-
教师辅导教案
授课日期：
年
月
日
授课课时：
课时
学员姓名
学科教师
教学课题
教学目标
教学重难点
课前检查
年
级
班
主
任
辅导科目
数学
授课时间
作业完成情况：
优□
良□
中□
差□
建
议
:
教学内容
一、相似三角形的性质
1
．相似三角形的对应角相等
△
ABC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，则有
?
A
?
?
A
?
，
?
B
?
?
B
?
，
?
C
?
?
C
?
．
2
．相似三角形的对应边成比例
△
ABC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，则有
AB<
/p>
BC
AC
．
<
/p>
?
?
?
k
（
k
为相似比）
A<
/p>
?
B
?
B
?
C
?
A
?
C
?
3
．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似
比．
△
A
BC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，
AM
是
△<
/p>
ABC
中
BC
边
上的中线，
A
?
M
?
是
△
A
?
B
?
C
?<
/p>
中
B
?
C
?
边上的中线，则有
AB
BC
AC
AM
（
< br>k
为相似比）
．
?
?
?
k
< br>?
A
?
B
?
B
?
C
?
A
?
C
?
A
?
M
?
△
ABC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，
AH
是
△
ABC
中
BC
边上的高线，
A<
/p>
?
H
?
是
△
A
?
B
?
C
?
中
B
?
C
?
边上的高线，则有
AB
BC
AC<
/p>
AH
（
k
为相似
比）
．
?
?
?
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
B
B
C
A
< br>C
A
H
△
ABC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，
AD
是
△
ABC
中
?
BAC
的角平分线，
A
?
D
?
是
< br>△
A
?
B
?
C
?
中
?
B
?
A
?
C
?
的角平分线，
AB
BC
AC
AD
则有
（
k
为相似比）
．
?
?
< br>?
k
?
A
?
B
?
B
?
C
?
A
?
C
?
A
?
D
?
4
．相似三角形周
长的比等于相似比．
△
ABC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，则有
AB
BC
AC
．应用比例的等比性质有
?
?
?
k
（
k
< br>为相似比）
?
?
?
?
?
?
A
< br>B
B
C
A
C
AB
BC
AC
AB
?
BC
?
AC
?
?
?
?
k
．
A
?
B
?
B
?
C
?
A
?
C
?
A
?
B
?
?
< br>B
?
C
?
?
A
?
C
?
5
．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
< br>
1
△
ABC
与
△
A
?
B
?
C
?
相似，
AH
是
△
ABC<
/p>
中
BC
边上的高线，
A
?
H
?
是
△
A
?
B<
/p>
?
C
?
中
B
?
C
?
边上的高线，则有
S
AB
BC
AC
AH
（
k
为相似比）
．进而可得
△
ABC
?
?
?
k
?
S
△
A
?
B
?
< br>C
?
A
?
B
?
B
?
C
?
A
?
C
?
A
?
H
?
1
?
BC
?
AH
BC
AH
2
?
?
?
?
k
2
．
< br>
1
?
?
?
?
?
B
?
C
?
?
A
?
H
?
B
C
A
H
2
二、相似三角形的判定
1
．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
2
．如果一个三角形的
两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：
两角对
应相等，两个三角形相似．
3
．如果
一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
< br>
4
．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应
成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：
三边对应成比例，两个三角形相似．<
/p>
5
．
如果一个
直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那
么
这两个直角三角形相似．
6
．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
7
．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或
一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；
如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个
等腰三角形也相似．
三、相似证明中的基本模型
A
字形
图①
A
字型，
DE//BC
结论：
AD
AE
DE
?
?
，
AB
AC
BC
【例
1
】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的
顺序，你能帮他
调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（
）
已知：
如图，在△
ABC
中，点
D
，
E
，
F
分别在边
AB
，
AC
，
BC
上，且
DE
∥
BC
，
DF
∥
AC
，
求证：△
ADE
∽△
DBF
．
证明：①又∵
DF
∥
AC
，
②∵
DE
∥
BC
，
③∴∠
A=
∠
BDF
，
④∴∠
ADE=
∠<
/p>
B
，
∴△
ADE
∽△
DBF
．
A
．③②④①
B
．②④①③
C
．③①④②
D
．②③④①
【解答】
证明：②∵
DE
∥
BC
，
④∴∠
ADE=
∠
B
，
①又∵
DF
∥<
/p>
AC
，
③∴∠
A=
∠
BDF
，
∴△
ADE
∽△
DBF
．故选：
B
．
2
【练
1<
/p>
】如图，在△
ABC
中，∠
ACB=90°
，
BC=16cm
< br>，
AC=12cm
，点
P
从点
B
出发，以
2c
m/
秒的速度向点
C
移
动，
同时点
Q
从点
C
出发，
以
1cm/
秒的速度向点
A
移动，
设运动时间为
t
秒，
当
t=
4.8
或
与△
ABC
相似．
<
/p>
【解答】
解：
CP
和
CB
是对应边时，△
CPQ
∽△
CBA
，
所以，
即
解得
t=
4.8
；
CP
和
CA
是对应边时，△
CPQ
∽△
CAB
，
所以，
即
解得
t=
．
时，△
C
PQ
与△
CBA
相似．
，
，
，
，
秒时，
△
CPQ
综上所述，当
t=4.8
或
故答案为
4.8
或
．
图②反
A
字型，∠ADE=∠
B
或∠1=∠B
结论：
AE
AD
D
E
?
?
AC
AB
BC
【例
2
】如同，在△
ABC
中，点
D
，
E
分别在边
AB
，
AC
上，下列
条件中不能判断△
ABC
∽△
AED<
/p>
的是（
）
A
．
=
B
．
=
C
．∠
ADE=
∠
C
D
．∠
A
ED=
∠
B
【解答】
解：∵∠
DAE=
∠
CAB<
/p>
，
∴当∠
AE
D=
∠
B
或∠
ADE=
∠
C
时，△
< br>ABC
∽△
AED
；
当
=
即
=
时，△
ABC
∽△
AED
．
故选：
A
．
3
【例
3
】如
图，
P
是△
ABC
的边
AB
上的一点．
（不与
A
、
B
重合）当∠<
/p>
ACP=
∠
B
时，△
A
PC
与△
ABC
是否相
似；当
AC
、
AP
、
AB
满足
时，△
ACP
与△
ABC
相似．
【解答】
解：∵∠
A=
∠
A
，∠
ACP=
∠
B
，
∴△<
/p>
ACP
∽△
ABC
；
∵
，∠
A=
∠
A
，
∴△
ACP
与△
ABC
；
故答案为：
B
；
．
< br>【练习
1
】
如图，
D
、
E
为△
ABC
的边
AC
、
AB
上的点，
当
∠
ADE=
∠
B
时，
△
ADE<
/p>
∽△
ABC
．
其
中
D
、
E
分别对应
B
、
C<
/p>
．
（填一个条件）
．
【解答】
解：当∠
ADE=
∠
B
，
∵∠
EAD=
∠
CAB
，
∴△
AD
E
∽△
ABC
．
故答案为∠
ADE=
∠
B
．
【练习
2
】如图，在△
ABC
中
，
D
、
E
分别
在
AB
与
AC
上，且
AD=5
，
DB=7
，
AE=6
，
EC=4<
/p>
．
求证：△
A
DE
∽△
ACB
．
【解答】
证明：∵
AD=5
，
DB=7
，
AE
=6
，
EC=4
，
∴
AB=5
+
< br>7=12
，
AC=6
+
4=10
，
∴
∴
=
=
=
，
=
=
，
又∵∠
A=
∠
A<
/p>
，
∴△
ADE
∽△
ACB
．
【练习
3
】如图，
AB=AC
，∠
A=36°
，
BD
是∠
ABC
的
角平分线，求证：△
ABC
∽△
BCD
．
【解答】
证明：∵
AB=AC
，∠
A=36°<
/p>
，
∴∠
ABC
=
∠
C=72°
，
∵
BD
是角平分线，
∴∠
ABD=
∠
DBC=36°
，
∴∠
A=
∠
CBD
，
又∵∠
C=
< br>∠
C
，
∴△
ABC
∽△
BCD
．
4
【练习
4
】已知：如图，△
ABC
中，∠
ACD=
∠
B
，求证
：△
ABC
∽△
ACD
．
【解答】
证明：∵∠
ACD=
∠
B
，∠
A=
∠
A
，<
/p>
∴△
ABC
∽
△
ACD
．
【练习
5
】
如图，已知
AD?AC=AB?AE
．
求证：△
ADE
∽△
< br>ABC
．
【解答】
证明：∵
AD?AC=AE?AB
，
∴
=
在△<
/p>
ABC
与△
ADE
中
∵
=
，∠
A=
∠
A
，
∴△
ABC<
/p>
∽△
ADE
．
【练习
6
】
已
知：
如图，
在△
ABC
中，
D
，
E
< br>分别为
AB
、
AC
边上的点，
且
AD=
AE<
/p>
，
连接
DE
．<
/p>
若
AC=4
，
A
B=5
．
求
证：△
ADE
∽△
ACB
．
【解答】
证明：∵
AC=
3
，
AB=5
，
AD=
∴
，
，
∵∠
A=
∠
A
，
∴△
ADE
∽△
A
CB
．
图③双
A
字型
【例<
/p>
4
】如图，在△
ABC
< br>中，
D
，
E
分别是
AB
，
AC
上的点，∠
AED=
∠
ABC
，∠
BAC
的平分线
< br>AF
交
DE
于点
G
，
交
BC
< br>于点
F
．
（
1
）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由
（
2
）若
=
，求
的值．
【解答】
解：
（
1
）∵∠
AED=
∠
ABC
，∠
EAD=
∠
BAC
，
∴△
ABC
∽△
AED
．
∵∠
AED=
∠<
/p>
ABC
，∠
EAG=
∠
BAF
，
∴△
AEG
∽△
ABF
．
5
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