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<
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半角模型
1
已知如图：①∠
2
< br>=
∠
AOB
；②
OA
=
OB
.
2
O
1
2
< br>3
F
E
A
连接
FB
，将△
< br>FOB
绕点
O
旋转至△
FOA
的位置，连接
F
′
E
，
FE
，
可得△
OEF
≌△
OEF
′
B
O
F'
4
1
2
3
F
E
A
模型分析
∵△
OBF
≌△
OAF
′，
∴∠
3
=
∠
4
，
OF
=
OF
′
.
1
∴∠
2
=
∠
AOB
，
2
∴∠
1
+
∠<
/p>
3
=
∠
2
∴∠
1
+
∠
4
=
∠
2
又∵
OE
是公共边，
∴△
OEF<
/p>
≌△
OEF
′
.
（
1
）半角模型的命名：存在两个角度
是一半关系，并且这两个角共顶点；
（
2
）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
< br>
（
3
）常见的半角模型是
90
°含
45
°，
120
°含
60
°
.
B
模型实例
例
1
已知
，正方形
ABCD
中，∠
MAN=45
°
，它的两边分别交线段
CB
、
DC
于点
M
、
N
．
（
1
）求证：
BM+DN=MN
．
（
2
）作
AH
⊥
MN
于点
H
，求证：
AH=AB
．
证明：（
1
）延长
ND
到
E
，使
DE=BM
，
∵四边形
ABCD
是正方形，∴
AD=AB
．<
/p>
在
△
ADE
和
△
ABM
中，
?
AD
?
AB
?
?
?
ADE
?
?
B
?
DE
?
BM
?
∴△
ADE
≌△
ABM
．
∴
AE=AM
，∠
DAE=
∠
BAM
∵∠
MAN=45°
，∴∠
BAM+
∠
NAD=4
5°
．
∴
∠
MAN
=
∠
EAN=45°
．
在
△
AMN
和
△
AEN
中，
?
MA
?
EA
?
?
?
MAN
?
?
EAN
?
AN
?
AN
?
∴△
AMN
≌△
AEN
．
∴
MN=EN
．
∴
BM+
DN=DE+DN=EN=MN
．
（
2
）由（
1
）知，
△
AMN
≌△
AEN
．
∴
S
△
AMN
=S<
/p>
△
AEN
．
1
1
即
AH
?
MN
?
AD
?
EN
．
2
2
又∵<
/p>
MN=EN
，
∴
AH=AD
．
即
AH=AB
．
例
2
<
/p>
在等边
△
ABC
的两边
AB
、
AC
上分别有两点
M
、
N
，
D
为
△
< br>ABC
外一点，且
∠
MDN=60°
，∠
BDC=120°
，
BD=DC
．探究：当
M
、
N
分别在线段
< br>AB
、
AC
上移动时，
BM
、
NC
、
MN
之
间的数量关系．
（
1
）如图①，当
DM=DN
时，
BM
、
NC
、
MN
之间的数量关
系是
_______________
；
（
2
）如图②，当
DM≠DN
时，猜想（
1
）问
的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
图①
图②
解答
（
1<
/p>
）
BM
、
NC<
/p>
、
MN
之间的数量关系是
BM+NC=MN
．
（
2
）猜想：
BM+NC=MN
．
证明：如图③，延长
A
C
至
E
，使
C
E=BM
，连接
DE
．
∵
BD=CD
，且∠
BDC=120°
，
∴∠
DBC=
∠
D
CB=30°
．
又∵△
ABC
是等边三角形，
∴∠
ABC=
∠
A
CB=60°
．
∴∠
MBD=
∠
NCD=90°
．
在
△
MBD
与
△
ECD
中，
∵
DB=DC
，∠
DBM=
∠
DCE=90°
，
BM=CE
，
∴
△
MBD
≌△
ECD
（
SAS
）．
∴
DM=DE
，∠
BDM=
∠
CDE
．
∴∠
EDN=
∠
B
DC-
∠
MDN=60°
．
在
△
MDN
和
△
EDN
中，
∵
MD=ED
，∠
MDN=
∠
EDN=60°
，
DN=DN
，
∴
△
MDN
≌△
EDN
（
SAS
）．
∴
MN=
NE=NC+CE=NC+BM
．
图③
例
3
如图
，在四边形
ABCD
中，∠
B+
∠
ADC=180°
，
AB=AD
，
E
、
< br>F
分别是
BC
、
CD
延
长线上的点，且∠<
/p>
EAF=
1
∠
B
AD
．求证：
EF=BE-
FD
．
2
证明：在
BE
上截取
< br>BG
，使
BG=DF
，连接
AG
．
∵∠
B+
∠
ADC=180°
，∠
ADF+
∠
ADC=180°
，
∴∠
B=
∠
ADF
．
在
△
ABG
和
△
ADF
中，
<
/p>
?
AB
?
AD<
/p>
?
?
?
B
?
?
ADF
?
BG
?
DF
?
∴
△
ABG
≌△
ADF
（
SAS
< br>）．
∴∠<
/p>
BAG=
∠
DAF
，
AG=AF
．
∴∠
GA
F=
∠
BAD
．
1
1
∠
B
AD=
∠
GAF
．
2
2
∴∠<
/p>
GAE=
∠
EAF
．
在
△
AEG
和
△
AEF
中，
∴∠<
/p>
EAF=
?
AG
?
AF
?
?
?
GAE
?
?
FAE
?
AE<
/p>
?
AE
?
∴
△
AEG
≌△
AEF
（
SAS
）．
∴
EG=EF
．
∵
EG=BE-
BG
，
∴
EF=BE-
FD
．
练习：
1
．
已知，正方形
ABCD
，
M
在
CB
延长线上，
N
在
DC
延长线上，∠
MAN=45°
．
求证：
MN=DN-
BM
．
【答案】
证明：如图，在
DN
上截取
DE=MB
，
连接
AE
，
∵四边形
ABCD
< br>是正方形，
∴
AD=AB
，∠
D=
∠
ABC=90°
．
在
△
ABM
和
△
ADE
中，
?<
/p>
AD
?
AB
?<
/p>
?
?
D
?
?
ABM
?
BM
?
DE
?
∴△
ABM
≌△
A
DE
．
∴
AM=AE
，
∠
MAB=
∠
EAD
．
∵∠
MAN=45°
=
∠
MAB+
∠
BAN
，
∴∠
DAE+
∠
B
AN=45°
．
∴∠
EAN=90°
-45°
=45°
=
∠
MAN
．
在
△
AMN
和
△
AEN
中
，
?
AM
?
AE
?
?
?
MAN
?
?
EAN
?
AN
?
AN
?
∴△
AB
M
≌△
ADE
．
∴
MN=
EN
．
∵
DN-
DE=EN
．
∴
DN-
BM=MN
．
2
．已知，如图①在
Rt
△
< br>ABC
中，∠
BAC=90°
，
AB=AC
，点
D
、
E
分别为线段
BC
上两动
点，若∠
DAE=45°
，探究线段
BD
、
DE<
/p>
、
EC
三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把
△
AEC
绕点
A
顺时针旋转
90°
，得到
△
ABE′
，连接
E′D
使问题得到解
决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（
1
）猜想
BD
、
DE
、
EC
三条线段之间的数量关系式，并
对你的猜想给予证明；
（
2
）当动点
E
在线段
BC
上，动点
D
运动到线段
CB
延长线上时，如图②
，其他条件不
变，（
1
）
中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
图①
图②
【答案】
解答：（
< br>1
）猜想：
DE
2
=BD
2
+EC
2
．
证明：将
△
AEC
绕点
A
顺时针
旋转
90°
得到
△
ABE′
，如图①
∴△
ACE
≌△
ABE′
．
∴
BE′
=EC
，
AE′=AE
，∠
C=
∠
ABE′
，∠
EAC=
∠
E′AB
．
在
Rt
△
ABC
中，
∵
AB=AC
，
∴∠
ABC=
∠
ACB=45°
．
∴∠
AB
C+
∠
ABE′=90°
，即∠
E′BD=90°
．
∴
E′B
2
+BD
2
=
E′D
2
．
又∵∠
DAE=45°
，
∴∠
BAD+
∠
E
AC=45°
．
∴∠
E′AB+
∠
BAD=45°
，即∠
E′AD
=45°
．
∴△
AE′D
≌△
AED
．
∴
DE=DE′
．
∴
DE
2<
/p>
=BD
2
+EC
2
．
图①
（
2
）结论：关系式
DE
2
=BD
2
+EC
2
仍然成立．
证明：作∠
FA
D=
∠
BAD
，且截取
AF=AB
，连接
DF
，连接
FE
，如图②
∴△
AF
D
≌△
ABD
．
∴
FD=
DB
，∠
AFD=
∠
< br>ABD
．
又∵
AB=AC
，
∴
AF=AC
．
∵∠
FAE=
∠
FAD+
∠
DAE=
∠
FAD+45°
，
∠
EAC=
∠
BAC-
∠
BAE=90°
-
（∠
DAE-
∠
DAB
）<
/p>
=90°
-
（
4
5°
-
∠
DAB
）
=45°
+
∠
DAB
，
∴∠
FAE=
∠
CAE
．
又∵
AE
=AE
，
∴△
AFE
≌△
A
CE
．
∴
FE=EC
，∠
AFE=
∠
ACE=45°
．
∠
AFD=
∠
ABD=180°
-
∠
ABC=135°
．<
/p>
∴∠<
/p>
DFE=
∠
AFD-
∠
AFE=135°
-45°
=9
0°
．
在
Rt
△
DFE<
/p>
中，
DF
2
+F
E
2
=DE
2
．
即
DE
2
=BD
2<
/p>
+EC
2
．
图②
3<
/p>
．已知，在等边
△
ABC
中，点
O
是边
AC
、
BC
的垂直平分线的交点，
M
、
N
分别在直线
AC
、
BC
上，且∠
MON=60°
．
（
1
）如图
①，当
CM=CN
时，
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上时，请写出
A
M
、
CN
、
M
N
三
者之间的数量关系；
（
2
）如图②，当
CM≠CN
时，
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上时，（
1
）中的结论是否仍然
成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（
3
）如图③，当点
M
在边
AC
上，点
N
在
< br>BC
的延长线上时，请直接写出线段
AM
、
CN
、
MN
三者之间的数量关系．
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