）∵
AB
⊥
BD
，⊙
D
的半径等于
BD
，
∴
AB
是⊙
D
的切线，∴
AB
＝
AF
∵在
Rt
△
B
ED
和
Rt
△
FCD
中，
ED
＝
CD
，
BD
＝
FD
∴△
BED
≌△
FCD
，∴
BE
< br>＝
FC
∴
AB<
/p>
＋
BE
＝
AF<
/p>
＋
FC
＝
AC
小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，
可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，
< br>可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类
【例
6
】
<
/p>
已知：如图
9
，
AB
为⊙
O
的弦，
P
为
BA
延长线上一点，
PE
与⊙
O
相切
于点
E
，
C
为
中点，连
CE
交
AB
于点
F
。求证
：
分析：由已知可得
PE
2
＝
PA
·
PB
，因此要证
PF
2
＝
PA
·
PB
，只要证
PE
＝
P
F
。
即证∠
PFE
＝∠
PEF
。
< br>
证明一：如图
9
，作直径
CD
，交
AB
于点
G
，连结
ED
，
∴∠<
/p>
CED
＝
90
°
∵点
C
为
的中点，
∴
CD
⊥
AB
，∴∠
CFG
＝∠
D
∵
PE
为⊙
O
切线，
E
为
切点
∴∠
PEF
＝∠
D
，∴∠
< br>PEF
＝∠
CFG
∵∠
CFG
＝∠
PFE
，∴∠
PFE
＝∠
PEF
，∴
PE
＝
PF
∵
PE
2
＝
PA
·
PB
，∴
PF
2
＝
PA
·
PB
证明二：如图
9
－
1
，连结
AC
< br>、
AE
图
9
－
1
∵点
C
是
的中点，
∴
，∴∠
CAB
＝∠
< br>AEC
∵
PE
切⊙
O
于点
E
，∴
∠
PEA
＝∠
C
∵∠
PFE
＝∠
C
AB
＋∠
C
，∠
PEF
＝∠
PEA
＋∠
AEC
∴∠
PFE
＝∠
PEF
，∴
PE
< br>＝
PF
∵
PE<
/p>
2
＝
PA
·
PB
，∴
PF
2<
/p>
＝
PA
·
PB
【例
7
】
<
/p>
（
1
）如图
10
，已知直线
AB
过圆心
O
，交⊙
O
于
A
、
B
，直线
AF
交⊙
O
于
F
（不与
B
重合），直线
l
交⊙
O
于
C
、
D
，交
BA
延长线于
E
，且与
AF
垂直，
垂足为
G
，连结
AC
、
< br>AD
图
10
图
10
－
1
求证：①∠
BAD
＝∠
CAG
；
②
AC
·
AD
＝
AE
·
AF
（
2
）在问题（
1
）中，当直线
l
向上平行移动，与⊙
O
相切时，其它条件不变
。
①请你在图
10
－
1
中画出变化后的图形，并对照图
10
标记字母；
②问题（
1
）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果
不成立，请说明理由。
证明：（
1
）①连结
BD
∵
AB
是⊙
O
的直径
，∴∠
ADB
＝
90
< br>°
∴∠
AG
C
＝∠
ADB
＝
90
°
又∵
AC
DB
是⊙
O
内接四边形
∴∠
AC
G
＝∠
B
，∴∠
BAD
＝∠
CAG
②连结
CF
∵∠
BAD
＝∠
CAG
，∠
EAG
＝∠
FAB
∴∠
DAE
＝∠
FAC
又∵∠
ADC
＝∠
F
，∴△
ADE
∽△
AFC
∴
，∴
AC
·
AD
＝
AE
·
AF
（
2
）①见图
10
－
1
②两个结论都成立，证明如下：
①连结
BC
，
∵
AB
是直
径，∴∠
ACB
＝
90
°
∴∠
< br>ACB
＝∠
AGC
＝
90
°
∵
GC
切⊙
O
于
C
，∴∠
GCA
＝∠
ABC
∴∠<
/p>
BAC
＝∠
CAG
（即∠
BAD
＝∠
CAG
）
②连结
CF
∵∠
CAG
＝∠
BAC
，∠
GCF
＝∠
GAC
，
∴∠
GCF
＝∠
CAE
，
∠
ACF
＝∠
ACG
< br>－∠
GFC
，∠
E
＝∠
ACG
－∠
CAE
∴∠
ACF
＝∠
E
，∴△
ACF
∽△
AEC
，∴
∴
AC
2
＝
AE
·
AF
（即
AC<
/p>
·
AD
＝
AE<
/p>
·
AF
）
说明：
本题通过变化图形的位置，
考查了学
生动手画图的能力，
并通过探究式的
提问加强了对学生证明题的
考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。
【强化练习】
【
1
】
（第
22
题）如图，⊙
O
的直径
AB
为
10
cm
，弦
BC
为
5
cm
，
D
、
E
分别是∠
ACB
的平
分
线与⊙
O
，
AB
的交点，
P
为
AB
延长线上一点，且
PC
=
PE
．
（
1
）求
AC
、
AD
的长；
（
2
）试判断直线
PC
与⊙
O
的位置关系，并说明理由．
【
2
】（第
23<
/p>
题）如图，在△
ABC
中，∠
C
=90°
，∠
ABC<
/p>
的平分线交
AC
于点
E
，过点
E
作
BE
的垂线交
AB
于点
F
，⊙
O
是△
BEF
的外接圆．
（<
/p>
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线．
（
2
）过点
E
作
EH
⊥
AB
于点
H
，求证：
CD
=
HF
．
【
3
】
（第
25
题）如图，在⊙
< br>O
中，
AB
，
< br>CD
是直径，
BE
是切线，
B
为切点，连接
AD
，
BC
，
BD
．
（
1
）
求证：△
ABD
≌△
CDB
；
（
2
）若∠
DBE=37
°
，求∠
ADC
的度数．
【
4
】
（第
24
题）如图，
AB
为⊙
O
的直径，
PD
< br>切⊙
O
于点
C
< br>，交
AB
的延长线于点
D
，且
∠
D=2
∠
CAD
．
（
1
）求∠
D
的度数
；
（
2
）若
CD=2
，求
BD
的长．
【
5
】
（第
27
题）如
图，
Rt
△
ABC
中，∠
ABC
=90°
，以
AB
为直径作半圆⊙
O
交
AC
与点
D
，
点
E
为
B
C
的中点，连接
DE
．
（
1
）求证：
DE
是半圆⊙
O
的切线．<
/p>
（
2
）若∠
BA
C
=30°
，
DE
=2
，求
AD
的长．
三、圆与圆的位置关系的考查
基础知识链接：
如果两个圆没有公共
点
,
那么就说这两个圆相离
,
如图
(1)
、
(2)<
/p>
、
(3)
所示．其中
(1)
又叫做外离
,(2)
、
(3)
又叫做内含．
(3)
中两圆的圆心相同
,
这
两个圆
还可以叫做同心圆．
如果两个圆只有一个公共点
,
那么就说这两个圆相切
,
如图
(4)
、
(5)
< br>所示．
其中
(4)
又叫做外切<
/p>
,(5)
又叫做内切．如果两个圆只有两个公共点
,
那么就说这两个圆相
交
,<
/p>
如图
(6)
所示．
【例
1
】
<
/p>
（甘肃兰州）
．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两
轮
所在圆的位置关系是（
）
A
．内含
B
．相交
C
．相切
D
．外离
【解析】
图中的两圆没有公共点，且
一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，
故两圆外离，选
D.
【点评】圆与圆的位置关系有五种
:
外
离、外切、相交、内切、内含．其关系可
以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来
判定
,
也可以用数量关系来表
示圆与
圆的位置关系：
r
2
,
两圆的圆心距为
d,
则圆与
圆的位置关系与数量关系
如果设两圆的半径为
r
1
、
如下表
【例
2
< br>】
（赤峰市）如图（
1
）
，两半径为
r
的等圆⊙
O
1
和⊙
O
2
相交于
M
，
N
两点，
且⊙
O
2
过点
O
1
．过
M
点作直线
AB
< br>垂直于
MN
，分别交⊙
O
1
和⊙
O
2
于
A
，
B
两点，
连结
NA
，
NB
．
（
1
）猜想
点
O
2
与⊙
O
1
有什么位
置关系，并给出证明；
（
2
）猜想
△
NAB
的形状，并给出证明；
（
3
）如图
（
2
）
，若过
M
的点所在的直线
AB
不垂直于
MN
，且点
A
，
B
在点
M
的两侧，
那么（
2
）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
A
O
1
N
O
2
M
图（
1
）
B
O
1
N
O
2
B
A
M
图（
2
）
N
O
1
O
2
B
M
图（
1
）
【解析】解：
（
1
）
O
2
在
O
1
上<
/p>
证明：∵
⊙
O
2
过点
O
1
，
?
O
1
O
2
?
r
．
又⊙
O
1<
/p>
的半径也是
r
，
?
点
O
2
在⊙
O
1
上．
（
2
）
△
NAB
是等边
三角形
证明：
MN
?
AB
，
??
NMB
?
< br>?
NMA
?
90
．
?
BN
是⊙
O
2
的直径，
AN
是⊙
O
1
的直径，
即
BN<
/p>
?
AN
?
2
r
，
O
2
在
BN
上，
O
1
在
AN
上．
连结
O
1
O
2
，则
O
1
O
< br>2
是
△
NAB
< br>的中位线．
?
AB
?
2
O
1
O
2
?
2
r
．
?
A
B
?
B
N
?
，则
A
△
NAB
是等边三角形．
（
3
）仍然
成立．
证明：由（
2
）得在⊙
O
1
中弧
MN
所对的
圆周角为
60
．
在⊙
O<
/p>
2
中弧
MN
所对
的圆周角为
60
．
?
< br>当点
A
，
B
在点
M
的两侧时，
在⊙
O<
/p>
1
中弧
MN
所对
的圆周角
?
MAN
?
< br>60
，在⊙
O
2
中弧
MN
所对的圆周角
O
1
N
O
2
B
A
M
图（
2
）
A
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