-
几何综合
题型一<
/p>
:
中点模型得构造
中点模型
①中线
(
点
)
:
倍长
(
类
)
中线
②两
中点
:
中位线
③等腰三角形底边中点
:
三线合一
④直角三角形斜边中点
:
斜边中线
=
斜边一半
?
构造
两等腰
⑤中垂线
:
< br>中垂线上得点连两端点
有些题目得中点没有直接给出<
/p>
,
此时需要挖掘题目中隐含得中点条件
,
并适时添加辅助线
.
典题精练
【例
1
】
<
/p>
如图
,
在平行四边形
ABCD
中
,
点
< br>M
为边
AD
得中点
,
过点
C
作
AB
得垂线交
AB
于点
E
,
若∠
EMD
= 3
∠
MEA
.
求证
:
BC
=2
AB
.
KijvG
。
A
E
B
C
M
D
【解析】证法一
:
A
M
如右图
(
a
),
延长
EM
交
CD
得长线于点
E
?
,
连结
CM
E
∵
AB
∥
CD
,
∴∠
ME'D
=
∠
MEA
.
B
又
AM
=
DM
,
∠
AME
=
∠
DME'
M’
∴△
AFM
≌△
DE
?
M
.
E’
(
b
)
∴
EM
=
E
?
M
<
/p>
∵
AB
∥
CD<
/p>
,
CE
⊥
AB<
/p>
,
∴
EC
⊥<
/p>
CD
.
∴
CM
就是
Rt
△
E
CE
?
斜边
EE
?
得中线
,
∴
ME
?
=
MC
.
∴
ME
?
D
?
E
?
CM
,
∴∠
EMC
= 2
?
ME
?
D
=
2
∠
AEM
.
E’
∵∠
EMD
=3
∠
MEA
,
A
M
D
∴∠
< br>CMD
=
∠
DCM
,
E
∴
MD
=
CD
.
∵
AD
=
2
DM
,
AB
=
CD
,
AD
=
BC
,
∴
BC
=
2
AB
.
C
B
证法二
:
(
a
)
如右图
(
b
),
过点
M
作
MM
?<
/p>
∥
AB
交
BC<
/p>
于
M
?
,
过点
M
?
作
M
?
E
?
∥
ME
交
AB
得延长线于点
E
?
,
连接
EM
?
.
∴
点
就
是
得
BC
?
M
?
点
,
EE
?
?
AB
,
?
E
?
BM
< br>?
?
?
EAM
< br>,
M
?
E
?
B
?
?
M
EA
,
M
?
M
D
?
?
EAM
?
?
E
?
BM
?
∵点
M<
/p>
?
就是
Rt
△<
/p>
EBC
斜边
BC
得中点
,
∴
M
?
E
?
BM
?
,
∴
?
BE
M
?
?
?
M<
/p>
?
BE
.
∴<
/p>
?
E
?
BM
?
?
180
?
??
BEM
?
.
∵∠EMD = 3∠
MEA
,
∴
?
M
?
MD
?
2
?
MEA
,
D
C
中
∴
?
E
?
BM
?
?
2
?
M
?
E
?
B
1
∴
180
?
?
?
BEM
?
?
2
?
M
?
E
?
B
,
?
M
?
E<
/p>
?
B
?
90
?
?
?
BEM
?
.
2
∴
?
E
?
?
EM
?
E
?
.
∴
EM
?
?
EE
?
,
< br>∴
BM
?
?
AB
.
∴
BC
=
2
AB
.
【例
2
】
<
/p>
如图所示
,
分别以△
ABC
得边
AB
、
AC
为边
,
向三角形得外侧作
正方形
ABDE
与正方形
ACFG
,
点
M
为
BC
中点
,
Br7EM
。
⑴
求证
:<
/p>
AM
⊥
EG
;
⑵
求证
:
EG
= 2
AM
.
E
D
B
N
P
A
G
F
M
C
E
D
B
M
A
G
F
C
【解析】⑴
如图所示<
/p>
,
延长
AM
到<
/p>
N
,
使
MN
=
AM
,
延长
MA
交
EG
于
点
P
,
连接
B
N
、
NC
.
∵
BM
=
CM
,
∴四边形
ABNC
就是平行四边形
.
∴
BN
=
AC
=
AG
.
∵∠
EAG
+
∠
BAC
=
180
?
,
∠
ABN
+
∠
BAC
=
180
?
,
∴∠
EAG
=
∠
ABN
.
∵
AE
=
AB
,
∴△
EAG
≌△
ABN
.
< br>∴∠
AEG
=
∠
BAN
.
又∵∠
EAB
=
90
?
,
∴∠
EAP
+
∠
BAN
=
90
?
.
∴∠
AEP
+
∠
EAP
=
90
?
.
∴
MA
⊥
EG
.
⑵
证明
:<
/p>
∵△
EAG
≌△
ABN
,
∴
EG
=
AN
=
2
AM
.
题型二
:
平移及等积变换
典题精练
【例
3
】
已
知
:
如图
,
正
方形
ABCD
中
,
E
就是
AB
上一点
,
FG
⊥
DE
于点
H
.
⑴
求证
:
FG
=
DE
.
⑵
求证
:
FD
+
BG
≥
2
FG
.
A
F
H
D
A
F
H
D
E
E
B
G
C
B
G
C
< br>P
【解析】延长
< br>GC
到点
P
,
< br>使得
GP
=
DF
,
连接
EP
,
DP
.
⑴
∵
DF
∥
GP
,
GP
=
DF
∴四边形
DFGP
为平行四边形
∴
FG
=
DP
,
FG
∥
DP
又∵
FG
⊥
DE
,
∴
DP
⊥
DE
∴∠
ADE
=
∠
CDP
在△
ADE
与△
CDP
中
?
?
DAE
?
?
DCP
?
?
DA
?<
/p>
DC
?
?
ADE
?
?
CDP
?
∴△
ADE
≌△
CDP
∴
DE
=
DP
=
FG
⑵
<
/p>
由⑴知道△
DEP
为等腰直角三角形
∴
EP
?
2
DE
?
2
FG
在△
EGP
中
,
EG
+
DF
=
EG
+
GP
≥
PE
=
2
FG
当
EG
∥
FD
时
,
取到等号
【例
4
】
<
/p>
如下图
,
过平行四边形
< br>ABCD
内得一点
P
作边得平行
线
EF
、
GH
,
若△
PBD
得面积为
8
平方
分米
,
求平行四边形
PHCF
得面积比平行四边形
PGAE
得面积大多少平方分米？
OMZAO
。
A
E
B
H
P
G
F
C
B
D
< br>E
H
A
P
G
F
C
D
【解析】
根据差不变原理
,
要求平行四边形
PHCF
得面积与平行四边形
PGAE
得面积差
,
相当于求平
行四边形
BCFE
得面积与平行四边形
ABHG
得面积差
.
BFDC9
。
如右图
,
连接
CP
、
AP
.
可得
:
1
S
△
BCP
?
S
△
ADP
?
ABCD
< br>
2
1
S
△
ABP
?
S
△
BDP
?
S
△
ADP
?
S
ABCD
2
所以
< br>S
△
BCD
?
< br>S
△
ABP
?
< br>S
△
BDP
< br>1
1
而
S
△
BCP
?
S
BCFE
,
S
△
ABP
?
S
ABHG
,
2
2
所以
S
BCFE
?
S
ABHG
?
2
?
S
△
BCP
?
S
△
ABP
?
?
2
S
△
BDP
?
16
(
平方分米
).
题型三
:
旋转
典题精练
【例
5
】
已知△
ABC
与△
ADE
都就是等腰直角三角形
,
∠
ABC
=
∠
ADE
=90
°
,
点
M
就是
CE
得中点
,
连
接
BM
、
⑴
如图①
,
点
D
在
AB<
/p>
上
,
连接
DM<
/p>
,
并延长
DM
交
BC
于点
N
,
可探究得出
BD
与
BM
得数量关
系为
.
jTZtT
。
⑵
如图②
,
点
D
不在
AB
上
,
⑴中得结论还成立吗？如果成立<
/p>
,
请证明
;
如果
不成立
,
说明
理由
.
B
E
N
D
A
图
1
M
C
E
A
M
图
2
C
D
< br>B
【解析】⑴
BD
=
2
BM
⑵
结论成立
,
证明
:
连接
DM
,
过点
C
作
CF
∥
ED
,
与
DM
得延长线交于点
F
,
连接
BF
,
可证得△
MDE
≌△
MFC
,
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