-
中考数学几何模型
6
：
弦图模型
名师点睛
拨开云雾
开门见山
弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型
.
（一）内弦图模型：
如图，在正方形
ABCD
中，
AE
⊥
B
F
于点
E
，
B
F
⊥
CG
于点
F
，
CG
⊥
D
H
于点
G
，
D
H
⊥
AE
于点
H
，则有结论：
△
ABE
≌△
BCF
≌△
CDG
≌△
DAH.
注意局部弦图
（二）外弦图模型：
如图，在正方形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是正方形
ABCD
各边上的点，且四边形
EFGH
是正方形，则有结论
：
△
AHE
≌△
BEF
≌△
CFG
≌△
DGH.
包含“一线三垂直”
典题探究
启迪思维
探究重点
例题
1.
如图，在△
ABC
中，∠
ABC=90
°
，分别以
AB
，
AC
< br>向外作正方形
ABDE
，
ACF
G
，连接
EG
，若
AB=12
，
BC=16
，求△<
/p>
AEG
的面积
.
- 1
-
变式练习
>
>
>
1
．如图，四边形
ABCD
是边长为
4<
/p>
的正方形，点
E
在边
AD
上，连接
CE
，以
CE
为边作正方形
CEFG
，点
D
，
F
在直线
CE
的同侧，连接
BF
，若
AE=1
，求
BF
的长
.
例题
2.
如图，以
Rt
△
ABC
的斜边
BC
在△
ABC
同侧作正方形
BCEF
，该正方形的中心为点
O
，连接
AO.
若
AB=4
，
AO=
6
2
，求
AC
的长
.
变式练
习
>
>
>
<
/p>
2
．如图，点
A
，
B
，
C
，<
/p>
D
，
E
都在同一
条直线上，四边形
X
，
Y
，
Z
都是正方形，若该图形总面积是
m
，
正方形
Y
的面积是
n
，则图中阴影部分的面积是
___________.
- 2 -
例题
3.
如图，
在△
ABC
中，
∠
BAC=45
°，
D
为△
ABC
外一点，
满足∠
CBD=90
°，
BC=BD
，<
/p>
若
S
△
ACD<
/p>
=4.5
，
求
A
C
的长
.
变式练习
>
>
>
3<
/p>
．点
P
是正方形
ABCD
外一点，
PB=10cm
，△
APB
的面积是
60cm
2
，△
CPB
的面积是
30cm
2
．求正方形
ABCD
的面积
.
例题
4.
在边长为
< br>10
的正方形
ABCD
中，内接
有
6
个大小相同的正方形，
P
、
Q
、
M
、
N
是落在大正方形边
上的
小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积
.
- 3 -
变式练习
>
>
>
4<
/p>
．如图，在平面直角坐标系中，经过点
A
的双曲线
y
＝
（
x
＞
0
）同时经过点
B
，且点
A
在点
B
的左侧，
点
A
的横坐标为
，∠
AOB
＝
∠
OBA
＝
45
°，则
k
的值为
1+
．
【解答】解：在△
AOM
和△
BAN
中，
∴△
AOM
≌△
BAN
（
AAS
），
∴
AM
＝
BN
＝
∴
B
（
∴
（
+
+
，
OM
＝
AN
＝
，<
/p>
）?（
﹣
﹣
，∴
OD
＝
+
，<
/p>
BD
＝
﹣
，
，
），∴双曲
线
y
＝
（
x<
/p>
＞
0
）同时经过点
A
和
B
，
）＝
k
，整理得：
k
2
﹣
2
k
﹣
4
＝
0<
/p>
，
解得：
k<
/p>
＝
1
±
∴
k
＝
1+
；
故答案为：
1+
（负值舍去），
．
- 4 -
例题
5.
如图，在等腰
Rt
△
ACB
和等腰
Rt
△
DCE
中，∠
AXB=
∠
DCE=90
°，连接
AD
，
BE
，点
I
在
AD
上，
（
1
）若
IC
⊥
BE
，求证：
I
为
AD
中点；
（<
/p>
2
）若
I
为
AD
中点，求证：
IC
⊥
BE
例题
6.
在平面直角坐标系中，直线
l
的解析式为
y
?
2
x
?
b
，其与
x
轴交于点
A,
与
y
轴交于点
B
，在直线
l
移动的过程中，
直线
y=4
上是否存在点
P
，使得△
PAB
是等腰直角三角形，若存在，请求
出满足条件的所
有点
P
的坐标，如不存
在，请说明理由
.
- 5 -
达标检测
领悟提升
强化落实
1.
如图所示，“赵爽弦图”是由
8
个全等的直角三角形拼接而
成的，记图中正方形
ABCD
，正方形
EFGH
，
正方形
MNKT
的面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3
，已知
S
1
+
S
2
+
S
3
＝
10
，则
S
2
的值是
．
【解答】解：将四边形
MTKN
的面积设为
x
，将其余八个全等的三角形面
积一个设为
y
，
∵正方形
ABCD
，正方形
EFG
H
，正方形
MNKT
的面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3
，
S
1
+
< br>S
2
+
S
3
＝
10
，
∴得出
S
1
＝
8
y
+
x
，
S
2
＝
4
y
+
x
，
S
3
＝
< br>x
，
∴
S
1
+
S
2
+
S
3
＝
3
x
+12
y
＝
10
，故
3
x
+12
y
＝
10
，
x
+4
y
＝
，所以
S
2
＝
x
+4
y
＝
．
，
故答案为：
2.
< br>我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图
1
）．它是由四个全等的直
角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图
案．在弦图中（如图
2
），已知点
O<
/p>
为正方形
ABCD
的对角
线
BD
的中点，对角线
BD<
/p>
分别交
AH
，
C
F
于点
P
、
Q
．在正方形
EFGH
的
EH
、
FG
两边上分别取点<
/p>
M
，
N
，且
MN
经过点
O
，若
MH
＝
3
ME
，
BD
＝
2<
/p>
MN
＝
4
．则△
APD
的面积为
5
．
【解答】解：如图，连接
FH
，作
EK
∥
MN
，
OL
⊥
DG
∵四边形
ABCD
是正方形，且
BD
＝
2
MN
＝
4
∴
MN
＝
2
< br>，
AB
＝
2
∵四边形
EFGH
是正方形
∴
FO
＝
HO
，
EH
∥
FG
∴∠
HMO<
/p>
＝∠
FNO
，∠
MHO
＝∠
NFO
，且
FO
＝
HO
∴△
MHO
≌△
FNO
（
AAS
），∴
MH
＝
FN
∵<
/p>
MH
＝
3
ME<
/p>
，∴
MH
＝
FN
＝
3
EM
，<
/p>
EH
＝
EF
＝<
/p>
4
EM
∴
EK
∥
KN
，
EH
∥
FG
，∴四
边形
EMNK
是平行四边形
∴
MN
＝
EK
＝
2
，
KN
＝
EM
，∴
FK
＝
2
EM
- 6 -
∵
EF
2
+
FK
2
＝
EK
2
，∴
16
EM
2
+4
EM
2
＝
20
，∴
EM
< br>＝
1
，∴
EH
< br>＝
4
，
∵
AD
2
＝（
AE
+4
）
2
+
DH
2
，且
AE
＝
DH
∴
DH
＝
AE
＝
2
，∴
AH
＝
6
∵
P
H
∥
OL
，∴
故答案为
5
3
．
如图，
在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，分别以边
AB<
/p>
、
AC
向外作正方形
ABDE
和正方形
ACFG
，连接
CE
，
，∴
P
H
＝
1
，∴
A
P
＝
5
，∴
S
△
APD
＝
×
5
×
2
＝
5
BG
，
EG
．（正方形的各边都相等，各角均为
90
°）
（
1<
/p>
）判断
CE
与
B
G
的关系，并说明理由；
（
2
）若
BC
＝
3
，
AB
＝
5
，则
AEG
面积等于<
/p>
6
．
【解答
】解：（
1
）如图，
∵∠
EAB
＝∠
GAC
＝
90
°，∴∠
EA
C
＝∠
BAG
，
在△
EAC
和△
< br>BAG
中，
，
∴△
EAC
≌△
BAG
（
SAS
），
∴
CE
＝
BG
，∠
AEC
＝
AB
G
，
∵∠
A
EC
+
∠
APE
＝
90
°，∠
APE
＝∠
BPC
，
∴∠
BPC
+
∠
ABG
＝
90
°，
∴
CE
⊥
BG
；
（
2
）延长
GA
，过
E
作
EQ
⊥
AQ
，
∵∠
EAB
＝∠
GAC
＝<
/p>
90
°，
∴∠
EAG
+
∠
B
AC
＝
180
°，
∵∠
EAG
+
< br>∠
EAQ
＝
180
°，
∴∠
EAQ
＝∠
BAC
，
∴
EQ
＝
AE
?
sin
∠
EAQ<
/p>
＝
AB
?
BC<
/p>
＝
3
，
∵
BC
＝
3
，
AB
＝
5
，
∴
AC
＝
＝
4
，
< br>
∴
AEG
面积＝
AG
?
EQ
＝
×
4
×
3
< br>＝
6
．
- 7 -